⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹
⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3.i⁴.i⁴.i¹
⇒ 3x + (2x - 2y)i = 6 + 3i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது.
3x = 6 ⇒ x = 2
2x - 3y = 3 ⇒ 2(2) - 3y = 3
⇒ 4 - 3y = 3
⇒ 4 - 3 = 3y
⇒ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac13\)
∴ x = 2, y = \(\frac13\)

z = -2 என்க
z = 2(-1) = 2 (cosπ + isinπ)
ஃ arg(z) =  π

i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

(cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + isin 2θ [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
⇒ cos 2θ + isin 2θ = x + iy
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
x = cos 2θ, y = isin 2θ
∴ x² + y² = cos²θ + sin²2θ = 1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

z₁ = a + ib மற்றும் z₂ = c + id என்க 
கொடுக்கப்பட்ட |z₁| = |z₂|
\(\Rightarrow \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =\sqrt { { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
a² + b² = c² + d²
a = c மற்றும் b = d என்பதை இது அறிவுறுத்த வில்லை.
∴ z₁ மற்றும் z₂ சமமாக இருக்க தேவையில்லை.

- \(\sqrt3\) + i
மட்டு = 2 மற்றும்
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
- \(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது இரண்டாம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = π - α = π - \(\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 5\pi }{ 6 } \)
ஆகவே - \(\sqrt3\) + i - ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் 5π/6 ஆகும்.

\(x+iy=3-i\sqrt { 3 } \) என்க.
\(=r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+3 } \)
\(=\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -\sqrt { 3 } }{ 3 } \right| ={ tan }^{ -2 }\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| =\frac { \pi }{ 6 } \) 
\(3-i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்கள் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
\([\because x\rightarrow +ve,y\rightarrow -ve]\)
அதன் முதன்மைவீச்சு \(\theta =\alpha \)
⇒ \(\theta =-\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ துருவ வடிவம் 
\(3-i\sqrt { 3 } =2\sqrt { 3 } \)
\(2\sqrt { 3 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) ,K ∈ Z\)

= (5 - 2i)(-1 + 3i)
= -5 + 15i + 2i - 6i²
=-5+ 17i-6(-1)
= -5 + 17i + 6 = 1 + 17i

= 2 (5 - 2i) + 3 (-1 + 3i)
= 10 - 4i - 3 + 9i
=(10-3)+i(-4+9)
= 7 + 5i

Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) \times \frac { x-iy }{ x^2+y^ 2 }\)
\(=Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \right) +Re\left( \frac { 1 }{ x+iy } \times \frac { x-iy }{ x-iy } \right) \)
\(=Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }-({ i }^{ 2 }{ y }^{ 2 }) } \right) =Re\left( \frac { x-iy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \)
Re\(\left( \frac { 1 }{ z } \right) = \frac { x }{ x^2+y^ 2 }\)

\({ i }^{ 59 }+\frac { 1 }{ { i }^{ 59 } } = (-i) + \frac {1}{-i}\)
i^4x14+3 + i^-(4x14+3)
= (ⁱ⁴)¹⁴ . i³ + (i⁴)^-14 . i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
=-i+ i =0  [∵ i³ = -i மற்றும் i^-3 = i]

\(\sum _{ n=1 }^{ 12 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i-⁶+ i⁷ + i⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i - 1-i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i +i² + i³ +i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) [∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
= 0 + (i -1 -i + 1) + (i -1 -i + 1)
=0+0+0=0

\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

|2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.