முதலில் y²=x மற்றும் y=x-2 ஆகியவை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண 
y=y²-2
y²-y-2=0
y=2,y=-1
வெட்டும் புள்ளிகள் (4,2),(1,-1)

தேவையான பரப்பு = \(\int _{ e }^{ d }{ \left( { X }_{ R }-{ X }_{ L } \right) dy } \) 
= \(\int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( y+2 \right) dy-\int _{ -1 }^{ 2 }{ { y }^{ 2 }dy } } \) 
= \(\left[ \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +2y \right] _{ -1 }^{ 2 }-\left[ \cfrac { { y }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ -1 }^{ 2 }\) 
= \(\left[ 2+4-\cfrac { 1 }{ 2 } +2 \right] -\left[ \cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { 15 }{ 2 } -3=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 
தேவையான பரப்பு = \(\frac { 9 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள் 

\(\sqrt x\) = u என்க. எனவே  x= u² , மற்றும் dx = 2u du.
x = 0 எனில், u = 0 மற்றும் x = 9 எனில், u = 3.
∴  \(\int ^9 _0 \frac{1}{x+ \sqrt x}\) dx = \(\int ^3_0 \frac{1}{u^2+ u}\) (2u)du = 2 \(\int ^3_0\frac{1}{1+ u}\) du =  2[log |1+u|\(]^3_0\)  = 2[log4 -0] = log 16.

I =  \(\int ^\frac{\pi}{3}_0 \frac{\sec {x} \tan x}{1 + \sec^2 x} \) என்க.
sec x = u என்க. எனவே sec x tan x dx = du.
x = 0 எனில், u = sec 0 =1 மற்றும்  x = \(\frac {\pi}{3}\) எனில் u = sec  \(\frac {\pi}{3}\) = 2
∴  I = \(\int ^2_1 \frac{du}{1+u^2}\) = \([\tan^{-1} u]^2_1\)   = tan ^-1(2) - tan^-1 1 =  tan ^-1 (2) - \(\frac{\pi}{4}\).

சுழற்றப்படும் பரப்பு இங்கே வரையப்பட்டுள்ளது.

பரப்பு y-அச்சைப் பொறுத்து சுழல்வதால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு 
\(V=\pi \int _{ -1 }^{ 3 }{ { x }^{ 2 }dy } \) 
= \(\pi \int _{ -1 }^{ 3 }{ (1+y) } dy\) 
= \(\pi \left[ y+\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 3 }\) 
= \(\pi \left[ 3+\cfrac { 9 }{ 2 } +1-\cfrac { 1 }{ 2 } \right] =\pi \times 8=8\pi \) 

பரப்பு x-அச்சைப் பொறுத்து சுழல்வதால் 
\(V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
\(\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { e }^{ -2x } \right) ^{ 2 }dx } \) 
= \(\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ -4x }dx } \) 
= \(\pi \left[ \cfrac { { e }^{ -4x } }{ -4 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\) 
= \(\pi \left[ \cfrac { { e }^{ 4 } }{ -4 } +\cfrac { 1 }{ 4 } \right] =\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ 1-{ e }^{ -4 } \right] \) 
தேவையான கனஅளவு = \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ 1-{ e }^{ -4 } \right] \) கன அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை = \(y=(x-2)^{ 2 }+1\) 
அதாவது \((y-1)=\left( x-2 \right) ^{ 3 }\) 
பரவளையத்தின்முனை (2,1)
மீச்சிறு புள்ளி \(P(2,1)\) 
PQ-ன் சாய்வு 2.

PQ-ன் சமன்பாடு \(y-1=2(x-2)\) 
\(y-1=2x-4\) 
\(y=2x-3\) 
\(y=2x-3\) மற்றும் \(y=(x-2)^{ 2 }+1\) 
ஆகியவை வெட்டும் புள்ளி
\(2x-3=\left( x-2 \right) ^{ 2 }+1\)  
\(2x-4=\left( x-2 \right) ^{ 3 }\) 
\(2(x-2)=\left( x-2 \right) ^{ 2 }\) 
x-2=2
x=4 எனும்போது,y=5
தேவையான பரப்பு =\(\int _{ a }^{ b }{ \left( { y }_{ L }-{ y }_{ c } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 2 }^{ 4 }{ \left( 2x-3 \right) dx-\int _{ 2 }^{ 4 }{ \left( x-2 \right) ^{ 2 }+1dx } } \) 
= \(\left[ \cfrac { { 2x }^{ 2 } }{ 2 } -3x \right] _{ 2 }^{ 4 }-\left[ \cfrac { \left( x-2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } +x \right] _{ 2 }^{ 4 }\) 

= \(\left( 16-12-4+6 \right) -\left( \cfrac { 8 }{ 3 } +4-2 \right) \) 
= \(6-\cfrac { 14 }{ 3 } =\cfrac { 18-14 }{ 3 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
தேவையான பரப்பு = \(\cfrac { 4 }{ 3 } \) சதுர அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 2x-y+1=0
\(y=2x+1,x=\cfrac { y-1 }{ 2 } \) 
 
தேவையான பரப்பு 
= \(\left| \cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -1 }^{ 1 }{ \left( y-1 \right) dy } \right| +\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 3 }{ \left( y-1 \right) dy } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left| \left[ \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -y \right] _{ -1 } \right| ^{ 1 }+\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -y \right] _{ 1 }^{ 3 }\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left| \left[ \cfrac { -1 }{ 1 } -\cfrac { 3 }{ 2 } \right] \right| +\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 9 }{ 2 } -3-\cfrac { 1 }{ 2 } +1 \right] \) 

= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \times 2+\cfrac { 1 }{ 2 } \times 2\) 
= 1+1=2 சதுர அலகுகள் 
தேவையான பரப்பு = 2 சதுர அலகுகள் 

கோடுகள் 5x - 2y = 15, x + y + 4 = 0 வெட்டும் புள்ளி (1, -5).5x - 2y = 15, என்ற கோடு x-அச்சை சந்திக்கும் புள்ளி  (3,0). கோடு   x + y + 4 = 0 , x  -  அச்சை (-4,0) -ல் சந்திக்கிறது. தேவையான பரப்பு படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பானது x-அச்சின் மேல் பகுதியில் உள்ளது.
இப்பரப்பை செங்குத்துப் பட்டைகள் அல்லது கிடைமட்டப் பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
செங்குத்துப் பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி அரங்கத்தின் பரப்பு காண அரங்கத்தை x =1 கோடு  வழியாக இரு பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். எனவே நமக்கு கிடைப்பது,
A   \(= | \int^{1}_{-4} y dx| + |\int ^3_1 y dx|\)
\(= | \int^{1}_{-4} (-4-x) dx| + |\int ^3_1 (\frac {5x-15}{2}) dx|\)
\(= |(-4x-\frac {x^2}{2})^1_{-4}| + |(\frac {5x^2}{2}- \frac {15x}{2})^{3}_{1}|\)
= \(|(-\frac {9}{2}) - (8)| +|(-\frac {45}{4}) - (-\frac {25}{4})| \)
\(=\frac {25}{5} + 5\)
\(=\frac {35}{2} \)
கிடைமட்டப் பட்டைகளைப்  கொண்டு பரப்பு காணும்போது அரங்கத்தை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கத் தேவையில்லை. இம்முறையில் பரப்பின் வலது பக்க எல்லை 5x - 2 y = 15 என்ற கோடு  மற்றும் இடது பக்க எல்லை x + y + 4 = 0 என்ற  கோடு  ஆகும். எனவே நமக்கு கிடைப்பது,
A = \(\int ^{0}_{-5} [x_R - x_L] dy\)  =  \(\int ^{0}_{-5} [\frac {15+2y}{5} - (-4-y)] dy\)
=  \(\int ^{0}_{-5} [ 7 +\frac {7y}{5}] dy = [ 7y +\frac {7y^2}{10}]^{0}_{-5} \)
= 0 - \([-35 + \frac {35}{2}] = \frac {35}{2}\).
குறிப்பு
முக்கோண வடிவத்தில் உள்ள அரங்கத்தின் அடிப்பக்கம்  7 அலகுகளாகும் மற்றும் உயரம் 5  அலகுகளாகவும் உள்ளது. எனவே  தொகையிடலை பயன்படுத்தாமலே அதன் பரப்பானது \(\frac {35}{2}\) என  காணலாம்.

முதலில் x + y  = 3 மற்றும் y²  - 4x வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளிகளை காண்போம்.
x + y = 3  ⇒ y = 3 - x.
∴ y² =  4x  ⇒ (3-x)² = 4 x
⇒ x² - 10x + 9 = 0
⇒ x = 1, x = 9.
x = 1 என x+ y=3 -ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது y = 2 
x = 9 என x+ y=3  பிரதியிடக் கிடைப்பது y = -6
எனவே வெட்டும் புள்ளிகள்  (1,2)  மற்றும் (9,-6) ஆகும்.
கோடு  x + y = 3  என்பது y -அச்சை (0,3) எனும் புள்ளியில் சந்திக்கின்றது. தேவையான பரப்பு படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது
y -அச்சின் மிகைப்பகுதியை நோக்கிப்  பார்க்கும்போது வலது எல்லையில் அமைந்துள்ள வளை வரையானது



∴  A = \(\int ^ {2}_{0} x dy + \int ^ {3}_{2} x dy = \int ^ {2}_{0} \frac {y^2}{4} dy + \int ^ {3}_{2} (3-y) dy\)
= \((\frac {y^3}{12})^2_0 + (3y - \frac {y^2}{2})^3_2\) = \((\frac {8}{12}- 0) + (9 -\frac {9}{2}) - (6 -\frac {4}{2}) = \frac {7}{6} \)

I = \(\int ^{\pi}_{-\pi} \frac{cos ^2 x}{1+ a^x} dx\)  ------ (1)
\(\int ^{b}_{a}\) f(x) dx =  \(\int ^{b}_{a}\) f(a+b -x)dx  என்பதை பயன்படுத்த,
I =  \(\int ^{\pi}_{-\pi} \frac{cos ^2 (\pi -\pi - x)}{1+ a^{\pi -\pi - x}} dx\)
= \(\int ^{\pi}_{-\pi} \frac{cos ^2 (-x)}{1+ a^{-x}} dx\)
= \(\int ^{\pi}_{-\pi} a^x (\frac{cos ^2 x }{a^x+ 1} )dx\) ------- (2)
சமன்பாடு (1)-யும் (2)-யும் கூட்டக் கிடைப்பது
2I =  \(\int ^{\pi}_{-\pi} \frac{cos ^2 x }{a^x+ 1}(a^x+ 1) dx\) =  \(\int ^{\pi}_{-\pi} cos ^2 x dx\)
= 2 \(x =\int ^{\pi}_{-\pi} cos ^2 x dx\)  (∵ cos² x ஓர் இரட்டைப் படைச் சார்பு)
எனவே , I =  \(\int ^{\pi}_{0} (\frac{1 + cos2x }{2} )dx\) =  \(\frac {1}{2} [ x + \frac {sin 2x}{2}]^{\pi }_{0}\)  = \(\frac {1}{2} [\pi]\) =  \(\frac {\pi}{2}\)

I = \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {x}}{\sqrt {5-x}+\sqrt {x}}\) dx என்க.    ---- (1)
\(\int ^{a}_{b}\) f(x) dx =  \(\int ^{a}_{b}\) f(a+b -x) dx என்ற பண்பை பயன்படுத்த,
I =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {(2+3-x)}}{\sqrt {5-(2+3-x)}+\sqrt { {(2+3-x)}}}\) dx =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {(5-x)}}{\sqrt {x}+\sqrt { {(5-x}}}\) dx ------ (2)
சமன்பாடு (1)-யும் (2)-யும் கூட்டக் கிடைப்பது,
2I =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {x} + \sqrt {5-x} }{\sqrt {x}+\sqrt { {5-x}}}\) dx  = \(\int ^{3}_{2} \) dx = \([x]^{3}_{2}\) = 3-2 = 1
எனவே , நாம் பெறுவது I = \(\frac{1}{2}\)

I = \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \frac{1}{sin x+cos x}\)dx
= \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \frac{1} {\sqrt 2( \frac {1}{\sqrt 2}sin x+ \frac {1}{\sqrt 2}cos x)}\) dx
= \(\frac{1}{\sqrt 2}\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \frac{1} {( cos \frac {\pi}{4}cos x+ sin \frac {\pi}{4}sin x)}\) dx
= \(\frac{1}{\sqrt 2}\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \frac{1} {cos (\frac{\pi}{4}- x)}\) dx
= \(\frac{1}{\sqrt 2}\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \frac{1} {cos x}\)  (∴ \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx =  \(\int ^{a}_{0}\) f (a-x)dx)
= \(\frac{1}{\sqrt 2}\int ^\frac{\pi}{4}_{0} \sec x dx\) = \(\frac{1}{\sqrt 2}[\log ( \sec x + \tan x) ] ^\frac{\pi}{4}_{0}\)
=  \(\frac{1}{\sqrt 2} [log ( \sqrt {2} + 1) - log (1+0)]\)
= \(\frac{1}{\sqrt 2} [log ( \sqrt {2} + 1)\).

u = x² மற்றும் ν = sin nx  என எடுத்துக் கொண்டு பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது,
 I =  \(\int ^{2\pi}_{0} \) x² sin nx dx = \([ (x^2) (-\frac{\cos nx}{n})\) - (2x) \((-\frac{\sin nx}{n^2})\) + (2) \((\frac{\cos nx}{n^3})]^{2\pi }_0\)
 = [(4π²) \((-\frac{1}{n})\) - 0 + (2)\((\frac{1}{n^3})\)] - [0-0+(2)\((\frac{1}{n^3})\)]
( ∵ cos 2nπ = 1 மற்றும் sin 2nπ = 0)
=  - \(\frac {4\pi^2}{n}\) + \(\frac {2}{n^3}\) -  \(\frac {2}{n^3}\) =   \(\frac {4\pi^2}{n}\)

u = 1+ x - 2x³  மற்றும்  ν =  e^-2x என எடுத்துக்கொண்டு பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த நாம் பெறுவது.
I = \(\int ^{1}_{0}\) e^-2x (1+x-2x³) dx
= [ (1+x-2x³)  \((\frac {e^{-2x}}{-2})\) - (1-6x²) \((\frac {e^{-2x}}{4})\) + (-12x)\((\frac {e^{-2x}}{-8})\) - (-12) \((\frac {e^{-2x}}{16})]^1_0\)
= \([\frac {e^2x}{16} (16x^3 + 24 x^2 +16x)]^1_0\)
= \(\frac{7}{2e^2}\).