\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -ax }{ x }^{ n }dx=\cfrac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \) என்பதை நாம் அறிவோம் 
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 5 }{ e }^{ -3x }dx=\cfrac { 5! }{ { 3 }^{ 5+1 } } } \) 
\(n=5,\quad a=3 \)
\(=\frac { 5! }{ { 3 }^{ 6 } } \)

\(\int ^\frac{\pi}{6}_{0}\) sin⁵ 3x dx
\(t=3x\) 
\(dt=3dx\) 
\(\cfrac { dt }{ 3 } =dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 5 }t } \cfrac { dt }{ 3 } \) 
இங்கு n=5 என்பது ஒற்றை எண் 
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ m }xdx=\cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ \left( n-2 \right) } \times ...\times \cfrac { 2 }{ 3 } } \quad \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 5 }t\cfrac { dt }{ 3 } } =\cfrac { 1 }{ 3 } \times \cfrac { 4 }{ 5 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } \times 1\) 
= \(I=\cfrac { 8 }{ 45 } \)

\(u={ x }^{ 2 }\ v=cos 2x\ dx\)
\(u'=2x\quad { v }_{ 1 }=\frac { sin2x }{ 2 } \)
\(u"=2\quad { v }_{ 2 }=-\frac { cos2x }{ 4 } \)
\(\\ { v }_{ 3 }=-\frac { sinx }{ 8 } \)
பெர்னோலி சூத்திரம்:
\(\int { uvdx } =u{ v }_{ 1 }-u'{ v }_{ 2 }+u''{ v }_{ 3 }\)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { x }^{ 2 }cos2x\quad dx={ \left[ \frac { { x }^{ 2 }sin2x }{ 2 } +\frac { 2xcos2x }{ 4 } -\frac { 2sin2x }{ 8 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } } } \)
\(=\left[ \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 8 } sin\pi +\frac { 2\pi }{ 8 } cos\pi -\frac { sin\pi }{ 8 } \right] -[0+0-0]\)
\(=\frac {- 2\pi }{ 8 } (-1)=\frac { \pi }{ 4 }\quad [\because sin\pi =0,cos\pi =-1]\)

I=\(\int ^{1}_{0}\) \(\frac{\sin(3\tan^{-1} x) \tan ^{-1}x}{1+x^2}\) dx
\(t=tan^{ -1 }x\) எனப் பதிலிட 
\(dt=\cfrac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( sin3t \right) tdt } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ t\left( sin3t \right) dt } \) 
= \(u=t\quad v=sint\) 
= \(u'=1\quad { v }_{ 1 }=\cfrac { cos3t }{ 3 } \) 
\(u''=0\quad { v }_{ 2 }=-\cfrac { sin3t }{ 9 } \) 
\(\int { uv } dx={ uv }_{ 1 }-{ uv }_{ 2 }+{ u'' }{ v }_{ 3 }\) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ t\left( sin3t \right) dt=\left[ -t\cfrac { cos3t }{ 3 } +\cfrac { sin3t }{ 9 } \right] _{ 0 }^{ \pi /4 } } \) 
= \(-\left( \cfrac { \pi }{ 4 } \right) \times \cfrac { 1 }{ 3 } \times -\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\cfrac { 1 }{ 9 } \times \cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 12\sqrt { 2 } } +\cfrac { 1 }{ 9\sqrt { 2 } } \) 
=  \(\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \left[ \cfrac { \pi }{ 12 } +\cfrac { 1 }{ 9 } \right] \)

\(\int ^{1}_{0}| 5x- 3| dx\)\(=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 }{ 5 } }{ -(5x-3)dx+\int _{ \frac { 3 }{ 5 } }^{ 1 }{ -(5x-3)dx } } \)
\(={ { \left[ 3x-\frac { { 5x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { 3 }{ 5 } }+\left[ \frac { { 5x }^{ 2 } }{ 2 } -3x \right] }_{ 3 }^{ 1 }\)
\(=\frac { 9 }{ 5 } -\frac { 5 }{ 2 } \left( \frac { 9 }{ 25 } \right) -0+\frac { 5 }{ 2 } -3-\frac { 5 }{ 2 } \left( \frac { 9 }{ 25 } \right) +\frac { 9 }{ 5 } \)
\(=\frac { 9 }{ 5 } -\frac { 9 }{ 10 } +\frac { 5 }{ 2 } -3-\frac { 9 }{ 10 } +\frac { 9 }{ 5 } \)
\(=\frac { 18-9+25-30-9+18 }{ 10 } =\frac { 13 }{ 10 } \)

\(I=\int _{ 0 }^{2 \pi }{ { \sin }^{ 4 }x{ \cos }^{ 3 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) ={ sin }^{ 2 }\left( 2\pi -x \right) { cos }^{ 3 }\left( 2\pi -x \right) \) 
=\({ sin }^{ 4 }x{ cos }^{ 3 }x\) 
\(f\left( 2\pi -x \right) =f(x)\) 
\(f\left( 2a-x \right) =f(x)\) எனில்  \(\int _{ 0 }^{ 2a }{ f(x)dx=2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } } \) 
\(I=2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } \) 
=  \(2\int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }x\left( 1-{ sin }^{ 2 }x \right) cosxdx } \) 
\(x=0\)  எனில் t=0 மற்றும் 
\(x=\pi \) எனில் t=0
ஃதொகையீட்டு மதிப்பு = 0
 \(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi }{ { sin }^{ 4 }{ cos }^{ 3 }xdx } =0\)

\(I=\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(f(-x)={ sin }^{ 2 }(-x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(\\ f(x)=f(-x)\) 
f(x) என்பது ஓர் இரட்டைச் சார்பு 
\(\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 2 }xdx } =2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(\int _{ -a }^{ a }{ f(x)dx } =2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \) 
\(2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ \left[ \cfrac { 1-cos2x }{ 2 } \right] dx } \) 
\(\cfrac { 2 }{ 2 } \left[ x-\cfrac { sin2x }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ \pi /4 }\) 
\(\cfrac { \pi }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(I=\cfrac { \pi -2 }{ 4 } \)

\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sqrt { cos\theta } { sin }^{ 3 }\theta d\theta } \quad \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \sqrt { cos\theta } \left( 1-cos^{ 2 }\theta \right) } sin\theta d\theta \) 
= \(\int _{ 1 }^{ 0 }{ \sqrt { t } \left( 1-{ t }^{ 2 } \right) \left( -dt \right) } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (\sqrt { t } -{ t }^{ 2 }\sqrt { t } ) } dt\) 
\(t=cos\theta \) 
\(dt=-sin\theta d\theta \) 
= \(\left[ \cfrac { { t }^{ 3/2 } }{ 3/2 } -\cfrac { { t }^{ 7/2 } }{ 7/2 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\) 
= \(\cfrac { 2 }{ 3 } -\cfrac { 2 }{ 7 } =\cfrac { 14-6 }{ 21 } \) 
= \(\cfrac { 8 }{ 21 } \) 

இங்கு \(a=1,b=1.5,n=5,f(x)=2-x\) 
எனவே,ஒவ்வொரு  இடைவெளியின் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 0 }=1,{ x }_{ 1 }=1.1,{ x }_{ 2 }=1.2,{ x }_{ 3 }=1.3,{ x }_{ 4 }=1.4,{ x }_{ 5 }=1.5\) 
சம அளவு \(\Delta x\) கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான நடு-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \right) +f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) +...+f\left( \cfrac { { x }_{ n-1 }+{ x }_{ n } }{ 2 } \right) \right] \Delta x\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1+1.1 }{ 2 } \right) =f\left( 1.05 \right) =2-1.05=0.95\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.1+1.2 }{ 2 } \right) =f\left( 1.15 \right) =2-1.15=0.85\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.2+1.3 }{ 2 } \right) =f\left( 1.25 \right) =2-1.25=0.75\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 4 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.3+1.4 }{ 2 } \right) =f\left( 1.35 \right) =2-1.35=0.65\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 4 }+{ x }_{ 5 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.4+1.5 }{ 2 } \right) =f\left( 1.45 \right) =2-1.45=0.55\) 
\(\therefore S=(0.95+0.85+0.75+0.65+0.55)\times 0.1\) 
= \(3.75\times 0.1\) 
= \(0.375\)

இங்கு n=7 என்பது ஒற்றை எண்
 \(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { cos }^{ 7 }xdx } =\cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ \left( n-2 \right) } \times ....\times \cfrac { 2 }{ 3 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { cos }^{ 7 }xdx } =\cfrac { 6 }{ 7 } \times \cfrac { 4 }{ 5 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } \times 1\) 
= \(\cfrac { 16 }{ 35 } \) 

\(\left[ \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\cfrac { x-a }{ x+a } +c } \right] \) 
\(\int _{ 3 }^{ 4 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }-4 } =\left[ \cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { x-2 }{ x+2 } \right] _{ 3 }^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ log\left( \cfrac { 4-2 }{ 4+2 } \right) -log\left( \cfrac { 3-2 }{ 3+2 } \right) \right] \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ log \right] \cfrac { 2 }{ 6 } -log\cfrac { 1 }{ 5 } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { 1 }{ 3 } \times 5\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { 5 }{ 3 } \)

சுழற்றப்படும் பரப்பு இங்கே வரையப்பட்டுள்ளது.

y=x மற்றும் y=x² ஆகியவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண 
\(y={ x }^{ 2 }\) 
\({ x }^{ 2 }=x\) 
\(x\left( x-1 \right) =0\quad x=0\quad x=1\) 
x=0 எனில் y=0;x=1 எனில் y=1
ஃ வெட்டும் புள்ளிகள் (0,0),(1,1)
கன அளவு \(V=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ { x }^{ 2 }-\left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 } \right] dx } \) 
=  \(V=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ { x }^{ 2 }-\left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 } \right] dx } \) 
= \(V=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ { x }^{ 2 }-\left( { x }^{ 2 } \right) ^{ 2 } \right] dx } \) 
= \(\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\) 
= \(\pi \left[ \cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 5 } \right] =\pi \left[ \cfrac { 5-3 }{ 15 } \right] =\cfrac { 2\pi }{ 15 } \) 
ஃ தேவையான கனஅளவு = \(\cfrac { 2\pi }{ 15 } \) கன அலகுகள்  

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை = \(y=(x-2)^{ 2 }+1\) 
அதாவது \((y-1)=\left( x-2 \right) ^{ 3 }\) 
பரவளையத்தின்முனை (2,1)
மீச்சிறு புள்ளி \(P(2,1)\) 
PQ-ன் சாய்வு 2.

PQ-ன் சமன்பாடு \(y-1=2(x-2)\) 
\(y-1=2x-4\) 
\(y=2x-3\) 
\(y=2x-3\) மற்றும் \(y=(x-2)^{ 2 }+1\) 
ஆகியவை வெட்டும் புள்ளி
\(2x-3=\left( x-2 \right) ^{ 2 }+1\)  
\(2x-4=\left( x-2 \right) ^{ 3 }\) 
\(2(x-2)=\left( x-2 \right) ^{ 2 }\) 
x-2=2
x=4 எனும்போது,y=5
தேவையான பரப்பு =\(\int _{ a }^{ b }{ \left( { y }_{ L }-{ y }_{ c } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 2 }^{ 4 }{ \left( 2x-3 \right) dx-\int _{ 2 }^{ 4 }{ \left( x-2 \right) ^{ 2 }+1dx } } \) 
= \(\left[ \cfrac { { 2x }^{ 2 } }{ 2 } -3x \right] _{ 2 }^{ 4 }-\left[ \cfrac { \left( x-2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } +x \right] _{ 2 }^{ 4 }\) 

= \(\left( 16-12-4+6 \right) -\left( \cfrac { 8 }{ 3 } +4-2 \right) \) 
= \(6-\cfrac { 14 }{ 3 } =\cfrac { 18-14 }{ 3 } =\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
தேவையான பரப்பு = \(\cfrac { 4 }{ 3 } \) சதுர அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை 
\(2+x-{ x }^{ 2 }+y=0\) 
\(y={ x }^{ 2 }-x-2\) 
\(y=\left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \) 

தேவையான பரப்பு 
= \(\int _{ -3 }^{ -1 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) dx+\left| \int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }x-2 \right) dx } \right| } +\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( { x }^{ 2 }-x-2 \right) } dx\) 
= \(\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -3 }^{ -1 }+\left| \left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ -1 }^{ 2 } \right| +\left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x \right] _{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left[ -\cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 2 } +2+9+\cfrac { 9 }{ 2 } -6 \right] \) 
= \(\left| \left[ \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 4 }{ 2 } -4+\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 2 } -2 \right] \right| +\left[ \cfrac { 27 }{ 3 } -\cfrac { 9 }{ 2 } -6-\cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 4 }{ 2 } +4 \right] \) 
= \(\cfrac { 26 }{ 3 } +\cfrac { 9 }{ 2 } +\cfrac { 11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 52+27+11 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 90 }{ 6 } =15\)

\( I=\int _{ 0 }^{ \pi }{ x\left[ { sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx) \right] } dx\quad ...(1)\) என்க.
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x)dx } } \right] \)
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x) } [{ sin }^{ 2 }(sin(\pi -x))+{ cos }^{ 2 }(cos(\pi -x)]dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x)[{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(-cosx)]dx } \)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x)[{ sin }^{ 2 }(sin\quad x)+{ cos }^{ 2 })(cosx)]dx } \)
\([\because cos(-x)=cos\quad x]\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ \pi [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(-\int _{ 0 }^{ \pi }{ x[{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ \pi [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)]dx-I } [from\quad (1)]\)
\(2I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi }{ [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sin\quad x)+{ cos }^{ 2 }(cos\quad x) \right] } dx\quad ...(2)\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sin\frac { \pi }{ 2 } -x)+{ cos }^{ 2 }(cos\frac { \pi }{ 2 } -x) \right] dx } \)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ [{ sin }^{ 2 }(cosx)+{ cos }^{ 2 }(sin\quad x)]dx] } ....(3)\)
(2) மற்றும்  (3) கூட்ட 
\(2I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx) \right] dx } +{ sin }^{ 2 }(cosx)+{ cos }^{ 2 }(sin\quad x)]dx\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ (1+1)dx } \ [\because { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta =1]\)
\(=\pi (2){ [x] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=2\pi \left[ \frac { \pi }{ 2 } -0 \right] ={ \pi }^{ 2 }\ \)
\( \therefore I=\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 2 } \)