விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A/B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 1 & -7 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 12 \\ \mu \\ 17 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 22 & \lambda -51 \\ 0 & 11 & -11 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -51 \\ -22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 11 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -7 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \)
நிலை (i) λ≠2 எனில்,
ρ([A|B])=3 மற்றும் ρ(A)=3
∴ ρ([A|B])=ρ(A)=3=மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
∴ ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும் 
நிலை (ii) λ=2 எனில் μ=7,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=2
∴ ρ(A)=ρ([A|N])=2 <மாறிகளின் எண்ணிக்கை  தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
நிலை (iii) λ=2 மற்றும் μ≠7 எனில் மட்டும் 
ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஆகையால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

AB =\(\left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0+0 & 0+3 \\ -2+0 & -3-4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right] \)
(AB)^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+6) } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \)    ...(1)
A^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+3) } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
B^-1 =\(\frac { 1 }{ (2-0) } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \)
B^-1A^-1 =\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \) ....(2)
அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)^-1 = B^-1A^-1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\(AB=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+3 & 10+4 \\ 20+9 & 25+12 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=407-406=1\neq 0\)
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{bmatrix}..(1)\)
\(|A|=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=6-5=1\)
\(|B|=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=16-15=1\)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 12+25 & -4-10 \\ -9-20 & 3+8 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (AB)^-1 =B^-1A^-1

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{matrix} \right| \) = 2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6) = 10 + 15 + 15 = 40 ≠ 0
எனவே A^-1 காண இயலும் மற்றும்
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adjA)=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} +(4+1) & -(-2-3) & +(-1+6) \\ -(-6+3) & +(4-9) & -(-2-9) \\ +(3+6) & -(2-3) & +(-4-3) \end{matrix} \right] ^{ T }=\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 25-12+27 \\ 25+52+3 \\ 25-44-21 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \begin{matrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1)

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \)என்க 
\(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 11 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 11 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் அமைந்துள்ளது. இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளை உடையது.
∴ ρ(A)=2

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)

ρ(A) = ρ(A |B) = 2
λ - 7 = 0 மற்றும் μ + 5 = 0
λ = 7 மற்றும் μ = -5

\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} =\mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I} \)
\({\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & x \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\frac{3}{5} x+\frac{12}{25} =0\)
\(\frac{3}{5} x=\frac{-12}{25} \Rightarrow x = \frac{-4}{5}\)

|A| = 14 - 12 = 2 ≠ 0
\( \text { adj } A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]=2 A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} & 9I-A=9\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] = 2A^{-1}\)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

3

C_i➝C_i-R_j

A செங்கோண அணி 
குறிப்பு: 1,2,3 சமச்சீர் அணியின் பண்புகள்