தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\bar { OA } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \), \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \)

∴ \(\bar { AB } =\bar { OB } -\bar { OA } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\bar { BC } =\bar { OC } -\bar { OB } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =\vec { 0 } \)
மேலும் \(\vec { BC } .\vec { CA } =(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )\)
= -2 - 3 + 5 = 0
\(\Rightarrow \vec { BC } \pm \vec { CA } \)
எனவே, ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்.
\(cosA=\frac { \vec { AB } .\vec { AC } }{ \left| \vec { AB } \right| \left| \vec { AC } \right| } =\frac { (-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 1+9+25 } } \)
\(=\frac { 35 }{ \sqrt { 41 } .\sqrt { 35 } } =\sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } =A={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } \right) \)
\(cosB=\frac { \vec { BA } .\vec { BC } }{ \left| \vec { BA } \right| \left| \vec { BC } \right| } =\frac { (\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } ).(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 4+1+1 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 9 }{ 41 } } \Rightarrow N={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \right) \)

கோடிற்கு \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y+1 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 5 } \)
(x₁, y₁, z₁), (1, -1, 1), (l₁, m₁, n₁), (3, 2, 5)
கோடு \(\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ -2 } \) கிடைப்பது (x₂, y₂, z₂), (-2, 1, -1)(l₂, m₂, n₂), 4, 3, -2
வெட்டுக் கோடுகளுக்கான நிபந்தனை
\(\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } & { m }_{ 1 } & { n }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } & { m }_{ 2 } & { n }_{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-1 & 1+1 & -1-1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \Rightarrow \left| \begin{matrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \)
= -3(-4 - 15) - 2(-6 -20) - 2(9 - 8)
= -3(-19) - 2(-26) - 2(1)
= 57 + 52 - 2 = 109 - 2 = 107 ≠ 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதில்லை.

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { OA } =6\hat { i } -7\hat { j } \), \(\vec { OB } =16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(\vec { OC } =3\hat { i } -6\hat { j } \) மற்றும் \(\vec { OD } =2\hat { i } +5\hat { j } +10\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =10\hat { i } -22\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +12\hat { j } +10\hat { k } \)
∴ \([\vec { AB } \vec { AC } \vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -22 & -4 \\ -6 & -10 & -6 \\ -4 & 12 & 10 \end{matrix} \right| \)
= 10(100 + 75) + 22(-60 -24) -4(-72 + 40)
= 1720 - 1848 + 128 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு தளம் அமைவன

O வில் செங்கோணமுடைய செங்கோண முக்கோணம் AOB என்க.
O வை ஆதி என்க.
பிறகு, \(\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \rightarrow }{ b } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ OA } \bot \overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } \bot \overset { \rightarrow }{ b } \Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0\)
\(\therefore { AB }^{ 2 }={ \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \right| }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ AB } .\overset { \rightarrow }{ AB } \)
\(=0=\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) \)
\(=\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(={ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| }^{ 2 }-2\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +{ \left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| }^{ 2 }\)
\(\left[ \because \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0 \right] \)
= OB² - 0 + OA²
⇒ AB² = OA² + OB² 
எனவே பிதாகரஸ் தேற்றம்.

L.H.S = \(\left[ \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ c } \right] \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } +\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(\left[ \because \overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \rightarrow }{ 0 } \right] \)
\(=\overset { \rightarrow }{ a } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ b } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ c } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(=\left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] +0+0\)
\(\left[ \because \left[ \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =\left[ \overset { \rightarrow }{ c } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =0 \right] \)
\(=\left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =R.H.S\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) க்கு இணை மற்றும்
கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு செங்குத்து \(\overset { \rightarrow }{ n } =3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) கோடு மற்றும் தளத்திற்கு இடையேயான கோணம் θ என்க. பிறகு,
\(sin\theta =\frac { \overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ n } }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ n } \right| } =\frac { 9-4+2 }{ \sqrt { 9+1+4 } .\sqrt { 9+16+1 } } \)
\(=\frac { 7 }{ \sqrt { 14 } .\sqrt { 26 } } =\frac { 7 }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 7 } \times \sqrt { 26 } } =\frac { \sqrt { 7 } }{ \sqrt { 52 } } \)
\(\therefore \theta ={ sin }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 7 } }{ \sqrt { 52 } } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\vec { b } =\vec { a } .\vec { c } =0\) ⇒ \(\vec { a } \pm \vec { c } \)
⇒ \(\vec { a } \pm \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { c } \) யை கொண்டிருந்த தளம்
மேலும், \(\vec { b } \) x \(\vec { c } \) = |\(\vec { b } ||\vec { c } |sin\hat { n } \) [இங்கு θ என்பது \(\vec { b } \) மற்றும்  \(\vec { c } \) க்கு இடையேயான கோணம்]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { a } \)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\frac { 1 }{ 2 } \vec { a } \Rightarrow \vec { a } =\pm 2(\vec { b } \times \vec { c } )\)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழி செல்லும் தளம்
(x + y + z - 6) + λ(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ....(1)
இது வழி செல்லும் (1, 1, 1)
∴ (1 + 1 + 1 - 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + 14λ = 0 ⇒ λ = \(\frac {3}{14}\)
பிரதியிட λ = \(\frac {3}{14}\) என (1) கிடைப்பது
(x + y + z - 6) + = \(\frac {3}{14}\) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
⇒ 14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0
⇒ 20x + 23y + 26z - 69 =0

தளங்கள் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) செங்குத்து எனில் \({ \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 }=0\)
இங்கு \({ \vec { n } }_{ 1 }=\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { { n }_{ 2 } } =\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } \)
∴ \({ \vec { n } }_{ 1 }{ .\vec { n } }_{ 2 }=(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } )=0\)
⇒ \(\lambda +4-21=0\Rightarrow \lambda -17=0\Rightarrow \lambda =17\)

புள்ளி \(\vec { r } =\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \) வழிச் செல்கிற மற்றும் செங்குத்து \(\vec { n } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) உடைய தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )=(\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\)
⇒ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 2 - 3 + 4 = 3
∴ \(\vec { r } .(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) = 3

(\(\vec { a } \)) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் (\(\vec { b } \)) இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்.
\(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } ,t\epsilon R\)
⇒ இங்கு \(\vec { a } =2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \)
∴ \(\vec { r } =(2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\), t ∈ R என்பது தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு