(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து எந்த ஒரு புள்ளி (x, y) -க்கு உள்ள தூரம் d =\(\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right) }^{ 2 } } \) d -ல் கணக்கிடுவதற்குப் பதில், நம் வசதிக்காக D = d² = (x−1)²+ (y− 1)² -ல் கணக்கிடுவோம். இங்கு கட்டுப்பாடானது x² + y²  = 1 ஆகும். இப்பொழுது, \(\frac { dD }{ dx } \) = 2( x −1)+2(y −1) x \(\frac { dy }{ dx } \) இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -யினை x² + y²  =1-ஐ வகையிட்டு கணக்கிடலாம். எனவே, 2x + 2y \(\frac { dy }{ dx } \) =0 ⇒\(\frac { dy }{ dx } \) =-\(\frac { x }{ y } \).
இதனைப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது \(\frac { dD }{ dx } \) =2(x −1) +2(y −1)\(\left(- \frac { x }{ y } \right) \)
=\(\frac { 2\left[ xy-y-xy+x \right] }{ y } \)
எனவே, \(\frac { dD }{ dx } \) =2\(\left[ \frac { x-y }{ y } \right] \)=0
⇒x = y
(x, y) ஆனது x² + y²  =1 என்ற வட்டத்தின் மீது அமைவதால் 2x² = 1 ⇒x= 土\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
ஆகவே அறுதி தூரங்கள்  \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \), \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) என்ற புள்ளிகளில் கிடைக்கும்.
இப்பொழுது, \(\frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } =2\frac { { y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 3 } } \)
மேலும் \({ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }>0;{ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }<0\) 
இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி மிக அருகாமையில் மற்றும் மிக தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) மற்றும் \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) ஆகும்.
எனவே, மிகக் குறைந்த மற்றும் மிக அதிக தூரங்கள் முறையே \(\sqrt { 2 } \)-1 மற்றும் \(\sqrt { 2 } \)+1 ஆகும்.

\(f(x)=\frac{1}{x}\) என்க . f (x) -ன் டெய்லரின் விரிவு
\(f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=0}a_{n}(x-2)^{n},\) இங்கு \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(2)}{n!}\).
f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 2 -வில் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{(x-2)}{1!}+\frac{1}{4}\frac{(x-2)^{2}}{2!}-\frac{3}{8}\frac{3(x-2)^{3}}{3!}+...\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{(x-2)}{4}+\frac{(x-2)^{2}}{8}-\frac{(x-2)^{3}}{16}+...\)

கொடுக்கப்பட்டது:
\(x=0.8,y=0.6,\cfrac { dy }{ dt } -60\) மற்றும் \(\cfrac { ds }{ dt } =20\) 
படத்திலிருந்து,
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
\({ S }^{ 2 }=\left( 0.8 \right) ^{ 2 }+\left( 0.6 \right) ^{ 2 }\) 
= \(0.64+0.36\) 
\({ S }^{ 2 }=1\Rightarrow S=1\) 
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2S\cfrac { ds }{ dt } =2x\cfrac { dx }{ dt } +2y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(S\cfrac { dS }{ dt } =x\cfrac { dx }{ dt } +y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(1(20)=\left( 0.8 \right) \cfrac { dx }{ dt } +(0.6)-(-60)\) 
\(20=0.8\cfrac { dx }{ dt } -36\) 
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 20+36 }{ 0.8 } =\cfrac { 56 }{ 0.8 } =70\) 
\(\therefore\) மகிழுந்தின் வேகம் மணிக்கு 70 கி.மீ  

h மற்றும் r முறையே உயரம் மற்றும் அடிமானத்தின் ஆரம் என்க. எனவே h = 2r ஆகும். V என்பது உப்பு கூம்பின் கன அளவு என்க .

\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{12}\pi h^{3}; \frac{dV}{dt}=30\) மீ³ / நிமிடம்  
எனவே , \(\frac{dV}{dt}=\frac{1}{4}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}\)
ஆகையால், \(\frac{dh}{dt}=4 \frac{dV}{dt}.\frac{1}{\pi h^{2}}\)
அதாவது, \(\frac{dh}{dt}=4\times30\times \frac{1}{100 \pi}\)
= \(\frac{6}{5\pi}\)மீ/ நிமிடம்  

(i) அதிகபட்ச உயரத்தை அடையும் போது துகளின் திசைவேகம் v(t)-ன் மதிப்பு பூச்சியமாகும்.
நாம் இப்பொழுது, t நேரத்தில் துகளின் திசைவேகத்தைக் காண்போம்.
\(v(t)=\frac{ds}{dt}=128-32t\)
\(v(t)=0 \Rightarrow 128-32t=0 \Rightarrow t=4.\)
4 வினாடிக்குப் பின்னர் துகள் அதிகபட்ச உயரத்தை அடைகின்றது.
t = 4-ல் உயரமானது s(4)=128(4)-16(4)²=256 அடிகள் ஆகும்.
(ii) துகள் தரையை தொடும் போது s = 0 ஆகும்.
\(s=0\Rightarrow 128t-16t^{2}=0\)
\(\Rightarrow \) t= 0,8 வினாடிகள்.
தரையினை துகள் t = 8 வினாடிகளில் தொடுகிறது.
அது தரையைத் தொடும் போது அதன் திசை வேகம் v(8) = –128 அடி/வி ஆகும்.

\(f'(x)=1-\cos x\ge0\) மேலும் \(x=2n\pi, n\in Z\) -ல் f ′(x) பூச்சியம் என்பவைகளில் இருந்து f (x) என்ற சார்பு மெய் எண் கோட்டில் ஏறுகிறது.
\(x=2n\pi, n\in Z\) -ஐ கடக்கும் போது f ′(x) -ன் குறியில் மாற்றம் இல்லாத காரணத்தால் முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி இங்கு இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை.

\(f(x)=\tan x,x \in [0, \pi]\) 
tanx என்ற சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) என்ற இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது அல்ல. ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது வரையறுக்கப்படவில்லை. சார்பு \(\left( 0,\pi \right) \) ல் வகையிட இயலாது.ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது தொடர்ச்சியானது அல்ல.
மற்றும் \(f(0)=\tan\left( 0 \right) =0\) 
\(f(\pi )=\tan\pi =0\) 
\(f(0)=f(\pi )=0\) 
'tanx' எனும் சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) ல் வகையிட முடியாததாகவும் உள்ளதால், ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது.

\(f(x)=|\frac{1}{x}|, x\in [-1,1]\) 
\(\begin{matrix} f(-1)=1 \\ f(1)=1 \end{matrix}\} \Rightarrow f\left( -1 \right) =f1)=1\) 
ஆனால் f(x) ஐ x=0ல் வகையிட இயலாது.
எனவே, ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

\(y={ x }^{ 4 }+2{ e }^{ x };(0,2)\) 
'x'ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ 4x }^{ 3 }+2{ e }^{ x }\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 'm'
= \(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ (0,2) }=4(0)^{ 3 }+2{ e }^{ 0 }=2\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \)
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m(x-{ x }_{ 1 })\) 
\(\Rightarrow y-2=2(x-0)=2x\) 
\(\Rightarrow y-2=2x\) 
\(\Rightarrow 2x-y+2=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \)

\(y-2=-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x-0 \right) \) 
\(2y-4=-x\) 
\(x+2y-4=0\)

\(f'(x)=4x^{3}+32=0 \Rightarrow x^{3}=-8 \Rightarrow x=-2\)
மேலும் f''(x)=12x².
f''(-2)>0 என்பதால்  x =−2-ல் சார்பு இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f(−2)=−48 ஆகும். எனவே, அறுதிப் புள்ளி (−2,−48).

\(f'(x)=2x>0, \forall x\in(2,7)\) மற்றும்
\(f'(x)=2x<0, \forall x\in(-2,0)\)
இதிலிருந்து தேவையான முடிவைப் பெறலாம்.

இது (0×∞) எனும் தேரப்பெறா வடிவில் உள்ளது. எல்லையை மதிப்பிட நாம் இதனை 
\((\frac{\infty}{\infty})\) எனும் தேரப்பெறா வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். அதன் பிறகு லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும்.
ஆகவே , \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}x \log x= \underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}{(\frac{\log x}{\frac{1}{x}})}\)  \((\frac{\infty}{\infty})\) வடிவம்)
=\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}})=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(-x)=0.\)

x = 0 என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம். ஆகவே, லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\sin x}{x^{2}})=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\cos x}{2x})=\infty\)
\(\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}(\frac{\sin x}{x^{2}})=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{\lim}(\frac{\cos x}{2x})=-\infty\)
இடது மற்றும் வலது எல்லைகள் சமமில்லை ஆதலால் எல்லை இல்லை .

\(y=a x^4+b x^2, a b>0\)
ab >0 \(\Rightarrow \mathrm{a}>0\) மற்றும் b >0  (அல்லது) a < 0 மற்றும் b < 0   ...(1)
(i) கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு, \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=4 \mathrm{a} x^3+2 \mathrm{~b} x=2 x\left(2 \mathrm{a} x^2+\mathrm{b}\right) \)
\( \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0 \Rightarrow x=0, \pm \sqrt{\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\). எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
x = 0 ல், \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
x = 0 ல், கிடைமட்டத் தொடுகோடு உண்டு.
(ii) வளைவு மாற்றப் புள்ளிக்கு, f''(x) ஆனது குறி மாற்றம் அடையும்.
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 b=2\left(6 a x^2+b\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow 6 a x^2+b=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{-b}{6 a}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\) எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\) f''(x) ஆனது குறிமாற்றம் அடையவில்லை. எனவே f(x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளியை பெறவில்லை.

கொடுக்கப்பட்டது \(x^2+y^2=200\)
\(y^2  =200-x^2 \)
\(y  =\sqrt{200-x^2}\)
பெருக்கற்பலன் \(\mathrm{P}=x \mathrm{y}=x \sqrt{200-x^2}\)
\(\mathrm{F}=\mathrm{P}^2\) என்க.
\(\mathrm{F}=x^2\left(200-x^2\right)=200 x^2-x^4\)
F பெருமம் எனில்,P ஆனது பெருமமாகும்.
பெருமத்திற்கு, \(\frac{d F}{d x}=0 \Rightarrow 200(2 x)-4 x^3=0\)
\( \Rightarrow 4 x\left(100-x^2\right)=0 \Rightarrow x=0, x= \pm 10\)
x=0,-10 ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore x  =+10 \)
\(y =\sqrt{200-10^2}=10 \)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}  =400-12 x^2\)
x  =10-ல், F'' = 400 - 12 x 10 x 10<0
பெருக்கற்பலனின் பெரும மதிப்பு P = xy 
= (10)(10)
= 100

\(\mathrm{y}=\mathrm{e}^x \sin x, \quad x \in[0,2 \pi] \)
\(=\frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^x \sin x\)
\( \mathrm{~S}=\mathrm{e}^x(\cos x+\sin x) \)
\( \frac{d S}{d x}=\mathrm{e}^x(-\sin x+\cos x)+ (\cos x+\sin x) \mathrm{e}^x\)
\(=\mathrm{e}^x(2 \cos x)\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d S}{d x}  =0 \Rightarrow 2 \mathrm{e}^x \cos x=0\)
\(\mathrm{e}^x  =0\) என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore \cos x  =0 \)
\(x  =\frac{\pi}{2} \in(0,2 \pi)\)
S பெருமம் எனில், \(\frac{d^2 S}{d x^2}\) ஆனது < 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(\frac{d^2 S}{d x^2}=2\left[-\mathrm{e}^x \sin x+\cos x \cdot \mathrm{e}^x\right] \)
\( =2 \mathrm{e}^x[\cos x-\sin x] \)
\(x=\frac{\pi}{2}, S^{\prime \prime}=2 e^{\frac{\pi}{2}}[0-1]=-2 e^{\frac{\pi}{2}}<0\)
\( \therefore x=\frac{\pi}{2}\)  ல்,S ஆனது பெரும மதிப்பை அடையும்.

\(f(x) =\frac{1}{x} ; f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2} \)
\(f^{\prime}(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
\(-\frac{1}{x^2} =\frac{1 / 9-1}{9-1}=\frac{-8 / 9}{8} \)
\(x^2 =9 \Rightarrow x= \pm 3 \)
\(\therefore x =3 \in(1,9)\)