கொடுக்கப்பட்ட தளங்கள்  \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)
மற்றும் 2x - 2y + z = 2 \(\Rightarrow\)\(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)= 2
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=\hat { j } +\hat { j } -2\hat { k } \) மற்றும் \({ \vec { n } }_{ 2 }= 2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம் 
\(\cos\theta =\cfrac { { \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 } }{ \left| { \vec { n } }_{ 1 } \right| \left| { \vec { n } }_{ 2 } \right| } =\cfrac { \left| 1(2)+1(-2)-2(1) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }.\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } } \) 
= \(\cfrac { \left| -2 \right| }{ \sqrt { 6 } \sqrt { 9 } } =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 6 } \left( 3 \right) } =\cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \)
\(\theta ={ \cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a }\) = \(\hat { i }\)-2\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = 2\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)-2\(\hat { k }\), \(\vec { c }\) = 3\(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\),
\(\vec { c } =3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { v } \right) =\left| \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= 1(1+4)+2(2+6)+3(4-3)
= 1(5)+2(8)+3(1)=5+16+3=24

சாய்சதுரம் ABCD-ல்,
AB = BC = DC = AD .......(1)
மேலும், AB || DC,
\( \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\vec{a}\) (என்க)
BC || AD,
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) (என்க)
(1)ஐப் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)                ...... (2)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) - ல்,
\(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\vec{a}+\vec{b} \)    ....(3)
\(\triangle A B D\) - ல்,
\( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D} \Rightarrow \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\bar{b}-\vec{a} \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2=0(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|) \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =0 \Rightarrow \overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} \)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

வரையறைப்படி,
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \end{matrix} \right| =4\hat { i } +4\hat { j } ,\vec { c } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -2\hat { j } -6\hat {k } \)
பின்னர்,
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & 4 & 0 \\ 8 & -2 & -6 \end{matrix} \right| =-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \)   ...(1)
இப்பொழுது,\(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right]\vec { d } =28\left( 3\hat { j } -\hat { k } \right) -12\left( 2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } \right) =-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \) ...(2) 
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து, முற்றொருமை (i) நிறுவப்பட்டது. முற்றொருமை (ii)-ன் சரிபார்த்தல் மாணவர்களின் பயிற்சிக்காக விடப்பட்டுள்ளது.

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \) 
என்ற புள்ளி வழி செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு 
x + 2y - 3z = 11
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( \hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \right) =11\) 
\(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு கொடுக்கப்பட்ட தளம் செங்குத்து 
\(\therefore\) தேவையான தளம் \(\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \)  ...(2)
என்ற வெக்டருக்கு இணை கொடுக்கப்பட்ட தளம் 
\(\cfrac { x+7 }{ 3 } =\cfrac { y+3 }{ -1 } =\cfrac { z }{ 1 } \)  என்ற கோட்டிற்கு இணை அதனுடைய 3,-1,1 திசை விகிதங்கள் 
தேவையான தளம் \(\vec { c } =3\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)  என்ற வெக்டருக்கு இணை 
\(\therefore \left( \vec { a } \right) \) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது \(\vec { b } \) மற்றும்  \(\vec { c} \) க்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
\(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left( 2-3 \right) -\hat { j } \left( 1+9 \right) +\hat { k } \left( -1-6 \right) \) 
= \(-\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \) 
\(\therefore \left( \vec { r } -\left( \hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } \right) \right) .\left( -\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \right) =0\) 
\(\left[ \vec { r } .\left( -\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] -[\hat { i } -2\hat { j } +4\hat { k } ).\left( -\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \right) ]=0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \right) -\left[ -1+20-28 \right] =0\) 
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -\hat { i } -10\hat { j } -7\hat { k } \right) \times 9=0\) 
\(\Rightarrow \vec { t } .\left( \hat { i } +10\hat { j } +7\hat { k } \right) -9=0\) 
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) என்க
\(\therefore \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( \hat { i } +10\hat { j } +7\hat { k } \right) =9\)
\(\Rightarrow x+10y+7z=9\) என்பது தேவையான தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

A(2,3,4), B(-1,4,5) மற்றும் C(8,1,2) புள்ளிகள் என்க.
A மற்றும் B இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { { z-{ z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -1-2 } =\cfrac { y-3 }{ 4-3 } =\cfrac { z-4 }{ 5-4 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -3 } =\cfrac { y\quad -3 }{ 1 } =\cfrac { z-4 }{ 1 } \) 
புள்ளி C(8,1,2) வை கோடு(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { 8-2 }{ -3 } =\cfrac { 1-3 }{ 1 } =\cfrac { 2-4 }{ 1 } \Rightarrow 2=-2=-2\) 
A மற்றும் B யை இணைக்கும் கோட்டை புள்ளி C பூர்த்தி செய்வதால், மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு நேர்கோட்டு அமைவன.
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு நேர்க்கோட்டு அமைவன.

\(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \) 
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \(\left( \vec { b } \right) \)க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
 \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) \times \vec { b } =\vec { 0 } \) 
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } -\left( 4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] =\vec { 0 } \) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { { b }_{ 3 } } } \)
 \(\Rightarrow \cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ -6 } =\cfrac { z+7 }{ 7 } \) 
[\(\because\) (x₁,y₁,z₁),(43,-7) மற்றும்(b_1,b_2,b₃),(2,-6,7)]

கொடுக்கப்பட்ட
\(\vec { a }\)= 2\(\hat { i }\)+3\(\hat { j }\)-\(\hat { k }\),  
\(\vec { b } =-\hat { i } +2\hat { j } -4\hat { k } \) 
\(\vec { c } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \) 
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -12+2 \right) -\hat { j } \left( -8-1 \right) +\hat { k } \left( 4+3 \right) \) 
= \(-10\hat { i } +9\hat { j } +7\hat { k } \) 
\(\vec { a } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 3+1 \right) -\hat { j } \left( 2+1 \right) +\hat { k } \left( 2-3 \right) =4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\therefore\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { c } \right) =\left( -10\hat { i } +9\hat { j } +7\hat { k } \right) .\left( 4\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } \right) \)
= 40 - 27 = 7
=-7 = -74

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத்தின் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் வெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)  மற்றும் அதனுடைய கொள்ளளவு 4 கன அலகுகள்  
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\pm 4\)  கன அலகுகள் கருதுக
\(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) 
= \(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) 
= \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +0+\vec { b } .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +0+\vec { c } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) +0\) 
= \(\left[ \because \vec { a } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =0 \right] \) 
= \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
= \(\left[ \because \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \right] =\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] =\left[ \vec { c } \vec { a } \vec { b } \right] \) 
= \(3\left[ \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \right] \approx 3\left( 3\pm 4 \right) \) 
= \(\pm 12\)

\(\Delta ABC\) -ல், G என்பது நடுக்கோட்டு மையம்.
GA, GB, GC ஐ இணைக்க.
AG ஆனது BC ஐ சந்திக்கும் புள்ளி D.
\(\Rightarrow\) AD என்பது நடுக்கோடு மற்றும் D என்பது BC-ன் நடுப்புள்ளி.
G ஐ மையமாகக் கருதுக.
\(\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{G C}, \overrightarrow{G D}\) என்பன A, B, C, D ஆகிய புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்களாகும்.
\(\overrightarrow{G A}=\vec{a} ; \overrightarrow{G B}=\vec{b} ; \overrightarrow{G C}=\vec{c}\) என்க.
\(\overrightarrow{G D}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\)                                            ........(1)
(\(\because\) D என்பது BC -ன் நடுப்புள்ளி)
நடுக்கோட்டு மையம் G ஆனது AD என்ற நடுக்கோட்டை 2:1 விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
\( |\overrightarrow{G A}|=2|\overrightarrow{G D}| \\ \overrightarrow{G A}=-2 \overrightarrow{G D} \)
(\(\because \overrightarrow{G A} \& \overrightarrow{G D}\)ஆகியவை எதிரெதிர் திசையைக் கொண்டவை)
\(\vec{a}=-2 \overrightarrow{G D} \Rightarrow \overrightarrow{G D}=-\frac{1}{2} \vec{a}\)                     .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=-\frac{1}{2} \vec{a}\)
\(ie)  \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} \)                                  .......(3)
\(\vec{a} \times \vec{b}   =\vec{a} \times(-\vec{a}-\vec{c}) \)      ((3) லிருந்து)
 \(=-\vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{c}=0+\vec{c} \times \vec{a} \)
\(\vec{a} \times \vec{b}  =\vec{c} \times \vec{a}\)                                               .......(4)
\(\vec{b} \times \vec{c}  =\vec{b} \times(-\vec{a}-\vec{b}) \)
\( =-\vec{b} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{b}=\vec{a} \times \vec{b}-0=\vec{a} \times \vec{b}\).......(5)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து
\( \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}\)                          .......(6) 
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)
\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}|\)
\(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = வெக்டர் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\vec{c} \times \vec{a}|\)
(6) ஐ பயன்படுத்த கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
= \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
மேலும்,
\(\Delta ABC\) ன் பரப்பு = \(\Delta GAB\) ன் பரப்பு +\(\Delta GBC\) ன் பரப்பு + \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு
\(\therefore\) நமக்கு கிடைப்பது,
\(\Delta GAB\) ன் பரப்பு = \(\Delta GBC\) ன் பரப்பு
 \(\Delta GCA\) ன் பரப்பு = \(\cfrac { 1 }{ 3 } \Delta ABC\) ன் பரப்பு

ax + by + cz + d₁ = 0 மற்றும் ax + by + cz + d₂ = 0 என்ற இரு இணையான தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு\(\delta =\frac { |{ d }_{ 1 }-{ d }_{ 2 }| }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } } \) இரண்டாவது சமன்பாட்டை x + 2y - 2z + \(\frac{5}{2}\) = 0 என எழுத, a = 1, b = 2, c = -2, d₁ = 1, d₂ = \(\frac{5}{2}\) எனப் பெறலாம். இம்மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் பிரதியிட \(\delta =\frac { |{ d }_{ 1 }-{ d }_{ 2 }| }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } } =\frac { \left| 1-\frac { 5 }{ 2 } \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+(-2^{ 2 }) } } =\frac { 1 }{ 2 } \) அலகுகள் எனத் தேவையான தொலைவு கிடைக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வலதுபுறம் உள்ள வெக்டரில் \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) -ஐ வெக்டர் முப்பெருக்கலின் முதல் வெக்டராக எடுத்துக்கொண்டு \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) \)-ன் விரிவாக்கம் காண்போம். எனவே
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) =\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } \right) \vec { a } -\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { a}\right)\vec { c } =\left( \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \right) \vec { a } \)

கொடுக்கப்பட்ட   \(\vec { a } =2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \) 
\(\vec { n } =\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \) 
(\(\vec { n } \)) புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு செங்குத்தான வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \) 
= \(\vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \right) .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =2+18+15\) 
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =35\) 
அதனுடைய கார்டீசியன் 
\(a(x-{ x }_{ 1 })+b(y-{ y }_{ 1 })+c(z-{ z }_{ 1 })=0\) 
\(1(x-2)+3\left( y-6 \right) +5\left( z-3 \right) =0\) 
[\(\therefore\) (x₁,y₁,z₁)=(2,6,3) மற்றும் a,b,c =1,3,5]
\(\Rightarrow -2+3y-18+5z-15=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z-35=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z=35\)

இணைகரத்தின் கனஅளவு = \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =90\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 7 & \lambda & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 5 \end{matrix} \right| =90\) 
\(\Rightarrow 7\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right| -\lambda \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 7 \end{matrix} \right| =90\) 

\(\Rightarrow 7(10+7)-\lambda \left( 5-3 \right) -3\left( 7+6 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 7(17)-\lambda \left( 2 \right) -3\left( 13 \right) =90\) 
\(\Rightarrow 119-2\gamma -39=90\) 
\(\Rightarrow 119-39-90=2\lambda \) 
\(\Rightarrow -10=2\lambda \) 
\(\Rightarrow \lambda =-5\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(-\hat{i}+4 \hat{k})\)
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}=t \Rightarrow(-t+6,-1,4 t-3)\)
என்பது \(x+y-z=3\) ஐச் சந்திக்கிறது.
\(-t+6-1-4 t+3  =3 \Rightarrow-5 t+5=0 \\ 5 t  =5 \Rightarrow t=1\)
\(\therefore (5,-1,1)\)

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \\ \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \\ \vec{a} \| \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} =1 \)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள்)
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=1(\vec{b})-0(\vec{c})=\vec{b}\)

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \\ \vec{c}  =\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \vec{a}=\lambda \vec{a}\)
\( \Rightarrow \vec{a} \) என்பது \(\vec{c}\) க்கு இணையானவை