கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) க்கு இணை மற்றும்
கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு செங்குத்து \(\overset { \rightarrow }{ n } =3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) கோடு மற்றும் தளத்திற்கு இடையேயான கோணம் θ என்க. பிறகு,
\(sin\theta =\frac { \overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ n } }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ n } \right| } =\frac { 9-4+2 }{ \sqrt { 9+1+4 } .\sqrt { 9+16+1 } } \)
\(=\frac { 7 }{ \sqrt { 14 } .\sqrt { 26 } } =\frac { 7 }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 7 } \times \sqrt { 26 } } =\frac { \sqrt { 7 } }{ \sqrt { 52 } } \)
\(\therefore \theta ={ sin }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 7 } }{ \sqrt { 52 } } \right) \)

(2, 0, -1) என்ற புள்ளியின் நிலை வெக்டர் \(\vec { OA } \) = \(2\hat { i } -\hat { k } \) எனில் \(\vec { r } =\vec { OA } =-2\hat { i } -\hat { k } \)
கொடுக்கப்பட்ட விசை \(\vec{F}=\hat { 2i } +\hat { j } -\hat { k } \). எனவே, திருப்புவிசை 

\(\vec { t } =\vec { r } \times \vec { F } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =-\hat { i } -2\hat { k } \)
ஆகவே, திருப்புவிசையின் எண்ணளவு \(\left| -\hat { i } -\hat { 2k } \right| =\sqrt { 5 } \) மற்றும் திசைக்கொசைகள் \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \), 0 , \(-\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } \)ஆகும்.

நாற்கரம் ABCD யின் வெக்டர் பரப்பு  = \(\Delta ABC\) யின் வெக்டர் பரப்பு +\(\Delta ACD\) யின் வெக்டர் பரப்பு 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AB } \times \vec { AC } \right) +\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AD } \right) \) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AB } \right) +\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \vec { AC } \times \vec { AD } \right) \) 
\(\left[ \therefore \vec { b } \times \vec { a } =-\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \right] \) [ \(\Delta \)கூட்டல் விதியின் படி]
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு 
= \(\left[ \because \vec { AB } =-\vec { BA } \right] \) 
 \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AC } \times \vec { BD } \right| \) 
எனவே, நிறுவப்பட்டது.

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 2x=3y=-z மற்றும் 6x=-y-4z
\(2x=3y=-z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { y-0 }{ -1 } =\cfrac { z-0 }{ -1 } \)
\(\Rightarrow \vec { b } =\cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \) 
\(6x=-y=-4z\Rightarrow \frac { x-0 }{ \frac { 1 }{ 6 } } =\frac { y-0 }{ \frac { 1 }{ -1 } } =\frac { z-0 }{ \frac { 1 }{ -4 } } \)
\(\Rightarrow \vec { d } =\cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } \) 
 \(\vec { b } .\vec { d } =\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\cfrac { 1 }{ 3 } \hat { j } -\hat { k } \right) .\left( { \cfrac { 1 }{ 6 } \hat { i } -\hat { j } -\cfrac { 1 }{ 4 } \hat { k } } \right) \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 12 } -\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1-4+3 }{ 12 } =\cfrac { 0 }{ 12 } =0\) 
\(\therefore \vec { b } \bot \vec { b } \)
\(\therefore \vec { b } \) மற்றும் \(\vec { d } \) க்கு இடையேயான  கோணம்.

தேவையான தளம்  \(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகும் மற்றும்  \(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)  \(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் 
\(\vec { c } =\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
∴ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \)என்ற நிலை வெக்டர்களைக் கொண்ட இரு தனித்த புள்ளிகள் A மற்றும் B வழியாகச் செல்வதும் \(\vec { c } \) என்ற பூச்சியமற்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\vec { b } +t\vec { c } \)  இங்கு s, t ∈ R
⇒ \(\vec { r } .(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+s(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )+t(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\) s, t  ∈ R 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 & y+1 & z-3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1)(-1 - 8) - (y + 1)(2 - 4) + (z - 3)(4 + 1) = 0
⇒ (x - 1)(-9) - (y + 1)(-2) + (z - 3)(5) = 0
⇒ -9x + 9 +2y + 2 + 5z - 15 = 0
⇒ -9x + 2y + 5z - 4 = 0
⇒ 9x - 2y - 5z + 4 = 0

\(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \) 
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \(\left( \vec { b } \right) \)க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
 \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) \times \vec { b } =\vec { 0 } \) 
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } -\left( 4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] =\vec { 0 } \) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { { b }_{ 3 } } } \)
 \(\Rightarrow \cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ -6 } =\cfrac { z+7 }{ 7 } \) 
[\(\because\) (x₁,y₁,z₁),(43,-7) மற்றும்(b_1,b_2,b₃),(2,-6,7)]

கொடுக்கப்பட்ட  \(\vec { a } \vec { b } \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { d } \) ஒரு தள வெக்டர்கள்
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \vec { d } \) 
\(\vec { a } ,\vec { b }, \vec { c } \) மற்றும் \(\vec { d } \) ஒரு தள வெக்டர்கள்  \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) ஒரு தள வெக்டர் அல்லது \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \) யும் ஒரு தள வெக்டர்
\(\therefore \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] =0\)  [\(\therefore\) அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
மேலும் \(\left[ \vec { a } \vec { b } \vec { d } \right] \) [\(\therefore\) அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
இந்த மதிப்புகளை (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =0\left( \vec { c } \right) -0\left( \vec { d } \right) =\vec { 0 } \)
\(\therefore \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\vec { 0 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

தளங்கள் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) செங்குத்து எனில் \({ \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 }=0\)
இங்கு \({ \vec { n } }_{ 1 }=\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { { n }_{ 2 } } =\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } \)
∴ \({ \vec { n } }_{ 1 }{ .\vec { n } }_{ 2 }=(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } )=0\)
⇒ \(\lambda +4-21=0\Rightarrow \lambda -17=0\Rightarrow \lambda =17\)

இங்கு, \(\hat { d } =6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) மற்றும் p = 12 என்க.
\(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) என்ற வெக்டரின் திசையில் உள்ள ஓரலகு வெக்டர் \(\hat {d}\) எனில் 
\(\hat { d } =\frac { \hat { d } }{ \left| \hat { d } \right| } =\frac { 1 }{ 7 } (6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\).
\(\overset \rightarrow {r}\) என்பது தளத்தில் உள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி (x,y,z)-ன் நிலைவெக்டர் எனில், தளத்தின் செங்கோட்டு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } .\hat { d } =p\) -ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுவது.
\(\vec { r } .\frac { 1 }{ 7 } (6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )=12\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என இச்சமன்பாட்டில் பிரதியிடக் கிடைப்பது \((x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } ).\frac { 1 }{ 7 } (6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )=12\)
புள்ளிப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கினால் கிடைக்கும் 6x + 2y - 3z = 84 என்ற சமன்பாடு தேவையான தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடாகும்.

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

(1) (8, 6, 22)

(2) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \)
குறிப்பு: 1, 3, 4 குறுக்கும் பெருக்கலுக்கான வரையறைகள்.