Given \(\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ c } =0\)] ⇒ \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄 \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ a } \)丄 \(\overset { \rightarrow }{ c } \) 
⇒ \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄^r to the plane containing \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) 
Also, \(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ c } \right| \) Since \(\overset { \wedge }{ n } \) [where θ is the angle between \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \)]
= 1 \(\times\) 1. sin \(\frac { \pi }{ 6 } \).\(\overset { \rightarrow }{ a } \)
[Since \(\overset { \rightarrow }{ b } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) are unit vectors \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄 both \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \)  \(\overset { \rightarrow }{ { n } } \) = \(\overset { \rightarrow }{ a } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } \overset { \rightarrow }{ a } \)
\( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\frac { 1 }{ 2 } \overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } =\pm 2\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)

The equation of the required plane through the intersection of the given planes is
( x + y + z - 6 ) + λ (2x + 3y + 4z + 5) = 0 ......(1)
This passes through (1, 1, 1)
∴ ( 1+ 1 + z - 6) + λ (2 + 3+ 4 + 5) = 0
⇒ -3 +14λ = 0 \(\Rightarrow \lambda =\frac { 3 }{ 14 } \)
Substituting \(\lambda =\frac { 3 }{ 14 } \) in (1) we get
( x + y + z - 6 )+\(\frac { 3 }{ 14 } \) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
⇒ 14( x + y + z - 6 ) +3 (2 + 3+ 4 + 5) = 0
⇒ 20x + 23y + 26z - 69 = 0

The planes \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) and \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) are perpendicular if \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =0\)
Here \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \right) =0\)
⇒ λ + 4 - 21 = 0
⇒ λ - 17 = 0
⇒ λ = 17

Since the plane passing through the point \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) and is normal to the vector \(\overset { \rightarrow }{ n } =2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
the vector equation of the plane is \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ n } =\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ n } \)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)= 2 - 3 + 4 = 3
\(\therefore { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)= 3

The parametric form of vector equation of a line passing through a point \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } \right) \) and parallel to \(\overset { \rightarrow }{ b } \) is
\({ \overset { \rightarrow }{ r } }=\overset { \rightarrow }{ a } +t\overset { \rightarrow }{ b } \), t ∈ R
⇒ Here \(\overset { \rightarrow }{ a } =2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore { \overset { \rightarrow }{ r } }=\left( 2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \right) \), t ∈ R which is the required equation of a line.

Given (x₁, y₁, z₁) is (2, -1, 3) (x₂, y₂, z₂) is (4, 2, 1)
Cartesian equation of a line passing through two points is \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ -2 } \)

Let \(\overset { \rightarrow }{ F } \) be the resultant of given forces. 
\(\overset { \rightarrow }{ F } =\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) +\left( 2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \right) +\left( -\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ r } \)= P. V od P - P. V. of Q
\(=\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 6\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=-2\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \tau =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-20-4)-\overset { \wedge }{ j } (-10-3)+\overset { \wedge }{ k } (-8+12)\)
\(=-24\overset { \wedge }{ i } +13\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)

\(\overset { \rightarrow }{ OA } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) , \(\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \), \(\overset { \rightarrow }{ OC } =4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
Area of △ ABC = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } \overset { \rightarrow }{ \times AC } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } \)(0-10) - \(\overset { \wedge }{ j } \) (2+5) + \(\overset { \wedge }{ k } \) (4-0)
\(=10\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \overset { \rightarrow }{ \times AC } \right| =\sqrt { 101+49+16 } =\sqrt { 165 } \)
∴ Area of Δ ABC \(=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 165 } \) sq. units 

\(\overset { \rightarrow }{ F } =\frac { 6\left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 4+4+1 } } =\frac { 6 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ d } \) = (5, 3, 7) - (1, 2, 3) = (4, 1, 4) =\(\overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ Work done (w)
= \(\overset { \rightarrow }{ F } .\overset { \rightarrow }{ d } =\left( \overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= 16 - 4 + 8 = 20 units

\(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \), \(\overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \) 
Since  \(\overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \) ⏊^r to \(\overset { \rightarrow }{ c } \)
\(\Rightarrow \left[ \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ 2j } +\overset { \wedge }{ 3k } +\lambda \left( \overset { \wedge }{ -i } +\overset { \wedge }{ 2j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \right] .\left( \overset { \wedge }{ 3i } +\overset { \wedge }{ j } \right) =0\)
\(\Rightarrow \left[ \left( 1-\lambda \right) \overset { \wedge }{ i } +\left( 2+2\lambda \right) \overset { \wedge }{ j } +\left( 3+\lambda \right) \overset { \wedge }{ k } \right] .\left( \overset { \wedge }{ 3i } +\overset { \wedge }{ j } \right) =0\)
⇒ 3(1 - λ) + (2 + 2λ) = 0 ⇒ 3 - 3λ + 2+ 2λ = 0
⇒ 5 - λ = 0 ⇒ λ = 5

2x = 3y =  −z \(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{-z}{6}\) (Dividing by 6 all)
 \(\Rightarrow \frac{x-0}{3}=\frac{y-0}{2}= \frac{z-0}{-6}\)....(1)
6x = -y = -4z \(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{-y}{12}=\frac{-z}{3} \) (Dividing by 6 all)
\(\Rightarrow \frac{x-0}{2}=\frac{y-0}{-12}=\frac{z-0}{-3}\) ....(2)
From (1) & (2), we get
\(\vec b = 3\vec i+2\vec j- 6\vec k\)and \( \vec d = 2\vec i-12\vec j- 3\vec k\)
Angle between lines (1) and (2) = Angle between \(\vec b\ and\ \vec d\)
Acute angle between lines cos 0 = \(\frac{|\vec b . \vec d|}{|\vec b||\vec d|} \)
\(\vec b . \vec d \)= (\(\vec b = 3\vec i+2\vec j- 6\vec k\)). (\( 2\vec i-12\vec j- 3\vec k\))
6-24+18 = 0
\( \cos \theta=0 \)
\(\theta=\frac{\pi}{2} \text { or } 90^{\circ}\)

Let \(\vec { a } \) = \(2\hat { i } +3\hat { j } +\hat { k } \), \(\vec { b } \)= \(\hat { i } -2\hat { j } +2\hat { k } \) and \(\vec { c } \) = \(\hat { 3i } +\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) and \(\vec { c } \) are coplanar if  \(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)
Consider \(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)
= \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \)
= 2 (-6- 2) -3 (3 - 6) + 1(1 + 6)
= 2(-8) - 3(-3) + 1(7)
= -16 + 9 + 7
= -16+16
= 0.
Hence, the given vectors are co-planar.

Here, \(\vec { a } =\hat { i } +\hat { 2j } -\hat { 3k } \), \(\vec { b } =\hat { 2i } -\hat { j } +\hat { 2k } \), \(\vec { c } =\hat { 3i } +\hat { j } -\hat { k } \)
We know that  \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)  are coplanar if and only if \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = 0. Now, \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =0\)
Therefore, the three given vectors are coplanar.

Equation of given plane is
\(\vec { r } .\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) =8\)
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \)
and the line is \(\vec { r } =\left( 2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) +t\left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) \)
\(\therefore \vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \)
Angle between a line and a plane is
\(sin\theta =\frac { \left| \vec { b } .\vec { n } \right| }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { n } \right| } =\cfrac { \left| 6(1)+3(2)+2(-2) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }.\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } } \)
= \(\frac { 6+6-4 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 36+9+4 } } =\frac { 8 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 49 } } =\frac { 8 }{ 3\left( 7 \right) } =\frac { 8 }{ 21 } \)
\(\therefore \theta ={ sin }^{ -1 }\left( \cfrac { 8 }{ 21 } \right) \)

Let \(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \) and \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \)
Non-parametric form of vector equation of a straight line passing through a point (\(\vec {a} \)) and parallel to a vector (\(\vec { b } \)) is \((\vec { r } -\vec { a } )\times \vec { b } \)
⇒ \([\vec { r } -(4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } )]\times (2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } )=\vec { 0 } \)
Its cartesian equation is
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \)
⇒ \(\frac { x-4 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ -6 } =\frac { z+7 }{ 7 } \)
[∵ (x₁, y₁, z₁) is (4, 3, -7) & (b₁, b₂, b₃) is (2, -6, 7)]