i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

\(z={ (1-i) }^{ 10 }\) என்க
\(\left| z \right| ={ \left| 1-i \right| }^{ 10 }={ \left[ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+({ -1) }^{ 2 } } \right] }^{ 10 }\)
\(={ \left[ \sqrt { 2 } \right] }^{ 10 }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } \times 10 }={ 2 }^{ 5 }=32\)

z = \(\frac { 2i }{ 3+4i } \) என்க
\(\left| z \right| =\left| \frac { 2i }{ 3+4i } \right| =\frac { \left| 2i \right| }{ \left| 3+4i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 9+16 } } \)
\(=\frac { 2 }{ \sqrt { 25 } } =\frac { 2 }{ 5 } \)

\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }\) என்க.
\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ 2 } \right) \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right] }^{ n }\) [2 ஆல் பெருக்கி வகுக்க]
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ cos\frac { \pi }{ 6 } +i \ sin\frac { \pi }{ 6 } \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } +i\ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)  ...(1)
\(\bar { z } ={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \) ...(2)
ஆதலால் z என்பது மெய், z = \(\bar { z } \)
⇒ \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } +isin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(\Rightarrow 2i \ sin\ n\frac { \pi }{ 6 } =0\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =0\)
\(\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =sin \ \pi \)
\(\Rightarrow \frac { n\pi }{ 6 } =\pi \Rightarrow \frac { n }{ 6 } =1\Rightarrow n=6\)

z + w
= (5 - 2i) + (-1 + 3i)
= (5 -1) + i (-2 + 3)
=4 + i(1)
= 4 + i

\(2-2i=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க
\(\\ r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
முதன்மை மதிப்பு \(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -z }{ z } \right| \)
= \({ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் கால்பகுதியில் அமைந்துள்ளதால், \(\theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } { \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(\therefore { (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }={ \left( 2\sqrt { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
k  = 0,1,2 மூலங்கள்
∴ k = 0 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
k = 1 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
k = 2 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } +\frac { 7\pi }{ 12 } +\frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 21\pi }{ 12 } \right) \) = \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \) 
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right] ={ 2 }^{ 2\times \frac { 1 }{ 6 } }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) ={ 2 }^{ 1/2 }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
= 1 - i 

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

A(3, 2) B(0, 5) C(-3, 2) மற்றும் D(0, -1) ஆர்கண்ட தளத்தில் உள்ள புள்ளிகள் என்க
∴ AB = |(3 + 2i) - (0 + 5i)| = |3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
BC = |(0 + 5i) - (-3 +2i)| = |3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
CD = |(-3 + 2i) - (0 - i)| = |-3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
DA = |(0 - i) - (3 + 2i)| = |-3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
∴ AB = BC = CD = DA
மேலும் AC = |(3 + 2i) - (-3 + 2i)|
= |6| = \(\sqrt{36}\) = 6
BD = |(0 + 5i) - (0 - i)| = |6i|
 = \(\sqrt{36}\) = 6
∴ AC = BD
எனவே ABCD ஒரு சதுரம்.

\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

\(\frac { 3 }{ 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) .6\left( cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \left( 6 \right) \left( cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left(- cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
\(=9\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) =-\frac { 9\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 9i }{ 2 } \)
இது செவ்வக வடிவில் உள்ளது

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

(1) (sin θ + i cosθ)ⁿ = sin nθ + i cos nθ
குறிப்பு: 1, 3 மற்றும் 4 டி மாய்வரின் தேற்றத்தின் பயன்பாடு

(4) -8

(2) z₁ = \({ \bar { z } }_{ 2 }\)