\(y=a x^4+b x^2, a b>0\)
ab >0 \(\Rightarrow \mathrm{a}>0\) மற்றும் b >0  (அல்லது) a < 0 மற்றும் b < 0   ...(1)
(i) கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு, \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=4 \mathrm{a} x^3+2 \mathrm{~b} x=2 x\left(2 \mathrm{a} x^2+\mathrm{b}\right) \)
\( \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0 \Rightarrow x=0, \pm \sqrt{\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\). எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
x = 0 ல், \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
x = 0 ல், கிடைமட்டத் தொடுகோடு உண்டு.
(ii) வளைவு மாற்றப் புள்ளிக்கு, f''(x) ஆனது குறி மாற்றம் அடையும்.
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 b=2\left(6 a x^2+b\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow 6 a x^2+b=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{-b}{6 a}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\) எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\) f''(x) ஆனது குறிமாற்றம் அடையவில்லை. எனவே f(x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளியை பெறவில்லை.

கொடுக்கப்பட்டது \(x^2+y^2=200\)
\(y^2  =200-x^2 \)
\(y  =\sqrt{200-x^2}\)
பெருக்கற்பலன் \(\mathrm{P}=x \mathrm{y}=x \sqrt{200-x^2}\)
\(\mathrm{F}=\mathrm{P}^2\) என்க.
\(\mathrm{F}=x^2\left(200-x^2\right)=200 x^2-x^4\)
F பெருமம் எனில்,P ஆனது பெருமமாகும்.
பெருமத்திற்கு, \(\frac{d F}{d x}=0 \Rightarrow 200(2 x)-4 x^3=0\)
\( \Rightarrow 4 x\left(100-x^2\right)=0 \Rightarrow x=0, x= \pm 10\)
x=0,-10 ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore x  =+10 \)
\(y =\sqrt{200-10^2}=10 \)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}  =400-12 x^2\)
x  =10-ல், F'' = 400 - 12 x 10 x 10<0
பெருக்கற்பலனின் பெரும மதிப்பு P = xy 
= (10)(10)
= 100

x² - y² = 4 என்ற வளைவரை மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி \(\left(x, \pm \sqrt{x^2-4}\right)\).
A (6,0) மற்றும் \(\mathrm{P}\left(x, \pm \sqrt{x^2-4}\right)\) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 
\(\mathrm{S}=\sqrt{(6-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(6-x)^2+y^2}\)
\(=\sqrt{36-12 x+x^2+\left(x^2-4\right)} \)
\(S  =\sqrt{2 x^2-12 x+32}\)
\(\mathrm{S}^2=\mathrm{F}\) என்க.
F சிறுமம் எனில்,S ஆனது சிறுமமாகும் 
\(\mathrm{F}  =\mathrm{S}^2=2 x^2-12 x+32 \)
\(\frac{d F}{d x} =4 x-12\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d F}{d x} =0 \Rightarrow 4 x-12=0 \Rightarrow x=3 \)
\(y =\sqrt{x^2-4}=\sqrt{9-4}= \pm \sqrt{5}\)
\(\frac{d^2 F}{d x^2}=4>0 \Rightarrow \mathrm{F}\) என்பது சிறுமம் அல்லது S என்பது சிறுமம்.
\(\therefore (3,-\sqrt{5})\) மற்றும் \((3,+\sqrt{5})\) ஆகியவை குறைந்தபட்ச தொலைவில் உள்ள புள்ளிகளாகும்.

\(\mathrm{f}(x)  =x^2 \mathrm{e}^{-2 x}, x>0\) என்க.
\(f^{\prime}(x)  =-2 x^2 \mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{-2 x}(2 x) \)
\(\mathrm{f}^{\prime}(x)  =2 \mathrm{e}^{-2 x}\left(x-x^2\right)\)
f பெருமத்திற்கு, \(\mathrm{f}^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow \mathrm{e}^{-2 x} \neq 0, x-x^2=0 \Rightarrow x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,1\)
x > 0 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே x = 1
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2\left[\mathrm{e}^{-2 x}(1-2 x)+\left(x-x^2\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 x}\right)\right. \)
\(=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[1-2 x-2 x+2 x^2\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=2 \mathrm{e}^{-2 x}\left[2 x^2-4 x+1\right] \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(1)=2 \times \mathrm{e}^{-2}[2-4+1]=\frac{-2}{e^2}<0\)
x = 1 ல், பெரும மதிப்பை அடையும் 
எனவே f(x) ன் பெரும மதிப்பு = \(\mathrm{f}(1)=1^2 \times \mathrm{e}^{-2} \)
\(=\frac{1}{e^2}\)

\(\mathrm{y}=\mathrm{e}^x \sin x, \quad x \in[0,2 \pi] \)
\(=\frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^x \sin x\)
\( \mathrm{~S}=\mathrm{e}^x(\cos x+\sin x) \)
\( \frac{d S}{d x}=\mathrm{e}^x(-\sin x+\cos x)+ (\cos x+\sin x) \mathrm{e}^x\)
\(=\mathrm{e}^x(2 \cos x)\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d S}{d x}  =0 \Rightarrow 2 \mathrm{e}^x \cos x=0\)
\(\mathrm{e}^x  =0\) என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore \cos x  =0 \)
\(x  =\frac{\pi}{2} \in(0,2 \pi)\)
S பெருமம் எனில், \(\frac{d^2 S}{d x^2}\) ஆனது < 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(\frac{d^2 S}{d x^2}=2\left[-\mathrm{e}^x \sin x+\cos x \cdot \mathrm{e}^x\right] \)
\( =2 \mathrm{e}^x[\cos x-\sin x] \)
\(x=\frac{\pi}{2}, S^{\prime \prime}=2 e^{\frac{\pi}{2}}[0-1]=-2 e^{\frac{\pi}{2}}<0\)
\( \therefore x=\frac{\pi}{2}\)  ல்,S ஆனது பெரும மதிப்பை அடையும்.

f| 3- x | + 9 
| 3- x | ன் சிறும மதிப்பு = 0
| 3- x | + 9 ன் சிறும மதிப்பு = 0 + 9 = 9 மற்றும் பெரும மதிப்பு இல்லை.

\(f(x) =\frac{1}{x} ; f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2} \)
\(f^{\prime}(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
\(-\frac{1}{x^2} =\frac{1 / 9-1}{9-1}=\frac{-8 / 9}{8} \)
\(x^2 =9 \Rightarrow x= \pm 3 \)
\(\therefore x =3 \in(1,9)\)

\(f(x) =x^3-3 x^2 \)
\(f^{\prime}(x) =3 x^2-6 x \)
\(f^{\prime}(x) =0 \Rightarrow 3 x(x-2)=0 \)
\(x =0,2 \)

\(f(x)=\sin ^4 x+\cos ^4 x \)
\( f^{\prime}(x)=4 \sin ^3 x \cos x-4 \cos ^3 x \sin x \)
\( f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow 4 \sin x \cos x\left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)=0 \)
\( \sin x=0 \quad \cos x=0 \quad \sin ^2-\cos ^2 x=0 \)
\( x=0 \quad x=\frac{\pi}{2} \quad \sin ^2 x=\cos ^2 x \)
\( x=\frac{\pi}{4} \)
\({\left[0, \frac{\pi}{4}\right], f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \mathrm{f}(x)}\) என்பது குறையும் சார்பு 
\({\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow \mathrm{f}(x) }\) என்பது கூடும் சார்பு.

\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)  =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{x}\right) \quad\left(\frac{0}{0}\right) \) வடிவம் 
\( =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x \cos x-\sin x}{x \sin x}\right) \)
\( =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x(-\sin x)+\cos x-\cos x}{x \cos x+\sin x}\right) \)
\( =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-x \sin x}{x \cos x+\sin x}\right) \quad\left(\frac{0}{0}\right) \) வடிவம் 
\( =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x \cos x-\sin x}{\cos x-x \sin x+\cos x}=0\)

y² = x மற்றும் x² = y என்பன பரவளையங்களின் திட்ட வடிவங்களாகும். அவற்றின் தொடுகோடுகள் முறையே y-அச்சு மற்றும் x-அச்சுகளாகும். x-அச்சிற்கும், y-அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் = \(\frac { \pi }{ 2 } \)

\(\mathrm{y}^2-x y+9  =0 \)
\(2 y \frac{d y}{d x}-\left(x \frac{d y}{d x}+y\right)  =0 \)
\(\frac{d y}{d x}(2 y-x)  =y \)
\(\frac{d y}{d x}  =\frac{y}{2 y-x}\)
தொடுகோடு நிலைகுத்தாக இருக்கும்போது, \(\frac{d y}{d x}=\infty\)
அதாவது \(\frac{y}{2 y-x}=\frac{1}{0} \Rightarrow 2 \mathrm{y}-x=0\)
\(2 \mathrm{y}=x\)
(1)ல் பிரதியியிட,
\(y^2-2 y^2+9  =0 \)
\(y^2  =9 \Rightarrow y= \pm 3\)

\(f(x)  =2 \cos 4 x \)
\(f^{\prime}(x)  =-8 \sin 4 x\)
\(x=\frac{\pi}{12}\) ல் செங்கோட்டின் சாய்வு 
\(=-\frac{1}{-8 \sin 4\left(\frac{\pi}{12}\right)}\)
\(=\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{3}}=\frac{1}{8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

\(f(x)  =\sqrt{8-2 x} \)
\(f^{\prime}(x) =-\frac{2}{2 \sqrt{8-2 x}}=-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}\)
தொடுகோட்டின் சாய்வு = - 0.25
அதாவது f'(x)=-0.25
\(-\frac{1}{\sqrt{8-2 x}}  =-0.25=\frac{-1}{4} \)
\(\sqrt{8-2 x}  =4 \Rightarrow 8-2 x=16 \)
\(x  =-\frac{8}{2}=-4\)
x ஆயத்தொலைவு = -4

கொடுக்கப்பட்டது : \(\frac {dy }{dt } = 8\frac {dx}{dt}\)
வகைப்படுத்த, \(6 \mathrm{y}=x^3+2\)
வகைப்படுத்த,\(6\frac {dy }{dt } = 3x^2\frac {dx}{dt}\)
\(2\left(8 \frac{d x}{d t}\right) =x^2 \frac{d x}{d t} \)
\(x^2 =16 \Rightarrow x= \pm 4\)
x = 4 எனும்போது, y = 11
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளி (4, 11)

s(t) = 3t² -2t -8
திசைவேகம் V = ds/dt = 6t - 2
துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது, திசைவேகம் V = 0
6t - 2 = 0
t = 1/3

படத்திலிருந்து \(\tan \theta =\frac{y}{40} \Rightarrow y=40 \tan \theta \)
\(\frac{d y}{d t} =40 \sec ^2 \theta \frac{d \theta}{d t} \)
\(10 =40\left(\frac{50}{40}\right)^2 \frac{d \theta}{d t} \)
\(\therefore \frac{d \theta}{d t}=\frac{10 \times 40}{2500}=\frac{4}{25}\) ரேடியன்கள்/வினாடி

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d V}{d t}=3 \pi\) செ.மீ/வி ;
\(\mathrm{r}=\frac{1}{2}\) செ.மீ 
கன அளவு \(\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi r^3\)
' 't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்து,
\(\frac{d V}{d t}  =\frac{4}{3} 3 \pi r^2 \frac{d r}{d t} \)
\(3 \pi  =\frac{4}{3} 3 \pi\left(\frac{1}{4}\right) \frac{d r}{d t} \)
\(\frac{d r}{d t}  =3\)
ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் 3 செ.மீ/வினாடி.