கொடுக்கப்பட்ட p + iq = \(\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \)  ...(1)
இருபுறமும் இணை எடுக்க கிடைப்பது
  p + iq = \(\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ பெருக்க கிடைப்பது,
\((p+iq)(p-iq)=\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ 2a-i } \times \frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ { 2a }-i } \)
\({ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }=\frac { { [(a+i) }^{ 2 }{ (a+i) }^{ 2 }] }{ { 4a }^{ 2 }-i } =\frac { { (a+i) }^{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 }-i } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

∴ \(\frac { \bar { z } +1 }{ \bar { z } -1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய் பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
⇒ x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

கொடுக்கப்பட்ட |3z - 5| = 3 lz + 1|
⇒ |3(x + iy) - 51 = 3 |x+ iy + 1|
⇒ |(3x- 5) + 3y| = 3 |(x + 1) + iy|
⇒ \(\sqrt { { (3x-5) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =3[\sqrt { { (x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
(3x - 5)² + 9 = 9 [(x + 1)² + y²]
⇒ 9x² - 30x + 25 + 9 = 9 [x²+ 2x + 1 +y²]
⇒ 48x-16 = 0
⇒ 3x-1 = 0

\(\frac { z+1 }{ z-1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய்பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

P (x, y), A(2, 1), மற்றும் B(1, -2) என்பன கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண்கள் என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட PA = PB ⇒ PA² = PB²
⇒(x - 2)² + (y - 1)² = (x - 1)² + (y + 2)²
 =
⇒ -4x - 2y + 5 = -2x + 4y + 5
⇒ -2x - 6y = 0
⇒ x + 3y = 0

A(3, 2) B(0, 5) C(-3, 2) மற்றும் D(0, -1) ஆர்கண்ட தளத்தில் உள்ள புள்ளிகள் என்க
∴ AB = |(3 + 2i) - (0 + 5i)| = |3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
BC = |(0 + 5i) - (-3 +2i)| = |3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
CD = |(-3 + 2i) - (0 - i)| = |-3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
DA = |(0 - i) - (3 + 2i)| = |-3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
∴ AB = BC = CD = DA
மேலும் AC = |(3 + 2i) - (-3 + 2i)|
= |6| = \(\sqrt{36}\) = 6
BD = |(0 + 5i) - (0 - i)| = |6i|
 = \(\sqrt{36}\) = 6
∴ AC = BD
எனவே ABCD ஒரு சதுரம்.

z = x + iy ஒரு கலப்பெண் என்க
\(\therefore \left| \frac { x+iy-3 }{ x+iy+3 } \right| =2\)
\(\Rightarrow \frac { \left| x+iy-3 \right| }{ \left| x+iy+3 \right| } =2\)
\(\Rightarrow \left| (x-3)+iy \right| =2\left| (x+3)+iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-3) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =2\sqrt { (x+{ 3 })^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x - 3)² + y² = [(x + 3)² + y²]
⇒ x² + 9 - 6x + y² = 4[x² + 9 + 6x + y²]
x² + 9 - 6x +y² = 4x² + 36 + 24x + 4y²
⇒ 3x² + 3y² + 30x + 27 = 0
இது ஒரு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

z = -2i = 2(-i) என்க
= \(2\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
[∵ cos (-θ) = cos θ and sin(-θ) = - sinθ]
-2i ன் முதன்மை மதிப்பு -\(\frac { \pi }{ 2 } \)

x = (27)^{\(\frac { 1 }{ 3 } \)} = 3^{\(3\times \frac { 1 }{ 3 } \)}
= 3(cos π + isin π)^{\(\frac { 1 }{ 3 } \)}
= 3 [cos \(\frac { 1 }{ 3 } \)(2kπ + π )+ isin \(\frac { 1 }{ 3 } \)(2kπ + π)], k = 0, 1, 2 ...
∴ -27 - ன் மூலங்கள்
k = 0 எனில், 3[cos \(\frac { π }{ 3 } \) + isin \(\frac { π }{ 3 } \)] = 3 cis \(\frac { π }{ 3 } \)
k = 1 எனில் -3
k = 2 எனில், 3 cis \(\frac { 5π }{ 3 } \)

-1 = i² = i x i = \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } =\sqrt { (-1) } \times \sqrt { (-1) } \)
= \(\sqrt { 1 } \)
⇒ -1 = i
மேற்கூறிய நிரூபனத்தில் \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } \) = \(\sqrt { (-1)(-1) } \) என பயன்படுத்தியது தவறு ஏனெனில் \(\sqrt { ab } =\sqrt { a } .\sqrt { b } \) என்பது a, b மட்டுமே உண்மை ஆகும்.