இப்போது, w (x, y) = xy + sin (xy)
\(\frac { \partial w }{ \partial x } \) = y (1) + (cos (xy) [y (1)]
= y + y cos (xy)
\(\frac { \partial w }{ \partial y } \) = x (1) + cos (xy) (x)
= x + x cos (xy)
\(\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ \partial y\partial x } \) = \(\frac { { \partial } }{ \partial { y } } \left( \frac { \partial w }{ \partial x } \right) \)
= 1 + y (- sin (xy)) (x) + cos (xy)
= 1 -xy sin (xy) + cos (xy) ... (1)
\(\frac { { \partial } }{ \partial { x } } \left( \frac { \partial w }{ \partial y } \right) \)
= 1 + x (- sin (xy)) (y) + cos (xy)
= 1 - xy sin (xy) + cos (xy) ... (2)
∴  (1) மற்றும் (2) - ல் 
\(\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial }^{ 2 }w }{ \partial x\partial y } \)

வட்டவடிவத் தகட்டின் பரப்பு \(A={ \pi r }^{ 2 }\) 
= \(\pi \times 10.5\times 10.5\) 
= \(110.25\pi \)
\(dA=2\pi rdr\) 
= \(2\pi \times 10.5\times 0.25\) 
= \(5.25\pi \) 
பரப்பில் ஏற்படும் சதவீத அதிகரிப்பு 
= \(\cfrac { dA }{ A } \times 100\) 
= \(\cfrac { 5.25\pi }{ 110.25\pi } \times 100\) 
= \(0.04761\times 100\) 
= 4.76%

(i) கொடுக்கப்பட்டது r=10
dr=10-9.8=0.2
கன அளவு \(v=\cfrac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\) 
\(dr=\cfrac { 4 }{ 3 } .3{ \pi r }^{ 2 }.dv\) 
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(10-v(9.8)=4\pi \left( 10 \right) ^{ 2 }\left( 0.2 \right) \) 
= \(80\pi \) செ.மீ³
(ii) வளைப்பரப்பு = \(4{ \pi r }^{ 2 }\) 
\(ds=8\pi rdr\) 
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(S(10)-S(9.8)=ds\) 
= \(8\pi \times 10\times 0.2\) 
= \(16\pi \) செ.மீ²

r ஆரமுடைய தட்டின் பரப்பிற்கான சார்பு A(r) ஆகும்.
A(r) = \(\pi\)r² \(\Rightarrow\) A'(r) = 2\(\pi\)r
கொடுக்கப்பட்டது:
ஆரத்தின் மெய் மதிப்பு (r₀) = 12.5 செ.மீ மற்றும்
அளவிடப்பட்ட ஆரம் (r) = 12.65 செ.மீ
(அ) பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்:
= A (12.65) - A (12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 12.65² -  \(\pi\) \(\times\) 12.5² = \(\pi\) (12.65² - 12.5²)
= \(\pi\) (12.65 + 12.5) (12.65 - 12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 25.15 \(\times\) 0.15 = 3.7725 \(\pi\) செ.மீ²
(ஆ) நேரியல் தோராய மதிப்பின் படி, பரப்பில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
= A'(r). \(\Delta\)r, இங்கு r = r₀ (12.5 செ.மீ)
= A'(r₀).(r - r₀)
= 2\(\pi\) \(\times\) 12.5 \(\times\) (12.65 - 12.5) = 25\(\pi\) \(\times\) 0.15
= 3.75 \(\pi\) செ.மீ²
(i) தனிப்பிழை = மெய்மதிப்பு - தோராய மதிப்பு
= 3.7725 \(\pi\) - 3.75 \(\pi\)
= 0.0225 \(\pi\) செ.மீ²
(ii) 
\(=\frac{3.7725\pi-3.75\pi }{3.7725\pi }\)
\(=\frac{0.0225 \pi }{3.7725 \pi }=\frac{225}{37725}=\frac{3}{503}\)
= 0.00596 = 0.006 செ.மீ²
(iii) சதவீதப்பிழை = சார்பிழை \(\times\) 100
= 0.006 \(\times\) 100 = 0.6 %

 g(x,y,z) = \(\frac { \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ 4x+7y } \)
\(g\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z \right) =\cfrac { \sqrt { { 3\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+5{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 }{ z }^{ 2 } } }{ 4\lambda x+7\lambda y } \) 
= \(\cfrac { \lambda \sqrt { { 3x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } }{ \lambda \left( 4x+7y \right) } \) 
= \({ \lambda }^{ 0 }g\left( x,y,z \right) \) 
எனவே g என்பது படி 0 உடைய சமபடிதான சார்பு ஆகும்.

u(x, y, z) = xy²z³, x = sin t, y = cos t, z = 1+ e^2t
\(\frac { \partial u }{ \partial x } ={ y }^{ 2 }{ z }^{ 3 };\frac { \partial u }{ \partial y } ={ 2xyz }^{ 3 }\)
\(\frac { \partial u }{ \partial z } =3{ x }y^{ 2 }{ z }^{ 2 }\)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } ={ cos }^{ 2 }t+{ (1+{ e }^{ 2t }) }^{ 3 };\)
\(\frac { \partial u }{ \partial y } =2sin \ t \ cos \ t{ (1+{ e }^{ 2t }) }^{ 3 }\);
\(\frac { \partial u }{ \partial z } =3 \ sin \ t \ { cos }^{ 2 }t{ (1+{ e }^{ 2t }) }^{ 3 }\)
\(\frac { dx }{ dt } =cos \ t;\frac { dy }{ dt } =-sin \ t\)
\(\frac { dz }{ dt } ={ 2e }^{ 2t }\)
\(\frac { du }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
= cos² t (1 + et)³ (cos t) + 2 sin t cos t ( 1+ e²t)³ (- sin t) + 3 sin t cos²t (1+ e²t)² (2e²t)
= (1 + e²t)2 [cos³ t(1 + e²t) - 2 sin² t cos t (1+ e^2t) + 6 sin (cos² t e^2t]
\(\frac{du}{dt}\) = (1 + e^2t)² [cos³t (1 + e^2t) - sin t sin 2t (1 e^2t) + 6 e^2t sin t cos²t 
[∵ sin 2t = 2 sin t cos t]

\(u={ x }^{ 2 }y+3xy^{ 4 },x={ e }^{ t },y=sint,y=cost\) 
\(\cfrac { du }{ dt } =\cfrac { du }{ dx } \cfrac { dx }{ dt } +\cfrac { du }{ dy } \cfrac { dy }{ dt } \) 
\(\cfrac { du }{ dx } =2xy+{ 3y }^{ 4 }\quad \cfrac { dx }{ dt } ={ e }^{ t }\) 
\(\cfrac { du }{ dx } ={ x }^{ 2 }+12{ xy }^{ 3 }\quad \cfrac { dy }{ dt } =cost\) 
\(\therefore \cfrac { du }{ dy } =\left( 2xy+{ 3y }^{ 4 } \right) { e }^{ t }+\left( { x }^{ 2 }+12{ xy }^{ 3 } \right) cost\) 
= \(\left( 2{ e }^{ t }sint+3{ sin }^{ 4 }t \right) { e }^{ t }cost+12{ sin }^{ 3 }tcost\) 
\(\cfrac { du }{ dt } ={ e }^{ 0 }\left( 2{ e }^{ t }sint+3sin^{ 4 }0+{ e }^{ 0 }cos0+12{ sin }^{ 3 }0cos0 \right) \) 
=  \(1\left( 0+0+1+0 \right) \left( \because cos(0)=1,sin\left( 0 \right) =0,{ e }^{ 0 }=1 \right) \) 
\(=\cfrac { du }{ dt } =1\) 
= \({ cos }^{ 2 }t\left( 1+{ e }^{ 2t } \right) ^{ 3 }cost-2\left( sint \right) cost\left( 1+{ e }^{ 2\pi r } \right) ^{ 3 }sint+6\left( sint \right) { cos }^{ 2 }t)\left( 1+{ e }^{ 2t } \right) ^{ 2 }{ e }^{ 2t }\) 

\(L\left( x,y,z \right) =w\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial w }{ \partial x } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial w }{ \partial y } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( y-{ y }_{ 0 } \right) \) 
\(w\left( 1,-1 \right) =1+3+2=6\) 
\(\cfrac { \partial w }{ \partial x } ={ 3x }^{ 2 }-3y;\cfrac { \partial w }{ \partial y } =-3x+4y\) 
\(\cfrac { \partial w }{ \partial x } { | }_{ \left( 1,-1 \right) }=3+3=6;\cfrac { \partial w }{ \partial y } { | }_{ \left( 1,-1 \right) }=-3-4=-7\) 
\(\therefore L\left( x,y,z \right) =6+6\left( x-1 \right) -7\left( y+1 \right) \) 
\(L\left( x,y,z \right) =6x-7y-7\)

v(x, y, z) = x³ + y³ + z³ + xyz³
\(\frac { \partial v }{ \partial z } \) = 0 + 0 +3z² + 3xy = 3z² + 3xy
\(\frac { \partial v }{ \partial y } \) = 0 + 3y² + 0 + 3xz = 3y² + 3xz
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial z } =\frac { { \partial } }{ \partial { y } } \left( \frac { \partial v }{ \partial z } \right) \) = 0 + 3x = 3x ...(1)
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial z\partial y } =\frac { { \partial } }{ \partial { z } } \left( \frac { \partial v }{ \partial y } \right) \) = 0 + 3x = 3x ..... (2)
(1) மற்றும் (2) - ல் 
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial z } =\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial z\partial y } \)

\(U\left( x,y,z \right) =log\left( { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 } \right) \) 
\(\cfrac { \partial U }{ \partial x } =\cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 } } \) 
 \(\cfrac { \partial U }{ \partial y } =\cfrac { 3{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 } } \) 
\(\cfrac { \partial U }{ \partial z } =\cfrac { 3{ z }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 } } \) 
\(\cfrac { \partial U }{ \partial x } +\cfrac { \partial U }{ \partial y } +\cfrac { \partial U }{ \partial z } =\cfrac { 3\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) }{ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ z }^{ 3 } } \)

y = ( 3 + sin(2 x))^2/3
\(dy=\cfrac { 2 }{ 3 } \left( 3+\sin2x \right) ^{ -1/3 }\left( 2\cos2x \right) dx\) 
\(dy=\cfrac { 4\cos2x }{ 3\left( 3+\sin2x \right) ^{ 1/3 } } \)dx

\(w\left( x,y,z \right) =log\left( \cfrac { { 5x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+{ 7y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-75{ y }^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற  
(x, y, z) = \(\frac { { 5x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+7{ y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-{ 75y }^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
⇒ w = log f  ...(1)
⇒ e^w = f
f(λx, λy, λz) = \(\frac { { 5\lambda }^{ 3 }{ x }^{ 3 }{ \lambda }^{ 4 }{ y }^{ 4 }+7{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\lambda x{ \lambda }^{ 4 }{ z }^{ 4 }-75{ \lambda }^{ 3 }{ y }^{ 3 }{ \lambda }^{ 4 }{ z }^{ 4 }{ }^{ } }{ { \lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } \)
= \(\frac { { \lambda }^{ 7 }(5{ x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+7{ y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-{ 75 }y^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 2 }({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } ={ \lambda }^{ 5 }f(x,y,z)\)  
f என்பது படி 5 உடைய சமபடிதான சார்பாகும்.
ஆய்லரின் தேற்றபடி,
\(x.\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } +z\frac { \partial f }{ \partial z } =5.f\)
⇒ \(x.\frac { \partial }{ \partial x } ({ e }^{ w })+y.\frac { \partial }{ \partial y } ({ e }^{ w })+z.\frac { \partial }{ \partial z } ({ e }^{ w })=5.{ e }^{ w }\) 
⇒ \(x.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial x } +y.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial y } +z.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial z } ({ e }^{ w })=5{ e }^{ w }\)
⇒ \(x\frac { \partial w }{ \partial x } +y\frac { \partial w }{ \partial y } +z\frac { \partial w }{ \partial z } \)  
[\({ e }^{ w }\) ஆல் வகுக்க]
⇒ \(x\frac { \partial w }{ \partial x } +y\frac { \partial w }{ \partial y } +z\frac { \partial w }{ \partial z } =5\)  

\(v\left( x,y \right) =log\left( \cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \right) \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற 
\({ e }^{ x }=\cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } =f\left( x,y \right) \) என்க 
f (x, y) = \(\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \)
⇒ v = log f
⇒ ev = f
f(tx, ty) = \(\frac { { t }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ t }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ tx+ty } =\frac { { t }^{ 2 }({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ t(x+y) } \)
= t.f(x, y)
f என்பது படி 1 உடைய சமப்படிதான சார்பாகும்.
ஆய்லரின் தேற்றப்படி,
⇒ \(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } \) = 1.f
\(x.\frac { \partial }{ \partial x } \left( { e }^{ v } \right) +y.\frac { \partial }{ \partial y } \left( { e }^{ v } \right) ={ e }^{ v }\) என்பது 
⇒ \(x.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial x } +y.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial y } ={ e }^{ v }\)
⇒  \(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \) = 1
எனவே நிறுவப்பட்டது.

z(x, y) = x³ - 3x²y³ ; x = se^t; y = se^-t
\(\frac { \partial z }{ \partial s } \) = 3x² - 6xy³; \(\frac { \partial z }{ \partial y } \) = -9x²y²
∴ \(\frac { \partial z }{ \partial s } \) 3s²e^2t - 6 se^t s³ e^-3t
\(\frac { \partial z }{ \partial y } \) = 9s²e^2t.s²e^-2t
\(\frac { \partial z }{ \partial y } \) = -9s⁴
\(\frac { \partial z }{ \partial s} \) = e^t; \(\frac { \partial y }{ \partial s} \) = e^-t
\(\frac { \partial x }{ \partial t} \) = se^t; \(\frac { \partial y }{ \partial s} \) = -se^-t 
\(\therefore \frac { \partial z }{ \partial s } =\frac { \partial z }{ \partial x } .\frac { dx }{ ds } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dx } \)
= (3s²e^2t - 6 s⁴ e^-2t) (e^t) + (-9s⁴) (e^-t)
= 3s²e^3t - 6 s⁴ e^-t -9s⁴ e^-t
\(\frac { \partial z }{ \partial s } \) = 3s²e^3t - 15 s⁴ e^-t
\(\frac { \partial z }{ \partial t } =\frac { \partial z }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial z }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } \)
= (3s²e^2t - 6 s⁴e-^2t) (se^t) + (-9 s⁴) (-se^-t)
= 3s³e^3t - 6 s⁵e^-t + 9 s⁵ e^-t
= 3s³ e^3t + 3 s⁵e^-t
\({ \left( \frac { \partial U }{ \partial t } \right) }\)= 3s³(e^3t + s²e^-t)

h(x, y, z) = x sin(xy) + z² x, \(\left( 2,\frac { \pi }{ 4 } ,1 \right) \) 
\(\cfrac { \partial h }{ \partial x } =x \cos\left( xy \right) y+\sin\left( xy \right) +{ z }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { \partial h }{ \partial x } \left( 2,\cfrac { \pi }{ 4 } ,1 \right) =2\cos\left( 2\times \cfrac { \pi }{ 4 } \right) \times \pi /4+\sin\left( 2\times \cfrac { \pi }{ 4 } \right) +1\) 
= 0+1+1=2
\(\cfrac { \partial h }{ \partial z } =x \cos\left( xy \right) x\) 
\(\cfrac { \partial h }{ \partial y } \left( 2,\pi /4,1 \right) =2\cos\left( 2\times \pi /4 \right) \times 2=0\) 
\(\cfrac { \partial h }{ \partial y } \left( 2,\pi /4,1 \right) =2\times 1\times 2=4\)