\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}\) மற்றும் \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) எனில், 1/z ஆனது z - ன் இணை எண் ஆகும்.
ie) \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)