இங்கு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு u சமபடித்தானது அல்ல. எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் சார்பு u -க்கு பயன்படுத்த முடியாது. இருப்பினும் f (x,y) = \(\left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) \)=sin u என்பது சமபடித்தானது. ஏனெனில்
f(tx,ty) = \(\frac { tx+ty }{ \sqrt { tx } +\sqrt { ty } } \) = t^1/2 f(x,y), \(\forall \) x,y,t\(\ge \)0
இங்கு f படி \(\frac { 1 }{ 2 } \) உடைய சமபடித்தான சார்பாகும். எனவே, ஆய்லரின் தேற்றப்படி
\(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } f(x,y)\).
தற்போது f = sin u எனப் பிரதியிட,
\(x\frac { \partial (sinu) }{ \partial x } +y\frac { \partial (sinu) }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)
\(x\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } +y\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)  
இருபுறமும் cos u ஆல் வகுக்க
\(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan\ u\)

எல்லா \(\lambda \) ∈ R.
F(\(\lambda \)x,\(\lambda \)y)=\(\frac { { \left( { \lambda x } \right) }^{ 2 }+5\left( \lambda x \right) \left( \lambda y \right) -10 ( { \lambda x ) }^{ 2 } }{ 3\lambda x+7\lambda y } =\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ \lambda } \left( \frac { { x }^{ 2 }+5xy-10{ y }^{ 2 } }{ 3x+7y } \right) =\lambda F(x,y)\)

கிளை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி \(\frac { \partial g }{ \partial r } ,\frac { \partial g }{ \partial s } \) -ஐக் காண்போம்.
\(\frac { \partial g }{ \partial x } \) =2x, \(\frac { \partial g }{ \partial y } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial r } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial s } \) =-1, \(\frac { \partial y }{ \partial r } \) =2r, மற்றும் \(\frac { \partial y }{ \partial s } \) =2.
தற்போது \(\frac { \partial g }{ \partial r } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial r } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial r } \) = 2x(2) + 2(2r) = 12r - 4s.
மேலும்,  \(\frac { \partial g }{ \partial s } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial s } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial s } \) = 2x(-1) +(2)2=2s - 4r+4.

கிளை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி \(\frac { dg }{ dt } \) ஐக் காண்போம்.
இதற்கு முதலில் \(\frac { \partial g }{ \partial x } ,\frac { \partial g }{ \partial y } ,\frac { dx }{ dt } \) மற்றும் \(\frac { dy }{ dt } \) -ஐக் காண்போம்.
\(\frac { \partial g }{ \partial x } \)=2x-y+cos(x+y), \(\frac { \partial g }{ \partial x } \)=-x+cos(x+y), \(\frac { dx }{ dt } \) =3e^3t மற்றும் \(\frac { dy }{ dt } \) =2t.
எனவே \(\frac { dg }{ dt } =\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { dx }{ dt } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { dy }{ dt } \)
= (2x − y + cos(x + y)) 3e^3t + (−x + cos(x + y))( 2t)
= (2e^3t - t² + cos(e^3t + t²))3e^3t +( -e^3t + cos(e^3t - t²))(2t ) 
= 6e^6t - 3t² e^3t +3e^3t cos(e^3t - t²) -2te^3t +2t cos(e^3t - t²) 

F(x,y) = x² – 2y² + 2xy மற்றும் x(t) = cost, y(t) = sint என்க.
F(x, y) = cos² t - 2sin² t + 2cos t sin t  என்பதால் F என்பது t என்ற ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்பாகும். சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த
\(\frac { dF }{ dt } \)=2 cos t(-sin t) -4 sin t cos t + 2 (-sin² t + cos² t).
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
மறுபுறம்
\(\frac { \partial F }{ \partial x } \frac { dx }{ dt } +\frac { \partial F }{ \partial y } \frac { dy }{ dt } \) =(2x+2y)\(\frac { dx }{ dt } \)+(2x - 4y) \(\frac { dy }{ dt } \)
= 2(cos t + sin t)(-sin t) + 2(cos t - 2sin t)(cos t)
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
=\(\frac { dF }{ dt } \)

சார்பு g எல்லா (x, y) ∈ R² க்கும் வரையறுக்கப்பட்டது என்க. மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் போல் (x, y)≠(0,0)ஆக உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும், g தொடர்ச்சியானது என எளிதாக சரிபார்க்கலாம். அடுத்து (0,0) இல் g -ன் தொடர்ச்சித் தன்மையை சரிபார்க்கலாம். (0,0) இல் g -க்கு எல்லை உள்ளது மற்றும் L = g(0,0) = 0 எனில்
\(\left| g\left( x,y \right) -g\left( 0,0 \right) \right| =\left| \frac { 2{ x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } -0 \right| =\frac { 2\left| { x }^{ 2 }y \right| }{ \left| { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right| } =\frac { 2\left| xy \right| \left| x \right| }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \le \frac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) \left| x \right| }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \le \left| x \right| \)   ...(9)
இங்கு கடைசி வரியில் நாம் 2 \(\left| xy \right| \) \(\le \) x² + y² என்பதை அனைத்து x, y∈ R எனப் பயன்படுத்தியுள்ளதைக் கவனிக்க. (இது 0\(\le \) (x - y)² -இலிருந்து கிடைப்பது) (x, y)→(0, 0) என்பதால் |x| → 0 எனக் கிடைக்கின்றது. சமன்பாடு (9)-லிருந்து \(\underset { (x,y)\longrightarrow (0,0) }{ \lim } \) \(\frac { 2{ x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \) = 0 = g(0,0) எனக் கிடைக்கின்றது. ஆகவே (0,0) இல் g தொடர்ச்சியானது என்பது நிரூபிக்கப்படுகிறது. எனவே R² -ன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் g தொடர்ச்சியானதாகும்.

(a,b) ∈ R² என்பது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. (a,b) இல் f -ன் தொடர்ச்சித் தன்மை பற்றி ஆராய்வோம்.
அதாவது (a,b) இல் f -ன் தொடர்ச்சித் தன்மைக்கான மூன்று நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கலாம்.
f (a,b) = \(\frac { 3a-5b+8 }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+1 } \)  என்பது வரையறுக்கப்பட்டது. எனவே முதல் நிபந்தனை மெய்யாகின்றது.
அடுத்ததாக \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f (x, y) எல்லை மதிப்பு உள்ளதா எனப்பார்க்க வேண்டும்.
\(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \)  (3x -5y +8) = 3a-5b+8 மற்றும் \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) (x² +y²+1) = a²+b²+1≠0
எனவே எல்லை மதிப்பின் பண்புகள் படி
\(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f(x,y) = \(\frac { \underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \left( 3x-5y+8 \right) }{ \underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 \right) } \) = \(\frac { 3a-5b+8 }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+1 } \)=f(a, b) = L என்றிருக்கிறது.
இப்போது \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f(x,y) = L=f(a, b) என்பது கவனிக்கத்தக்கது. எனவே (a,b) இல் f-ன் தொடர்ச்சித் தன்மைக்கான மூன்று நிபந்தனைகளையும் f நிறைவு செய்கின்றது.
மேலும் (a,b) , என்பது R² இல் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்பதால் f என்ற சார்பு R² -ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சித் தன்மையுடையது என முடிவு செய்யலாம்.

மேற்பரப்பானது 16\(\pi \) செ.மீ² குறைகிறது 6.1%

\(h(x)=\cfrac { x }{ x+1 } ,{ x }_{ 0 }=1\) 
 \(h\left( { x }_{ 0 } \right) =h(1)=\cfrac { 1 }{ 1+1 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(h'\left( x \right) =\cfrac { \left( x+1 \right) \times 1-x\times 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { x+1-x }{ (x+1)^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(h'\left( { x }_{ 0 } \right) =h'\left( 1 \right) =\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(L(x)=h\left( { x }_{ 0 } \right) +h'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 1 }{ 4 } \left( x-1 \right) \) 
\(=\cfrac { 2+x-1 }{ 4 } = \frac { x + 1 }{4}\)

\(g\left( x \right) =\sqrt { { x }^{ 2 }+9 } ,{ x }_{ 0 }=-4\) 
\(g\left( { x }_{ 0 } \right) =g\left( -4 \right) =\sqrt { 16+9 } =5\) 
\(=\cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+9 } } \) 
\(g'\left( { x }_{ 0 } \right) =g'\left( -4 \right) =\cfrac { -4 }{ \sqrt { 16+9 } } =-\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
\(L\left ( x \right) =g\left( { x }_{ 0 } \right) +g'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
= \(5+\left( -\cfrac { 4 }{ 5 } \right) \left( x+4 \right) \) 
= \(\cfrac { 25-4x-16 }{ 5 } \) 
= \(\cfrac { 9-4x }{ 5 } \)

x என்பது ஓர் எண் என்க.
\(y={ x }^{ 1/n }\)  என்க
\(logy=\cfrac { 1 }{ n } logx\) 
இருபுறமும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { 1 }{ y } dy=\cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\cfrac { \Delta y }{ y } \simeq \cfrac { 1 }{ y } dy=\cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\cfrac { \Delta y }{ y } \times 100\simeq\cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { dx }{ x } \times 100 \right) \) 
= எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac { 1 }{ n } \) மடங்கு.

(i) கொடுக்கப்பட்டது r=10
dr=10-9.8=0.2
கன அளவு \(v=\cfrac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\) 
\(dr=\cfrac { 4 }{ 3 } .3{ \pi r }^{ 2 }.dv\) 
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(10-v(9.8)=4\pi \left( 10 \right) ^{ 2 }\left( 0.2 \right) \) 
= \(80\pi \) செ.மீ³
(ii) வளைப்பரப்பு = \(4{ \pi r }^{ 2 }\) 
\(ds=8\pi rdr\) 
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(S(10)-S(9.8)=ds\) 
= \(8\pi \times 10\times 0.2\) 
= \(16\pi \) செ.மீ²

முதலில் w_x, w_y,மற்றும் w_z காண்போம்.
w_x = 2xy + z²,w_y= 2yz + x² மற்றும் w_z = 2zx + y² .
எனவே (15)-ன் படி வகையீடு
dw = (2xy + z² )dx + (2yz + x² )dy+ (2zx + y²)dz.

இங்கு u என்ற சார்பு லாப்லாஸின் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றது எனக் காட்ட வேண்டும்.  u_x(x,y) = e^-2y(-2)sin(2x)  எனவே u_xx (x,y) = e^-2y(-2)(2) cos(2x) ஆகும்.
இதேபோல் u_y( x y) =e^-2y (-2)cos(2x) எனவே u_yy (x,y)= (-2)(-2)e^-2ycos(2x) ஆகும்.
u_xx + u_yy =-4e^-2y cos(2x)+4e^-2y cos(2x)=0. எனவே R² இல் u சீரானது.