\(\Delta =\left| \begin{matrix} 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{matrix} \right| =-30+63=33\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 16 & -7 \\ 35 & -5 \end{matrix} \right| =80+245=165\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 6 & 16 \\ 9 & 35 \end{matrix} \right| =210-144=66\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 165 }{ 33 } =5\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 66 }{ 33 } =2\)
∴ தீர்வு கணம் {6,2}

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \Rightarrow AX=B\) இங்கு 
\(A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) ,X=\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) \)
∴ X=A^-1 B
\(|A|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=2+5=7\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 3 & +4 \\ -15 & +8 \end{bmatrix}\)
\(\\ =\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ தீர்வு கணம் {1, -1}

தொகுப்பின், அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 12 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| -1\begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}+9\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \)
=3(14-12)-1(21-24)+9(3-4)
=6+3-9=9-9=0
|A|=0 எனில், சமப்படித்தான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளும் உண்டு.

\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ 7 & -3 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ -1 & -3 & 12 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & -3 & 12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }+{ (-1) }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 0 & -47 & 42 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 25 \end{matrix} \right] \)
சமான ஏறுபடி வடிவ அணியில் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=2

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி 

கொடுக்கப்பட்ட\(\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right]\)தரம் என்பது 2
⇒ மூன்றாம் வரிசை அணியின் தரம் பூச்சியம் 
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix}+0=0\)
\(\Rightarrow \lambda ({ \lambda }^{ 2 }-0)+1(0-1)=0\)
\(\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }-1=0\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }=1\Rightarrow \lambda =1\)
\(\therefore \lambda =1\)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 10 \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=2 [2 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
மட்டும் ρ([A|B]=2 [3 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
∴ ρ(A)≠ρ([A|B]
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது 

சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட் அணியை ஏறுபடி வடிவில் உருமாற்ற கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2 }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=1, ρ[A|B]=1
∴ ρ(A)=ρ[A|B]=1< மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக தீர்வுகள் இருக்கும்.
∴ y=t, என பிரதியிட, இங்கு t ∈ R 
ஏறுபடி வடிவத்தை சமன்பாடுகளாக எழுத கிடைப்பது 
2x-3y=7
∴ 2x-3t=7
⇒ 2x=7+3t
⇒ x=\(\frac{1}{2}(7+3t)\)
∴ தீர்வு கணம்{\(\frac{1}{2}(7+3t)\),t} இங்கு t ∈ R

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க Aன் தரம் 3விட குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில் ஒவ்வொரு 3 வரிசையுடைய சிற்றிணிக்கோவையும் பூச்சியமாக இருத்தல் வேண்டும்.
\(\therefore \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} h-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| +0+0=0\)
⇒ 3(h-2)=0
⇒ h-2=0⇒h=2

\(AB=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+3 & 10+4 \\ 20+9 & 25+12 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=407-406=1\neq 0\)
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{bmatrix}..(1)\)
\(|A|=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=6-5=1\)
\(|B|=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=16-15=1\)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 12+25 & -4-10 \\ -9-20 & 3+8 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (AB)^-1 =B^-1A^-1

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A/B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 1 & -7 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 12 \\ \mu \\ 17 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 22 & \lambda -51 \\ 0 & 11 & -11 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -51 \\ -22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 11 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -7 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \)
நிலை (i) λ≠2 எனில்,
ρ([A|B])=3 மற்றும் ρ(A)=3
∴ ρ([A|B])=ρ(A)=3=மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
∴ ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும் 
நிலை (ii) λ=2 எனில் μ=7,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=2
∴ ρ(A)=ρ([A|N])=2 <மாறிகளின் எண்ணிக்கை  தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
நிலை (iii) λ=2 மற்றும் μ≠7 எனில் மட்டும் 
ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஆகையால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \(=[A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ { \lambda }^{ 2 } \end{matrix} \right] \)
\([A|B]=\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ \lambda -1 \\ { \lambda }^{ 2 }-1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ \lambda -1 \\ { \lambda }^{ 2 }-1-3\lambda +3 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ \lambda -1 \\ { \lambda }^{ 2 }-1-3\lambda +3 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது எனில் ρ([A|B])=2
ρ([A|B])=2 மட்டும் எனில் λ²-3λ+2=0
⇒(λ-1)(λ-2)=0⇒=1 அல்லது λ=2
∴கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது எனல்  λ-ன் மதிப்புகள் 1 மற்றும் 2 மட்டும்.

\(\frac { 1 }{ x } =a,\quad \frac { 1 }{ y } =b,\quad \frac { 1 }{ z } =c\)
எனக் கொடுக்கப்பட்டால் 
∴ 2a+3b+10c=4   ....(1)
   4a-6b+5c=1      ....(2)
6a+9b-20c=2       ....(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} -6 & 5 \\ 9 & -20 \end{matrix} \right| -3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}\)
=2(120-45)-3(-80-30)+10(36+36)
=150+330+720=1200
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 10 \\ 1 & -6 & 5 \\ 2 & 9 & -20 \end{matrix} \right| \)
\(\\ =4\begin{vmatrix} -6 & 5 \\ 9 & -20 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 9 \end{vmatrix}\)
=4(120-45)-3(-20-10)+10(9+12)
=300+90+120=600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 10 \\ 4 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & -20 \end{matrix} \right| =2\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -20 \end{vmatrix}-4\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}\)
=2(-2-10)-4(-80-30)+(8-6)
=-60+440+20=400
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -6 & 1 \\ 6 & 9 & 2 \end{matrix} \right| =2\begin{vmatrix} -6 & 1 \\ 9 & 2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}\)
=2(-12-9)-3(8-6)+4(36+36)
=-42-6+288=240
\(\therefore a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=2\)
\(\therefore b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 400 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(\therefore c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 240 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow z=5\)
∴ தீர்வு கணம் {2,3,5}

கொடுக்கப்பட்ட f(x)=ax²+bx+c
f(1)=0
⇒ a(1)2+b(1)+c=0
⇒ a+b+c=0    ...(1)
f(2)=-2
⇒ a(2²)+b(2)+c=-2
⇒ 4a+2b+c=-2 ...(2)
f(3)=-6
⇒a(3²)+b(3+c=-6
⇒ 9a+3b+c=-6     ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}\)
=1(2-3)-1(4-9)+1(12-18)
=-1+5-6=-2≠0
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -6 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =0-1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -6 & 3 \end{vmatrix}\)
=-1(-2+6)+1(-6+12)=-1(4)+1(6)=2
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +0+1\left| \begin{matrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{matrix} \right| \)
-1(-2+6)+1(-24+18)=4-6=-2
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \\ 9 & 3 & -6 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{vmatrix}\)
=1(-12+6)-1(-24+18)=-6+6=0
∴ கிராமரின் விதியை பயன்படுத்தி, 
\(a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 2 }{ -2 } =-1\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ -2 } =1\)
\(c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 0 }{ -2 } =0\)
\(\therefore f(x)=(-1){ x }^{ 2 }+1x+0\)
\(\Rightarrow f(x)={ x }^{ 2 }+x\)