1) கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் சார்பகம் 
\(\left( -\infty ,-2 \right) \cup \left( -2,2 \right) \cup \left( 2,\infty \right) \) 
அதாவது \(x<-2\) (அல்லது) -2 < x <2.
2) f(x)ன் வீச்சகம் \(\left( -\infty ,-\frac { 1 }{ 4 } \right) \cup \left( 1,\infty \right) \) 
அதாவது,\(f(x)\le -\cfrac { 1 }{ 4 } \) (அல்லது) f (x)>1.
3) y=0 எனப் பிரதியிட,'x' என்பது மெய் அல்ல.
எனவே,x-வெட்டுத்துண்டு கிடையாது.x=0 எனப் பிரதியிட,நாம் பெறுவது 
\(y=-\cfrac { 1 }{ 4 } \) , \(\therefore\)  y வெட்டுத்துண்டு \(\left( 0,-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \) 
4) \(f'\left( x \right) =\cfrac { 10x }{ \left( { x }^{ 2 }-4 \right) ^{ 2 } } \) 

  \(f'\left( x \right) =0\Rightarrow x=0\) .
 \(\therefore\) நிலை எண்கள் x=0ல் உள்ளது.
5) \(f''\left( x \right) =\cfrac { 10\left( { x }^{ 2 }-4 \right) \left( { 3x }^{ 2 }+4 \right) }{ \left( { x }^{ 2 }-4 \right) ^{ 4 } } \) 
   \(f''\left( 0 \right) =-\cfrac { 5 }{ 8 } <0,\therefore x=0\) ல் f(x) பெருமமாகிறது.
எனவே, இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு \(f(0)=-\cfrac { 1 }{ 4 } \) .
6) வளைவரைக்கு,வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் கிடையாது.
7) \(x=\pm 2\) எனும்போது,\(y=\infty \) 
\(\therefore x=2\) மற்றும் x = - 2 என்பன நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடுகள் மற்றும் y=1 என்பது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:
\(r+h=6\) 
\(\Rightarrow r=6-h\) 
கனஅளவு \(V={ \pi r }^{ 2 }h\) 
\(V=\pi \left( 6-h \right) ^{ 2 }h\) 
\(\cfrac { dV }{ dh } =\pi \left[ \left( 6-h \right) ^{ 2 }\left( 1 \right) +2h\left( 6-h \right) \left( -1 \right) \right] \) 
= \(\pi \left( 6-h \right) \left[ 6-3h \right] \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dV }{ dh } =0\Rightarrow \pi \left( 6-h \right) \left( 6-3h \right) =0\) 
\(\Rightarrow h=6,h=2\) 
r+h=6 என்பதால் r=6 என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore h=2\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dh }^{ 2 } } =\pi \left[ (6-h)(-3)+(6-3h)(-1) \right] \) 
= \(\pi \left[ 6h-24 \right] \) 
\(h=2\) ,ல் \(\quad \cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dh }^{ 2 } } <0\) 
\(\therefore\) h=2 எனும்போது உருளையின் கனஅளவு பெருமமாகிறது மற்றும் r=6-2=4
கன அளவின் மீப்பெரு மதிப்பு  \(V=\pi \left( 4 \right) ^{ 2 }\left( 2 \right) =32\pi \) 
கன அளவின் மீச்சிறு மதிப்பு V=0

மேய்ச்சல் நிலத்தின் நீளம் 'x' மீ என்க.
மேய்ச்சல் நிலத்தின் அகலம் 'y' மீ என்க.
கொடுக்கப்பட்ட பரப்பு = 1,80,000
xy=1,80,000
\(y=\cfrac { 1,80,000 }{ x } \) 
வேலி அமைக்கத் தேவைப்படுவது 2y+x 
(ஒரு பக்கம் ஆறு உள்ளது)
P=2y+x என்க 
\(P=2\left( \cfrac { 180000 }{ x } \right) +x=\cfrac { 360000 }{ x } +x\) 
\(\cfrac { dP }{ dx } =-\cfrac { 360000 }{ { x }^{ 2 } } +1\) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dp }{ dx } =0\) 
\(\Rightarrow -360000+{ x }^{ 2 }=0\) 
\({ x }^{ 2 }=360000\) 
\(x=\pm 600\) 
[x=-600 என்பது சாத்தியமல்ல]
\(\therefore x=600\) 
இப்போது,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 720000 }{ { x }^{ 3 } } \) 
x=600ல்,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) ல் \(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) எனும்போது P என்பது சிறுமமாகிறது.
\(y=\cfrac { 180000 }{ 600 } =300\) 
\(\therefore\) வேலி அமைக்கத் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் 
= \(2y+x=2\left( 300 \right) +600=1200\) மீ   

\(f(x)={ 4x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }-6x+1\) 
ஓரியல்பு 
\(f(x)={ 4x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }-6x+1\) 
\(f'\left( x \right) ={ 12x }^{ 2 }+6x-6\) 
\(f'(x)=0\Rightarrow 6\left( { 2x }^{ 2 }+x-1 \right) =0\) 
\(x=-1,\cfrac { 1 }{ 2 } \) (நிலை எண்கள்)
\(\therefore\) ஓரியல்பு தன்மையின் இடைவெளிகள் 
 \(\left( -\infty ,-1 \right) ,\left( -1,\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \( \left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,\infty \right)\)
\(\left( -\infty ,-1 \right) \quad f'(x)>0\Rightarrow f(x)\) திட்டமாக ஏறுகிறது.
\(\left( -1,\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) ல்,\(\quad f'\left( x \right) <0f(x)\) திட்டமாக இறங்குகிறது.
\(\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,\infty \right) \) ல் \(f'\left( x \right) >0\Rightarrow f(x)\) திட்டமாக ஏறுகிறது.
x =-1 ஐக் கடக்கும்போது f'(x)ன் குறி மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுவதால்,f(x) என்பது இடஞ்சார்ந்த பெருமத்தை அடைகிறது.
\(\therefore\) இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு 
 \(f(-1)=-4+3+6+1=6\) 
\(x=\cfrac { 1 }{ 2 } \) ஐக் கடக்கும்போது \(f'\left( x \right) \) ன் குறி குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால்,f(x) என்பது இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை அடைகிறது.
\(\therefore\) இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு 
\(f\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
= \(4\left( \cfrac { 1 }{ 8 } \right) +3\left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) -6\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) +1\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 3 }{ 4 } -3+1=-\cfrac { 3 }{ 4 } \) 
 \(f(x)={ 4x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }-6x+1\) 
\(f'(x)={ 12x }^{ 2 }+6x-6\) 
\(f''(x)=24x+6\) 
\(f''(x)=0\Rightarrow 24x+6=0\) 
\(x=-\cfrac { 6 }{ 24 } =-\cfrac { 1 }{ 4 } \) (தேக்கநிலைப் புள்ளிகள்)
\(\therefore\) இடைவெளிகள்  \(\left( -\infty ,-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \) மற்றும் \(\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } ,\infty \right) \) 

இடைவெளி \(\left( -\infty ,-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \) ல்,\(f''(x)<0\) 
\(\Rightarrow \) வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவாகவும்,
\(\left( -\infty ,-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \) ல் கீழ்நோக்கி குழிவாகவும் உள்ளது.
\(x=-\cfrac { 1 }{ 4 } \) ஐக் கடக்கும்போது,\(f''(x)\) ன் குறி மாறுகிறது.
இப்போது \(f\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } \right) =4\left( -\cfrac { 1 }{ 64 } \right) +3\left( \cfrac { 1 }{ 16 } \right) -6\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } \right) +1\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 16 } +\cfrac { 3 }{ 16 } +\cfrac { 3 }{ 2 } +1=\cfrac { 21 }{ 8 } \) 
\(\therefore\)  வளைவு மாற்றப் புள்ளி \(\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } ,\cfrac { 21 }{ 8 } \right) \)

\(f(x)=-3{ x }^{ 5 }+5{ x }^{ 3 }\) 
\(f'(x)=-15{ x }^{ 4 }+{ 15 }x^{ 2 }\) 
பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளுக்கு \(f'(x)=0\) 
\(\Rightarrow -15{ x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }-1 \right) =0\) 
\(x=0,1-1\) [x=0 என்பது அறுதி மதிப்பைத் தராததால் இது சாத்தியமல்ல.
\(f''(x)=-60{ x }^{ 3 }+30x\) 
\(f''\left( 1 \right) <0\Rightarrow f(x)\) என்பது சிறுமத்தை அடைகிறது.
\(f(-1)=-3(-1)+5(-1)=-2\) 
இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு 
\(f(1)=-3\left( 1 \right) +5\left( 1 \right) =2\)

\(f'(x)={ x }^{ 2 }-\cfrac { 1 }{ x } \) 
\(f'(x)=0\Rightarrow { x }^{ 3 }-1=0\Rightarrow x=1\) 
\(\therefore\) இடைவெளிகள் (0, 1) மற்றும் \((1,\infty )\) 
அதாவது, \(x>0\) எனும்போது,சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(0, 1) என்ற இடைவெளியில் \(f'\left( x \right) <0\) 
\(\therefore\) f(x) என்பது (0,1)ல் திட்டமாக இறங்குகிறது.
\(\\ \left( 1,\infty \right) \) என்ற இடைவெளியில் \(f'\left( x \right) <0\) 
\(\therefore\) f(x) என்பது \(\\ \left( 1,\infty \right) \) ல் திட்டமாக ஏறுகிறது.f'(x)ன் குறி x=1 ஐக் கடக்கும்போது குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால்,f(x) என்பது இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடைகிறது.
\(\therefore\) இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு 
\(f(1)=\cfrac { 1 }{ 3 } -\log1=\cfrac { 1 }{ 3 } -0=\cfrac { 1 }{ 3 } \) 

படத்திலிருந்து,\(\cfrac { r }{ h } =\cfrac { 5 }{ 12 } \) \(\Rightarrow\) \(r=\cfrac { 5h }{ 12 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கன அளவின் மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dt } =10\) 
h=8 எனும்போது \(\cfrac { dh }{ dt } \) ஐக் காண வேண்டும்
கூம்பின் கன அளவு \(V=\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }\)h 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 5h }{ 12 } \right) ^{ 2 }h\) 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 25{ h }^{ 3 } }{ 144 } \right) =\cfrac { 25\pi }{ 432 } { h }^{ 3 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3{ h }^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \) 
\(10=\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3\left( 8 \right) ^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \)  \(\left[ \therefore h=8 \right] \) 
\(\therefore \cfrac { dh }{ dt } =\cfrac { 1 }{ \pi } \cfrac { 432\times 10 }{ 3\times 25\times 64 } =\cfrac { 4320 }{ 4800\pi } \) 
= \(\cfrac { 0.9 }{ \pi } =\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) 
ஃ  நீரின் ஆழம் நிமிடத்திற்கு \(\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) மீ வேகத்தில் அதிகரிக்கிறது. 

முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .

x=2 எனும்போது சார்பு வரையறுக்கப்படாததாகிறது.
\(\therefore x=2\) என்பது நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடு,வளைவரைக்கு கிடைமட்டத்தொலைத்தொடுகோடு இல்லை,சாய்ந்த தொலைத் தொடுகோட்டை,பல்லுறுப்புக் கோவைகளின்  நீண்ட வகுத்தல் மூலம் காணலாம்.

\(\therefore y=\cfrac { x }{ 3 } +\cfrac { 8 }{ 3 } \) (அல்லது) \(3y=x+8\) என்பது சாய்ந்த தொலைத்தொடுகோடாகும்.

கன சதுரத்தின் கன அளவு \(v={ x }^{ 3 }\) 
மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\) 
x = 5 அலகுகள் எனும்போது \(\cfrac { dv }{ dx } =3(5)^{ 2 }=3(25)\) 
= 75 அலகுகள்.

\(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim}(\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{x}{x-1})\) [ \(\infty -\infty \) தேரப்பெறா வடிவம் சுருக்கக் கிடைப்பது 
= \(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \lim } \left[ \cfrac { 2-x(x+1) }{ { x }^{ 2 }-1 } \right] \) 
= \(\underset { x\rightarrow 1^{ + } }{ \lim } \left[ \cfrac { 2-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 } \right]\) \([\frac{0}{0}\) தேரப்பெறா வடிவம் லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த,   
= \(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \lim } \cfrac { -2x-1 }{ 2x } =-\cfrac { 3 }{ 2 } \)

\(f(x)=log\left( 1-x \right)\) என்க\(-1\le x<1\) 
\(f(x)=log\left( 1-x \right) \quad f(0)=0\) 
\(f'(x)=-\cfrac { 1 }{ 1-x } \quad f'(0)=-1\) 
\(f''(x)=-\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) ^{ 2 } } \quad f''(0)=-1\) 
\(f'''(x)=-\cfrac { 2 }{ (1-x)^{ 3 } } f'''(0)=-2\) 
\({ f }^{ IV }\left( x \right) =-\cfrac { 6 }{ (1-x)^{ 4 } } { f }^{ IV }(0)=-6\) 
மெக்லாரின் விரிவு 
\(f(x)=\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \Sigma } } \cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } \) 
\(f(0)+\cfrac { f'(0) }{ 1! } x+\cfrac { f''(0) { x }^{ 2 }}{ 2! }+...+\cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } +...\) 
\(\log(1-x)=0\cfrac { 1 }{ 1! } x-\cfrac { 1 }{ 2! } { x }^{ 2 }-\cfrac { 2 }{ 3! } { x }^{ 3 }-\cfrac { 6 }{ 4! } { x }^{ 4 }+...\) 
\(=-\left[ x+\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\cfrac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +... \right] \)

\(f(x)=\cfrac { x+1 }{ x } ,x\in \left[ -1,2 \right] \) 
f(0)=வரையறுக்கப்படாதது.
f(0)= என்பது x=0 ல் தொடர்ச்சியற்றது.
எனவே, லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது. 

\(f(x)=\sqrt { x } -\cfrac { x }{ 3 } ,x\varepsilon \left[ 0,9 \right] \) 
\(f(0)=0,f(9)=\sqrt { 9 } -\cfrac { 9 }{ 3 } =3-3=0\) 
\(\Rightarrow f\left( 0 \right) =0=f(9)\) 
f(x) என்பது [0,9]ல் தொடர்ச்சியானது 
f(x) என்பது (0,9)ல் வகையிடத்தக்கது.
இப்போது \(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
தொடுகோடு, x அச்சுக்கு இணை என்பதால்,
\(f'(x)=0\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } =0\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 2\sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
\(\sqrt { x } =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \in \left( 0,9 \right) \)

\(y=x \sin x;\left( \cfrac { \pi }{ 2 } ,\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =x \cos x+ \sin x\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('m'=\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( \pi /2,\pi /2 \right) }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 2 } cos\cfrac { \pi }{ 2 } +sin\cfrac { \pi }{ 2 } =1\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =-1\) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m(x-{ x }_{ 1 })\) 
\(\Rightarrow y=\cfrac { \pi }{ 2 } =1\left( x-\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow x-y=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { \pi }{ 2 } =-1\left( x-\cfrac { \pi }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { \pi }{ 2 } =-x+\cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow x+y-\pi =0\)