x →1 எனில்  \(1^{\infty}\) எனும் தேரப்பெறாத வடிவில் உள்ளது. \(g(x)=x^{\frac{1}{1-x}}\) என்க. மடக்கை எடுக்க
\(\log g(x)=\frac{\log x}{1-x}\).
எனவே , \(\underset{x \rightarrow1}{\lim}\log g(x) =\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{\log x}{1-x})\) (\(\frac{0}{0}\) வடிவம்)
லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த ,
\(\underset{x \rightarrow1}{\lim} (\frac{\frac{1}{x}}{-1})=-1\)
ஆனால் , \(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\) log g(x)=log (\(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\) g(x)).
ஆகவே , அடுக்குப்படுத்த நாம் பெறுவது,
\(\underset{x \rightarrow1}{\lim} x^{\frac{1}{1-x}}=e^{-1}=\frac{1}{e}\).

f(x) என்ற சார்பு மூடிய இடைவெளி [2,3]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (2,3) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மற்றும் , f (2) = 0 = f (3) ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, \(f'(x)=\frac{x^{2}-6}{x(x^{2}+6)} \)
எனவே , \(f'{(c)}=0\)
\(\Rightarrow \frac{c^{2}-6}{c(c^{2}+6)}=0\)
\(\Rightarrow c=\pm\sqrt{6}\)
இப்பொழுது, c = \(\pm\sqrt{6} \in (2,3).\)
\(-\sqrt{6}\notin (2,3)\) எனவே , \(c=\pm\sqrt{6}\)  ஆனது ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்கிறது.
ரோலின் தேற்றத்தினை ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் எத்தனை தீர்வுகள் இருக்கும் என்பதனை சமன்பாட்டைத்தீர்க்காமல் காணவும் பயன்படுத்தலாம்.

f (x) என்பது மூடிய இடைவெளி [0,1] -ல்  தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (0,1) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மேலும் f (0) = 0 = f (1)ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, \(f'{(x)}=2x(1-x)(1-2x)\).
எனவே , \(f'(c)=0 \Rightarrow c=0,1 \) மற்றும் \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow c = \frac{1}{2}\in (0,1)\).

T =10x-x² எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே ஒரு முனையிலிருந்து எந்த அளவு தூரத்திலும் வெப்பநிலை மாறுபாட்டு வீதமானது \(\frac{dT}{dx}=10-2x \) ஆகும். கம்பியின் மையப்புள்ளி  x = 5 –ல் உள்ளது. 
x = 5 எனப்பிரதியிட, \(\frac{dT}{dx}=0\) எனக்கிடைக்கும்.

(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து எந்த ஒரு புள்ளி (x, y) -க்கு உள்ள தூரம் d =\(\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right) }^{ 2 } } \) d -ல் கணக்கிடுவதற்குப் பதில், நம் வசதிக்காக D = d² = (x−1)²+ (y− 1)² -ல் கணக்கிடுவோம். இங்கு கட்டுப்பாடானது x² + y²  = 1 ஆகும். இப்பொழுது, \(\frac { dD }{ dx } \) = 2( x −1)+2(y −1) x \(\frac { dy }{ dx } \) இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -யினை x² + y²  =1-ஐ வகையிட்டு கணக்கிடலாம். எனவே, 2x + 2y \(\frac { dy }{ dx } \) =0 ⇒\(\frac { dy }{ dx } \) =-\(\frac { x }{ y } \).
இதனைப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது \(\frac { dD }{ dx } \) =2(x −1) +2(y −1)\(\left(- \frac { x }{ y } \right) \)
=\(\frac { 2\left[ xy-y-xy+x \right] }{ y } \)
எனவே, \(\frac { dD }{ dx } \) =2\(\left[ \frac { x-y }{ y } \right] \)=0
⇒x = y
(x, y) ஆனது x² + y²  =1 என்ற வட்டத்தின் மீது அமைவதால் 2x² = 1 ⇒x= 土\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
ஆகவே அறுதி தூரங்கள்  \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \), \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) என்ற புள்ளிகளில் கிடைக்கும்.
இப்பொழுது, \(\frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } =2\frac { { y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 3 } } \)
மேலும் \({ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }>0;{ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }<0\) 
இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி மிக அருகாமையில் மற்றும் மிக தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) மற்றும் \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) ஆகும்.
எனவே, மிகக் குறைந்த மற்றும் மிக அதிக தூரங்கள் முறையே \(\sqrt { 2 } \)-1 மற்றும் \(\sqrt { 2 } \)+1 ஆகும்.

வளைவரை y=1+x³
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('m'=\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+12y=12
கோட்டின் சாய்வு = \(-\cfrac { 1 }{ 12 } \) 
தொடுகோடு,கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளதால் தொடுகோட்டின் சாய்வு 12.
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =12\) 
அதாவது,\(\\ { 3x }^{ 2 }=12\) 
\({ x }^{ 2 }=4\) 
\(x=\pm 2\) 
x=2 எனும்போது \(y=1+8=9\Rightarrow \) (2,9)
x=-2 எனும்போது \(y=1-8=-7\Rightarrow \) (-2,-7)
(2,9) புள்ளியில் சாய்வு 12 ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-9=12(x-2)\) 
\(y-9=12x-24\) 
\(12x-y-15=0\) 
புள்ளி (-2,-7)ல் சாய்வு 12ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y+7=12(x+2)\) 
\(y+7=12x+24\) 
\(12x-y+17=0\)

\({ y }^{ 2 }-4xy={ x }^{ 2 }+5\)                        ...(1) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த, 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -4\left( x\cfrac { dy }{ dx } +y.1 \right) =2x\) 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -4x\cfrac { dy }{ dx } -4y=2x\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( 2y-4x \right) =2x+4y\) 
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 2(x+2y) }{ 2(y-2x) } =\cfrac { x+2y }{ y-2y } \) 
தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கிறது எனில் (X-அச்சுக்கு இணை) தொடுகோட்டின் சாய்வு பூச்சியம் ஆகும்.
\(\cfrac { dx }{ dy } =0\Rightarrow \cfrac { x+2y }{ y-2x } =0\) 
\(\Rightarrow x+2y=0\) 
\(x=-2y\) 
(1)ல் பிரதியிட 
\({ y }^{ 2 }-4(-2y)y=\left( -2y \right) ^{ 2 }+5\) 
\({ y }^{ 2 }+8{ y }^{ 2 }={ 4y }^{ 2 }+5\) 
\(5{ y }^{ 2 }=5\Rightarrow { y }^{ 2 }=1\) 
\(y=\pm 1\) 
y=1 எனும்போது x=-2
y=-1 எனும்போது x=2
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகள் (-2, 1) மற்றும் (2, -1). 

கொடுக்கப்பட்ட இரு வளைவரைகளும் வெட்டும் புள்ளியை (a, b) என்க.
ஆகவே, a² + 4b² = 8  மற்றும் a² - 2b² = 4   ...(4)   
நாம் (a, b) என்ற புள்ளியில் இவ்விரு வளைவரைகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் பலன் −1 என நிறுவ வேண்டும்.
x² + 4y² = 8 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(\begin{aligned} 2 x+8 y \frac{d y}{d x} & =0 \end{aligned}\)
எனவே, \(\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-\frac{x}{4 y} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)} & =m_1=-\frac{a}{4 b} . \end{aligned}\)
x² - 2y² = 4 -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட
\(2x-4y\frac{dy}{dx}=0\)
எனவே, \(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y}\)
\(\left ( \frac{dy}{dx} \right )_{(a,b)}=m_{2}=\frac{a}{2b}\)
எனவே , \(m_{1}\times m_{2}=\left ( -\frac{a}{4b} \right )\times \left ( \frac{a}{2b} \right )=-\frac{a^{2}}{8b^{2}}\)  ..... (5)
(4)-ல் விகிதச் சமக் கொள்கையை பயன்படுத்த ,
\(\frac{a^{2}}{-16-16}=\frac{b^{2}}{-8+4}=\frac{1}{-2-4}\)எனப்பெறலாம்.
எனவே, \(\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{32}{4}=8\) ஆகும். இதனை (5)-ல் பிரதியிட, நாம்  m₁ \(\times\) m₂ = -1 எனப் பெறலாம். ஆகவே, இவ்விரு வளைவரைகளும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.

கொடுக்கப்பட்டது:
\(x=0.8,y=0.6,\cfrac { dy }{ dt } -60\) மற்றும் \(\cfrac { ds }{ dt } =20\) 
படத்திலிருந்து,
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
\({ S }^{ 2 }=\left( 0.8 \right) ^{ 2 }+\left( 0.6 \right) ^{ 2 }\) 
= \(0.64+0.36\) 
\({ S }^{ 2 }=1\Rightarrow S=1\) 
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2S\cfrac { ds }{ dt } =2x\cfrac { dx }{ dt } +2y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(S\cfrac { dS }{ dt } =x\cfrac { dx }{ dt } +y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(1(20)=\left( 0.8 \right) \cfrac { dx }{ dt } +(0.6)-(-60)\) 
\(20=0.8\cfrac { dx }{ dt } -36\) 
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 20+36 }{ 0.8 } =\cfrac { 56 }{ 0.8 } =70\) 
\(\therefore\) மகிழுந்தின் வேகம் மணிக்கு 70 கி.மீ  

\(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\) 

முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல்,முடுக்கம்=12(1)-18=-6மீ/வினாடி²
t=2ல்,முடுக்கம்=12(2)-18=6மீ /வினாடி²

(i) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+12t-4,t \geq 0\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
துகளின் திசைவேகம் மாறும்போது v=0
\(\therefore { 6t }^{ 2 }-18t+12=0\) 
\({ t }^{ 2 }-3t+2=0\) 
\(\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) =0\) 
\(t=1,2\) 
\(\therefore t=1\) வினாடி மற்றும் t=2 வினாடி எனும்போது,துகளின் திசை மாறுகிறது.
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .
(iii) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\)
முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல், முடுக்கம் = 12(1) - 18 = - 6 மீ/வினாடி²
t=2ல், முடுக்கம் = 12(2) - 18 = 6 மீ /வினாடி²

5 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி 400 அடியிலிருந்து விழுகிறது.(கொடுக்கப்பட்டது)
ஃ 2 வினாடியில் சராசரி திசைவேகம் 
= \(\cfrac { s\left( 5 \right) -s(3) }{ 5-3 } \) 
=  \(\cfrac { 16({ 5 }^{ 2 })-16\left( { 3 }^{ 2 } \right) }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 400-144 }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 256 }{ 2 } =128\) அடி/வினாடி 

(i) அதிகபட்ச உயரத்தை அடையும் போது துகளின் திசைவேகம் v(t)-ன் மதிப்பு பூச்சியமாகும்.
நாம் இப்பொழுது, t நேரத்தில் துகளின் திசைவேகத்தைக் காண்போம்.
\(v(t)=\frac{ds}{dt}=128-32t\)
\(v(t)=0 \Rightarrow 128-32t=0 \Rightarrow t=4.\)
4 வினாடிக்குப் பின்னர் துகள் அதிகபட்ச உயரத்தை அடைகின்றது.
t = 4-ல் உயரமானது s(4)=128(4)-16(4)²=256 அடிகள் ஆகும்.
(ii) துகள் தரையை தொடும் போது s = 0 ஆகும்.
\(s=0\Rightarrow 128t-16t^{2}=0\)
\(\Rightarrow \) t= 0,8 வினாடிகள்.
தரையினை துகள் t = 8 வினாடிகளில் தொடுகிறது.
அது தரையைத் தொடும் போது அதன் திசை வேகம் v(8) = –128 அடி/வி ஆகும்.

x =1 என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்.
தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகியவை வரிசை 2 உள்ள பல்லுறுப்புக் கோவை. ஆகவே எனவே வகையிடத்தக்கவை . ஆகவே ,லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+3})=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{2x-3}{2x-4})\) =\(\frac{1}{2}\)
எல்லை மதிப்பை \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+3}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}\)  என காரணிப்படுத்தல் முறையிலும் காணலாம்.

ஆரம் = r,ஆரத்தின் மாறுவீதம் \(\cfrac { dr }{ dt } =2\) மற்றும் 
கொடுக்கப்பட்டது r= 5 செ.மீ 
வட்டத்தின் பரப்பு \(A={ \pi r }^{ 2 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { dA }{ dt } =2\pi r\cfrac { dr }{ dt } \) 
= \(2\pi \left( 5 \right) \left( 2 \right) \) 
= \(20\pi \) 
ஃ வட்டத்தின் பரப்பு (சிற்றலைகள்) வினாடிக்கு \(20\pi \) க.செ.மீ எனும் வீதத்தில் அதிகரிக்கிறது. 

\(s={ 2t }^{ 2 }+3t\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4t+3\)
t=3 ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(3)+3=15\) மீ/வி 
t=6ல் கணப்பொழுது திசைவேகம் 
\(\cfrac { ds }{ dt } =4(6)+3=27\) மீ/வி 

\(\mathrm{f}(x)  =x^2 \mathrm{e}^{-2 x}, x>0\) என்க.
\(f^{\prime}(x)  =-2 x^2 \mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{-2 x}(2 x) \)
\(\mathrm{f}^{\prime}(x)  =2 \mathrm{e}^{-2 x}\left(x-x^2\right)\)
f பெருமத்திற்கு, \(\mathrm{f}^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \mathrm{e}^{-2 x} \neq 0, x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,1\)
x > 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே x = 1
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2\left[\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)+\left(x-x^2\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\right. \)
\(=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[1-2 x-2 x+2 x^2\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[2 x^2-4 x+1\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=2 \times \mathrm{e}^{-2}[2-4+1]=\frac{-2}{e^2}<0\)
x = 1 ல், பெரும மதிப்பை அடையும் 
எனவே f(x) ன் பெரும மதிப்பு = \(\mathrm{f}(1)=1^2 \times \mathrm{e}^{-2} \)
\(=\frac{1}{e^2}\)

\(f(x) =\frac{1}{x} ; f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2} \)
\(f^{\prime}(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
\(-\frac{1}{x^2} =\frac{1 / 9-1}{9-1}=\frac{-8 / 9}{8} \)
\(x^2 =9 \Rightarrow x= \pm 3 \)
\(\therefore x =3 \in(1,9)\)

\(\mathrm{y}^2-x y+9  =0 \)
\(2 y \frac{d y}{d x}-\left(x \frac{d y}{d x}+y\right)  =0 \)
\(\frac{d y}{d x}(2 y-x)  =y \)
\(\frac{d y}{d x}  =\frac{y}{2 y-x}\)
தொடுகோடு நிலைகுத்தாக இருக்கும்போது, \(\frac{d y}{d x}=\infty\)
அதாவது \(\frac{y}{2 y-x}=\frac{1}{0} \Rightarrow 2 \mathrm{y}-x=0\)
\(2 \mathrm{y}=x\)
(1)ல் பிரதியியிட,
\(y^2-2 y^2+9  =0 \)
\(y^2  =9 \Rightarrow y= \pm 3\)

\(f(x)  =\sqrt{8-2 x} \)
\(f^{\prime}(x) =-\frac{2}{2 \sqrt{8-2 x}}=-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}\)
தொடுகோட்டின் சாய்வு = - 0.25
அதாவது f'(x)=-0.25
\(-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}  =-0.25=\frac{-1}{4} \)
\(\sqrt{8-2 x}  =4 \Rightarrow 8-2 x=16 \)
\(x  =-\frac{8}{2}=-4\)
x ஆயத்தொலைவு = -4

கொடுக்கப்பட்டது : \(\frac {dy }{dt } = 8\frac {dx}{dt}\)
வகைப்படுத்த, \(6 \mathrm{y}=x^3+2\)
வகைப்படுத்த,\(6\frac {dy }{dt } = 3x^2\frac {dx}{dt}\)
\(2\left(8 \frac{d x}{d t}\right) =x^2 \frac{d x}{d t} \)
\(x^2 =16 \Rightarrow x= \pm 4\)
x = 4 எனும்போது, y = 11
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளி (4, 11)

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d V}{d t}=3 \pi\) செ.மீ/வி ;
\(\mathrm{r}=\frac{1}{2}\) செ.மீ 
கன அளவு \(\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi r^3\)
' 't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்து,
\(\frac{d V}{d t}  =\frac{4}{3} 3 \pi r^2 \frac{d r}{d t} \)
\(3 \pi  =\frac{4}{3} 3 \pi\left(\frac{1}{4}\right) \frac{d r}{d t} \)
\(\frac{d r}{d t}  =3\)
ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் 3 செ.மீ/வினாடி.