கிளை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி \(\frac { \partial g }{ \partial r } ,\frac { \partial g }{ \partial s } \) -ஐக் காண்போம்.
\(\frac { \partial g }{ \partial x } \) =2x, \(\frac { \partial g }{ \partial y } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial r } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial s } \) =-1, \(\frac { \partial y }{ \partial r } \) =2r, மற்றும் \(\frac { \partial y }{ \partial s } \) =2.
தற்போது \(\frac { \partial g }{ \partial r } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial r } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial r } \) = 2x(2) + 2(2r) = 12r - 4s.
மேலும்,  \(\frac { \partial g }{ \partial s } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial s } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial s } \) = 2x(-1) +(2)2=2s - 4r+4.

F(x,y) = x² – 2y² + 2xy மற்றும் x(t) = cost, y(t) = sint என்க.
F(x, y) = cos² t - 2sin² t + 2cos t sin t  என்பதால் F என்பது t என்ற ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்பாகும். சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த
\(\frac { dF }{ dt } \)=2 cos t(-sin t) -4 sin t cos t + 2 (-sin² t + cos² t).
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
மறுபுறம்
\(\frac { \partial F }{ \partial x } \frac { dx }{ dt } +\frac { \partial F }{ \partial y } \frac { dy }{ dt } \) =(2x+2y)\(\frac { dx }{ dt } \)+(2x - 4y) \(\frac { dy }{ dt } \)
= 2(cos t + sin t)(-sin t) + 2(cos t - 2sin t)(cos t)
= -6 cos t sin t +2 ( -sin² t + cos² t)
=\(\frac { dF }{ dt } \)

(14)-ன் படி நேரியல் தோராய மதிப்பு
L (x,y,z) =  U(x₀,y₀,z₀) + \({ \frac { { \partial }U }{ { \partial x } } | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 } }\) (x-x₀)+\({ \frac { { \partial }U }{ { \partial y } } | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 } }\) (y-y₀)+\({ \frac { { \partial }U }{ { \partial z } } | }_{ ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 }) }\) (z-z₀)
U_x =2x -y, Uy=-x மற்றும் U_z = 3cos z .
(x₀, y₀, z₀) = (2,−1,0 ) எனவே U_x (2, −1,0) = 5, U_y (2, −1,0) = −2 மற்றும் U_z (2,-1,0) = 3.
ஆகவே, L(x, y, z) = 6 + 5(x − 2) − 2( y +1) + 3(z − 0) = 5x − 2y + 3z − 6 என்பது (2,−1,0) இல் U -ன் நேரியல் தோராய மதிப்பாகும்.

\(U\left( x,y,z \right) =\cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ xy } +3{ z }^{ 2 }y\) 
\(U\left( x,y,z \right) ={ xy }^{ -1 }+{ yx }^{ -1 }+3{ z }^{ 2 }y\) 
 \(\cfrac { \partial U }{ \partial x } ={ y }^{ -1 }-{ yx }^{ -1 }+3{ z }^{ 2 }y\) 
\(\cfrac { \partial U }{ \partial y } =-{ xy }^{ -2 }+{ x }^{ -1 }+{ 3z }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { \partial U }{ \partial z } =6zy\)

\(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 1,2 \right) }{ \lim } g\left( x,y \right) =\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( 1,2 \right) }{ \lim } \cfrac { { 3x }^{ 2 }-xy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3 } \) 
= \(\cfrac { 3\left( 1 \right) -1\times 2 }{ 1+4+3 } \)  = \(\cfrac { 1 }{ 8 } \)

சார்பு g எல்லா (x, y) ∈ R² க்கும் வரையறுக்கப்பட்டது என்க. மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் போல் (x, y)≠(0,0)ஆக உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும், g தொடர்ச்சியானது என எளிதாக சரிபார்க்கலாம். அடுத்து (0,0) இல் g -ன் தொடர்ச்சித் தன்மையை சரிபார்க்கலாம். (0,0) இல் g -க்கு எல்லை உள்ளது மற்றும் L = g(0,0) = 0 எனில்
\(\left| g\left( x,y \right) -g\left( 0,0 \right) \right| =\left| \frac { 2{ x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } -0 \right| =\frac { 2\left| { x }^{ 2 }y \right| }{ \left| { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right| } =\frac { 2\left| xy \right| \left| x \right| }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \le \frac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) \left| x \right| }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \le \left| x \right| \)   ...(9)
இங்கு கடைசி வரியில் நாம் 2 \(\left| xy \right| \) \(\le \) x² + y² என்பதை அனைத்து x, y∈ R எனப் பயன்படுத்தியுள்ளதைக் கவனிக்க. (இது 0\(\le \) (x - y)² -இலிருந்து கிடைப்பது) (x, y)→(0, 0) என்பதால் |x| → 0 எனக் கிடைக்கின்றது. சமன்பாடு (9)-லிருந்து \(\underset { (x,y)\longrightarrow (0,0) }{ \lim } \) \(\frac { 2{ x }^{ 2 }y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \) = 0 = g(0,0) எனக் கிடைக்கின்றது. ஆகவே (0,0) இல் g தொடர்ச்சியானது என்பது நிரூபிக்கப்படுகிறது. எனவே R² -ன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் g தொடர்ச்சியானதாகும்.

f , g : (a,b)→R என்பன வகையிடத்தக்க சார்புகள் என்பதுடன் h(x) = f (x)g(x) என்க. h என்பது வகையிடத்தக்க சார்புகளின் பெருக்கல் என்பதால் (a,b)இல் h -ம் வகையிடத்தக்கது. எனவே வரையறைப்படி dh = h'(x)dx .
தற்போது பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி h'(x) = f (x)g'(x) + f '(x)g(x) .
இதனால் dh = h'(x)dx = ( f (x)g'(x) + f '(x)g(x))dx = f (x)g'(x)dx + f '(x)g(x)dx
= f (x)dg + g(x)df = fdg + gdf

மேற்பரப்பானது 16\(\pi \) செ.மீ² குறைகிறது 6.1%

\(h(x)=\cfrac { x }{ x+1 } ,{ x }_{ 0 }=1\) 
 \(h\left( { x }_{ 0 } \right) =h(1)=\cfrac { 1 }{ 1+1 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(h'\left( x \right) =\cfrac { \left( x+1 \right) \times 1-x\times 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { x+1-x }{ (x+1)^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 } } \) 
\(h'\left( { x }_{ 0 } \right) =h'\left( 1 \right) =\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(L(x)=h\left( { x }_{ 0 } \right) +h'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
\(=\cfrac { 1 }{ 2 } +\cfrac { 1 }{ 4 } \left( x-1 \right) \) 
\(=\cfrac { 2+x-1 }{ 4 } = \frac { x + 1 }{4}\)

\(x=27\) 
\(f(x)=\sqrt [ 3 ]{ 27 } =3\) 
\(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 } \) ன் மதிப்பை நாம் காண வேண்டும்.
\(f\left( { x }_{ 0 }+\Delta x \right) =f\left( { x }_{ 0 } \right) +f\left( { x }_{ 0 } \right) \Delta x\) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(f\left( 27.2 \right) =3+\cfrac { 1 }{ 3x^{ 2/3 } } \times 0.2\) 
= \(3+\cfrac { 1 }{ 3\times 9 } \times 0.2\) 
= \(3+\cfrac { 0.2 }{ 27 } \) 
= \(3+\cfrac { 2 }{ 270 } \) 
= \(3+0.0074=3.0074\) 
\(\therefore \sqrt [ 3 ]{ 27.2 } \) ன் தோராய மதிப்பு = 3.0074

சமன்பாடு (4)-இலிருந்து L(x) = f(x₀) +f'(x₀)(x-x₀) என நாம் அறிவோம். x₀ = 3,\(\Delta \)x =0.2 மற்றும் f(3)=\(\sqrt { 1+3 } \)=2 மேலும்
f ′(x) = \(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 1+x } } \) எனவே f'(3)= \(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 1+3 } } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
L(x) = 2+\(\frac { 1 }{ 4 } \)(x-3)=\(\frac { x }{ 4 } \)+\(\frac { 5 }{ 4 } \) என்பது தேவையான நேரியல் தோராய மதிப்பைத் தருகின்றது.
இப்பொழுது f(3.2) = \(\sqrt { 4.2 } \) ≈ L(3.2) = \(\frac { 3.2 }{ 4 } \)+\(\frac { 5 }{ 4 } \) = 2.050
உண்மையில் கணிப்பானைப் (calculator) பயன்படுத்தினால் \(\sqrt { 4.2 } \) = 2.04939

\(V(t)=30+12{ t }^{ 2 }-{ t }^{ 3 }\) \(dt=4 \frac{1}{6}-4\) 
 \(V'\left( t \right) =\left( 24t-{ 3t }^{ 2 } \right) dt\) 
= \(\left( 24\left( 4 \right) -3\left( 4 \right) ^{ 2 } \right) \times \frac{1}{6}\) 
= \(\left( 96-48 \right) \times 1/6\) 
= \(48\times \frac{1}{6}\) 
= 8
வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்)
\(\therefore\) தோராய வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம் =  8 x 1000 = 8000

r ஆரமுடைய தட்டின் பரப்பிற்கான சார்பு A(r) ஆகும்.
A(r) = \(\pi\)r² \(\Rightarrow\) A'(r) = 2\(\pi\)r
கொடுக்கப்பட்டது:
ஆரத்தின் மெய் மதிப்பு (r₀) = 12.5 செ.மீ மற்றும்
அளவிடப்பட்ட ஆரம் (r) = 12.65 செ.மீ
(அ) பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்:
= A (12.65) - A (12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 12.65² -  \(\pi\) \(\times\) 12.5² = \(\pi\) (12.65² - 12.5²)
= \(\pi\) (12.65 + 12.5) (12.65 - 12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 25.15 \(\times\) 0.15 = 3.7725 \(\pi\) செ.மீ²
(ஆ) நேரியல் தோராய மதிப்பின் படி, பரப்பில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
= A'(r). \(\Delta\)r, இங்கு r = r₀ (12.5 செ.மீ)
= A'(r₀).(r - r₀)
= 2\(\pi\) \(\times\) 12.5 \(\times\) (12.65 - 12.5) = 25\(\pi\) \(\times\) 0.15
= 3.75 \(\pi\) செ.மீ²
(i) தனிப்பிழை = மெய்மதிப்பு - தோராய மதிப்பு
= 3.7725 \(\pi\) - 3.75 \(\pi\)
= 0.0225 \(\pi\) செ.மீ²
(ii) 
\(=\frac{3.7725\pi-3.75\pi }{3.7725\pi }\)
\(=\frac{0.0225 \pi }{3.7725 \pi }=\frac{225}{37725}=\frac{3}{503}\)
= 0.00596 = 0.006 செ.மீ²
(iii) சதவீதப்பிழை = சார்பிழை \(\times\) 100
= 0.006 \(\times\) 100 = 0.6 %

உருளையின் கன அளவு V = \(\pi \)r²h என்பதை நினைவு கூர்வோம், இங்கு ஆரம் r மற்றும் உயரம் h ஆகும். V (r)= \(\pi \)r²h = 20\(\pi \)r²
V (10.1) −V (10)≈ \(\frac { dV }{ dr } { { | }_{ r=10 } }\) (10.1 - 10) = 20\(\pi \)2(10(0.1))
எனவே கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் மதிப்பு 40 \(\pi \) செமீ³
கன அளவில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
V (10.1) −V (10) = 2040.2\(\pi \) -2000\(\pi \) =40.2\(\pi \) செமீ³.
எனவே சார்பிழை = \(\frac { 40.2\pi -40\pi }{ 40.2\pi } \)=\(\frac { 1 }{ 201 } \)=0.00497;
மற்றும் சதவீதப் பிழை = சார்பிழை x 100 = \(\frac { 1 }{ 201 } \) x  100 = 0.497% 

\(dy={ e }^{ { x }^{ 2 }-5x+7 }\cos\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \) 
\(dy={ e }^{ { x }^{ 2 }-5x+7 }\left( -\sin\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \times 2x \right) +\cos\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \left( { e }^{ x^{ 2 }-5+7 }\times \left( 2x-5 \right) \right) dx\) 
= \({ e }^{ { x }^{ 2 }-5x+7 }\left[ \left( -2x\sin\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \right) +(2x-5)\cos\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \right] dx\)

ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செமீ
கன அளவு V = x³
dV = 3x² dx 
= 3 x 16 x 0.1 = 4.8 கன செ.மீ 

\(w(x, y) =x^y \)
\(\frac{\partial w}{\partial x} =y x^{y-1}\)

\(u =e^{x^2+y^2} \)
\(\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x^2+y^2}(2 x)=2 x u\)

வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் 10 செமீ
ஆரத்தில் உள்ள பிழை = 0.02 செ.மீ 
\(\mathrm{A} =\pi \mathrm{r}^2 \)
\(\mathrm{dA}  =2 \pi \mathrm{rdr} \)
சதவீதப் பிழை \(=\frac{d A}{A} \times 100=\frac{2 \pi r d r}{\pi r^2} \times 100 \)
\(=\frac{2 \times 0.02}{10} \times 100=0.4 \%\)