இங்கு u என்ற சார்பு லாப்லாஸின் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றது எனக் காட்ட வேண்டும்.  u_x(x,y) = e^-2y(-2)sin(2x)  எனவே u_xx (x,y) = e^-2y(-2)(2) cos(2x) ஆகும்.
இதேபோல் u_y( x y) =e^-2y (-2)cos(2x) எனவே u_yy (x,y)= (-2)(-2)e^-2ycos(2x) ஆகும்.
u_xx + u_yy =-4e^-2y cos(2x)+4e^-2y cos(2x)=0. எனவே R² இல் u சீரானது.

முதலில் \(\frac { { \partial }^{ }w }{ { \partial x } } \) (x,y) காண்போம்.
\(\frac { { \partial }w }{ { \partial x } } (x,y)=\frac { { \partial }(xy) }{ { \partial x } } +\frac { \partial \left( \frac { { e }^{ y } }{ { y }^{ 2 }+1 } \right) }{ \partial x } \)
இதிலிருந்து  \(\frac { { \partial }^{ }w }{ { \partial x } } \) (x,y)=y + 0 எனவே \(\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ \partial y\partial x } \) (x,y)=1 எனக் கிடைக்கின்றது.
மேலும், \(\frac { { \partial }w }{ { \partial y } } (x,y)=\frac { { \partial }(xy) }{ { \partial y } } +\frac { \partial \left( \frac { { e }^{ y } }{ { y }^{ 2 }+1 } \right) }{ \partial y } \)
\(=x+\frac { \left( { y }^{ 2 }+1 \right) { e }^{ y }-{ e }^{ y }2y }{ \left( { y }^{ 2 }+1 \right) ^ 2} \)
எனவே \(\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial x\partial y } } \)(x,y)=1.

நேரியல் தோராய மதிப்பீட்டு முறையில் \(\sqrt { 9.2 } \)-ன் தோராய மதிப்பைக் காண வேண்டியுள்ளது. சமன்பாடு (3)-ன் படி f(x₀+Δx)≈ f(x₀)+f'(x₀)Δx என உள்ளது. இதற்கு நாம் பொருத்தமான f , x₀ மற்றும் Δx ஆகியவற்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும். நம்முடைய இந்தத் தேர்வு மேற்கண்ட தோராய மதிப்பு சமன்பாட்டின் வலப்பக்கத்தை கணிப்பான் உதவியில்லாமல் கணக்கிடக்கூடிய வகையில் இருக்கவேண்டும். எனவே
f(x) = \(\sqrt { x,{ x }_{ 0 } } \) = 9 மற்றும் Δx=0.2 என நாம் தேர்வு செய்வோம். இதனால் f'(x₀)=\(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 9 } } \)மற்றும் \(\sqrt { 9.2 } \) ≈ f(9)+f'(9)(0.2)=3+\(\frac { 0.2 }{ 6 } \) =3.03333 என கிடைக்கும்.

எல்லா \(\lambda \) ∈ R.
F(\(\lambda \)x,\(\lambda \)y)=\(\frac { { \left( { \lambda x } \right) }^{ 2 }+5\left( \lambda x \right) \left( \lambda y \right) -10 ( { \lambda x ) }^{ 2 } }{ 3\lambda x+7\lambda y } =\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ \lambda } \left( \frac { { x }^{ 2 }+5xy-10{ y }^{ 2 } }{ 3x+7y } \right) =\lambda F(x,y)\)

F(x,y) = x² – 2y² + 2xy மற்றும் x(t) = cost, y(t) = sint என்க.
F(x, y) = cos² t - 2sin² t + 2cos t sin t  என்பதால் F என்பது t என்ற ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்பாகும். சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த
\(\frac { dF }{ dt } \)=2 cos t(-sin t) -4 sin t cos t + 2 (-sin² t + cos² t).
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
மறுபுறம்
\(\frac { \partial F }{ \partial x } \frac { dx }{ dt } +\frac { \partial F }{ \partial y } \frac { dy }{ dt } \) =(2x+2y)\(\frac { dx }{ dt } \)+(2x - 4y) \(\frac { dy }{ dt } \)
= 2(cos t + sin t)(-sin t) + 2(cos t - 2sin t)(cos t)
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
=\(\frac { dF }{ dt } \)

(a,b) ∈ R² என்பது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. (a,b) இல் f -ன் தொடர்ச்சித் தன்மை பற்றி ஆராய்வோம்.
அதாவது (a,b) இல் f -ன் தொடர்ச்சித் தன்மைக்கான மூன்று நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கலாம்.
f (a,b) = \(\frac { 3a-5b+8 }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+1 } \)  என்பது வரையறுக்கப்பட்டது. எனவே முதல் நிபந்தனை மெய்யாகின்றது.
அடுத்ததாக \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f (x, y) எல்லை மதிப்பு உள்ளதா எனப்பார்க்க வேண்டும்.
\(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \)  (3x -5y +8) = 3a-5b+8 மற்றும் \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) (x² +y²+1) = a²+b²+1≠0
எனவே எல்லை மதிப்பின் பண்புகள் படி
\(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f(x,y) = \(\frac { \underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \left( 3x-5y+8 \right) }{ \underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 \right) } \) = \(\frac { 3a-5b+8 }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+1 } \)=f(a, b) = L என்றிருக்கிறது.
இப்போது \(\underset { (x,y)\longrightarrow (a,b) }{ \lim } \) f(x,y) = L=f(a, b) என்பது கவனிக்கத்தக்கது. எனவே (a,b) இல் f-ன் தொடர்ச்சித் தன்மைக்கான மூன்று நிபந்தனைகளையும் f நிறைவு செய்கின்றது.
மேலும் (a,b) , என்பது R² இல் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்பதால் f என்ற சார்பு R² -ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சித் தன்மையுடையது என முடிவு செய்யலாம்.

\(h(x)=\cfrac { x }{ x+1 } ,{ x }_{ 0 }=1\) 
 \(h\left( { x }_{ 0 } \right) =h(1)=\cfrac { 1 }{ 1+1 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(h'\left( x \right) =\cfrac { \left( x+1 \right) \times 1-x\times 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { x+1-x }{ (x+1)^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(h'\left( { x }_{ 0 } \right) =h'\left( 1 \right) =\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(L(x)=h\left( { x }_{ 0 } \right) +h'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 1 }{ 4 } \left( x-1 \right) \) 
\(=\cfrac { 2+x-1 }{ 4 } = \frac { x + 1 }{4}\)

\(g\left( x \right) =\sqrt { { x }^{ 2 }+9 } ,{ x }_{ 0 }=-4\) 
\(g\left( { x }_{ 0 } \right) =g\left( -4 \right) =\sqrt { 16+9 } =5\) 
\(=\cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+9 } } \) 
\(g'\left( { x }_{ 0 } \right) =g'\left( -4 \right) =\cfrac { -4 }{ \sqrt { 16+9 } } =-\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
\(L\left ( x \right) =g\left( { x }_{ 0 } \right) +g'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
= \(5+\left( -\cfrac { 4 }{ 5 } \right) \left( x+4 \right) \) 
= \(\cfrac { 25-4x-16 }{ 5 } \) 
= \(\cfrac { 9-4x }{ 5 } \)

\(L(x)=f\left( { x }_{ 0 } \right) +f'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) என்ற நேரியல் தோராய மதிப்பை நாம் அறிவோம்.
\(f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-5x+12\) 
\(f'\left( x \right) ={ 3x }^{ 2 }-5\) 
\(f'\left( { x }_{ 0 } \right) =f'\left( 2 \right) =12-5=7\) 
\(f\left( { x }_{ 0 } \right) =f\left( 2 \right) =8-10+12=10\) 
\(L\left( x \right) =7(x-2)\) 
= \(10+7x-14\) 
= 7x - 4

வளைபரப்பு S = 6x² 
dS = 12 x dx ⇒ dS = 12 x₀ + dx

ஓர் எண்ணின் nஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும்போது ஏற்படும் சதவீதப் பிழை தோராயமாக, அந்த
எண்ணின் சதவீதப் பிழையின்  1/n மடங்கு ஆகும்.
இங்கு n =5