\(\Delta =\left| \begin{matrix} 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{matrix} \right| =-30+63=33\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 16 & -7 \\ 35 & -5 \end{matrix} \right| =80+245=165\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 6 & 16 \\ 9 & 35 \end{matrix} \right| =210-144=66\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 165 }{ 33 } =5\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 66 }{ 33 } =2\)
∴ தீர்வு கணம் {6,2}

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \Rightarrow AX=B\) இங்கு 
\(A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) ,X=\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) \)
∴ X=A^-1 B
\(|A|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=2+5=7\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 3 & +4 \\ -15 & +8 \end{bmatrix}\)
\(\\ =\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ தீர்வு கணம் {1, -1}

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பிற்கான அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \)
சமப்படித்தான் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையான தீர்வுகள் மட்டுமே உண்டெனில் |A|≠0
\(\therefore \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \neq 0\)
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த 
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} -3 & -3 \\ 1 & k \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \neq 0\)
⇒ 1(-3k+3)-2(k+6)+2(1+6)≠0
⇒ -3k+3-2k-12+14≠0
⇒-5k+5≠0
⇒-5k≠-5⇒k≠\(\frac{-5}{-5}=1\)
⇒ k≠1

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி 

2x + 5y = -2
x + 2y = -3
x = A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2\\ -3\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A=\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]_{2\times 2}\)
|A| = 4 - 5 = -1 \(\neq\) 0
A^-1 exists
Adj (A) = adj \(\left [ \begin{matrix} 2& 5\\ 1& 2\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\left [ \begin{matrix} 2& -5\\ -1& 2\\ \end{matrix} \right ]\)
\(=\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\)
X=A^-1[B]
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ] =\left [ \begin{matrix} -2& 5\\ 1& -2\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} -2\\ -3 \end{matrix} \right ]\)
\(\left [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -2x-2& + 5x-3\\ 1x-2& + -2x-3\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} -11\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
x = -11, y = 4

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \) என்க. தொடக்க நிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(A\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & -6 & -4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது மற்றும் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகளைப் பெற்றுள்ளது. எனவே \(\rho \)(A) = 2

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).