u = x² மற்றும் ν = sin nx  என எடுத்துக் கொண்டு பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது,
 I =  \(\int ^{2\pi}_{0} \) x² sin nx dx = \([ (x^2) (-\frac{\cos nx}{n})\) - (2x) \((-\frac{\sin nx}{n^2})\) + (2) \((\frac{\cos nx}{n^3})]^{2\pi }_0\)
 = [(4π²) \((-\frac{1}{n})\) - 0 + (2)\((\frac{1}{n^3})\)] - [0-0+(2)\((\frac{1}{n^3})\)]
( ∵ cos 2nπ = 1 மற்றும் sin 2nπ = 0)
=  - \(\frac {4\pi^2}{n}\) + \(\frac {2}{n^3}\) -  \(\frac {2}{n^3}\) =   \(\frac {4\pi^2}{n}\)

\(f(x)=x \cos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) dx\) என்க 
\(f\left( -x \right) =\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { { e }^{ -x }-1 }{ { e }^{ -x }+1 } \right) \) 
= \(\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { 1/{ e }^{ x }-1 }{ 1/{ e }^{ x }+1 } \right) \) 
= \(\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { 1-{ e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } \right) \) 
= \(\left( -x \right) cos\left( \cfrac { -\left( { e }^{ x }-1 \right) }{ { e }^{ x }+1 } \right) \) 
= \(-xcos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) \) 
\(f(-x)=-f(x)\) 
f(x) என்பது 
\(\int _{ -a }^{ a }{ f(x)dx=0 } \) 
\(\therefore \int _{ -5 }^{ 5 }{ x\cos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) dx } =0\)

\(I = \int ^\frac {\pi}{2} _0 \frac {\cos \theta}{ (1 + \sin \theta)(2 + \sin \theta)}\) dθ  என்க.
u = 1 + \(\sin \theta\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது du = cosθ dθ
θ = 0 எனில் u =1 மற்றும் \(\theta\) = \(\frac{\pi}{2}\)  எனில் u = 2 .
∴ I = \(\int ^2_1 \frac{du}{u(1+u)}\) = \(\int ^2_1 \frac{(1+u)-u}{u(1+u)}\) du = \(\int ^2_1 (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u})\)du = [log u- log(1+u)\(]^2_1\)
= (log2-log3) - (log1-log2) = 2log2 - log3 = log \(\frac{4}{3}\).

இங்கு \(f(x)=5x+4,a=0,b=1\) 
எனவே, பெறுவது 
\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ f\left( \cfrac { r }{ n } \right) } \) 
\(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 5x+4 \right) dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } } \cfrac { 1 }{ n } \left[ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( 5\left( \cfrac { r }{ n } \right) +4 \right) } \right] \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \sum _{ r=1 }^{ n }{ 5\left( { \cfrac { r }{ n } } \right) +\sum _{ r=1 }^{ n }{ 4 } } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r+\sum _{ r=1 }^{ n }{ 4 } } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5 }{ n } \times \cfrac { n\left( n+1 \right) }{ 2 } +4n \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 5n+5+8n }{ 2 } \right) \) 
=\(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { 13n+5 }{ 2 } \right) \) 
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { n }{ 2 } \left( 13+\cfrac { 5 }{ n } \right) \) 
= \(\cfrac { 13 }{ 2 } \)

இங்கு \(a=1,b=1.5,n=5,f(x)=2-x\) 
எனவே,ஒவ்வொரு  இடைவெளியின் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 0 }=1,{ x }_{ 1 }=1.1,{ x }_{ 2 }=1.2,{ x }_{ 3 }=1.3,{ x }_{ 4 }=1.4,{ x }_{ 5 }=1.5\) 
சம அளவு \(\Delta x\) கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான நடு-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \right) +f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) +...+f\left( \cfrac { { x }_{ n-1 }+{ x }_{ n } }{ 2 } \right) \right] \Delta x\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1+1.1 }{ 2 } \right) =f\left( 1.05 \right) =2-1.05=0.95\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.1+1.2 }{ 2 } \right) =f\left( 1.15 \right) =2-1.15=0.85\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.2+1.3 }{ 2 } \right) =f\left( 1.25 \right) =2-1.25=0.75\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 4 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.3+1.4 }{ 2 } \right) =f\left( 1.35 \right) =2-1.35=0.65\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 4 }+{ x }_{ 5 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.4+1.5 }{ 2 } \right) =f\left( 1.45 \right) =2-1.45=0.55\) 
\(\therefore S=(0.95+0.85+0.75+0.65+0.55)\times 0.1\) 
= \(3.75\times 0.1\) 
= \(0.375\)

I =  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) (3 cos ⁴ x - 7 sin⁵ x ) dx = 3  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) cos⁴ x  dx - 7 \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) sin⁵ x dx
= 3 × \(\frac {3}{4}\) ×  \(\frac {1}{2}\) ×  \(\frac {\pi}{2}\) - 7 ×  \(\frac {4}{3}\) ×  \(\frac {2}{3}\)= \(\frac {9\pi}{16}\) - \(\frac {56}{15}\).
குறைப்புச் சூத்திரம் III -  ஐ திரும்பத் திரும்ப பயன்படுத்தி  பின்வரும் முடிவுகளை (நிரூபணமின்றி)  நாம் பெறலாம் :
(i) n  இரட்டை எண் மற்றும் m இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx = \(\frac {(n-1)}{m+n}\)  \(\frac {(n-3)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ......\(\frac {1}{m+2}\) \(\frac {m-1}{m}\) \(\frac {m-3}{m-2}\)\(\frac {m-5}{m-4}\) ... \(\frac {1}{2}\)\(\frac {\pi}{2}\)
(ii) n ஒற்றை எண் மற்றும் m மிகை முழுக்கள் (இரட்டை எண் அல்லது ஒற்றை எண்), எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx =  \(\frac {(n-1)}{m+n}\) \(\frac {(n-1)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ... \(\frac {2}{m+3}\)\(\frac {2}{m+1}\)
குறிப்பு
m மற்றும் n ஏதாவது ஒன்று ஒற்றை எண் எனில் cos x சார்பின் பின் அடுக்கினை ஒற்றை எண் ஆக
மாற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக m ஒற்றை எண் மற்றும் n இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ^m x cos ⁿ x dx  =  \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ⁿ x cos ^m x dx  =  \(\frac {(m-1)}{n+m}\) \(\frac {(m-3)}{(n+m-2)}\) \(\frac {(m-5)}{(n+m-4)}\) ... \(\frac {2}{(n+3)}\)\(\frac {1}{(n+3)}\).

I =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) ( sin² x + cos⁴ x ) dx =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) sin² x  dx + \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) cos⁴x dx = \(\frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} + \frac {3}{4} \times \frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} = \frac {7\pi}{16} \)

f(x) =  \(e ^{-|x|}\)  என்க. f(-x) =  \(e ^{-|-x|}\) = \(e ^{-|x|}\) =  f (x)
எனவே f (x) என்பது ஓர் இரட்டைப் படைச் சார்பாகும்.
ஆகவே  \(\int ^{\log 2}_{-\log 2} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-x}\) dx
= 2(-e^-x)\(^{\log2}_{0}\) = 2 (-e^-log2 + e⁰) = 2 \((-e ^{\log \frac{1}{2}} + 1)\)
= 2  \((-\frac {1}{2}+1)=1\).

I = \(\int ^2_1 \frac { x}{(x+1)(x+2)}\) dx என்க.
I = \(\int ^2_1 [\frac { -1}{(x+1)} + \frac{2}{(x+2)}]\) dx   (பகுதி பின்னமாக்குதல் பயன்படுத்தி)
= [- log(x+1) + 2 log(x+2)\(]^2_1\)
= log \([\frac {(x+2)^2}{x+1}]^2_1\)
= log\(\frac {16}{3}\) - log \(\frac {9}{2}\)
= log \(\frac{32}{27}\)