ℤo = {2k + 1:k ∈ ℤ} = {...,−5,−3,−1,1,3,5,...} என்ற அனைத்து ஒற்றை முழுக்களைக் கொண்ட கணத்தைக் கருதுக. கூட்டல் + ஆனது ℤ_o -இன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. ஏனெனில், x = 2m + 1,y = 2n + 1 எனும்பொழுது x + y = 2(m + n)+2 என்பது அனைத்து m,n-க்கும் இரட்டை எண்ணாகவே அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, 3, 7 ∈ ℤ_o என்ற இரு ஒற்றை எண்களைக் கருதுக. அவைகளின் கூடுதல் 3 + 7 = 10 என்பது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும். பொதுவாக, x, y∈ ℤ₀ எனில், (x+y)∉ℤ₀ ஆகும். + ஆனது ℤ_o ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்லாததால் ஏனையப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

ℤ_e ={2k | k ∈ ℤ}={...,−6,−4,−2,0,2,4,6,...} என்ற இரட்டை முழு எண்களின் கணத்தைக் கருதுக.
ℤ_e -ன் மீது கூட்டலின் ' + ' என்ற ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்டு பின்வரும் பண்புகளைச் சரிபார்க்கலாம்.
(i) ஏதேனும் இரண்டு இரட்டை முழு எண்களின் கூடுதல் ஓர் இரட்டை முழு எண் ஆகும்.
ஏனெனில், x y ∈ ℤ_e  ⇒ x = 2m , மற்றும் y= 2n, m,n ∈ ℤ.
எனவே , (x+y) =2m + 2n = 2(m+n) ∈ ℤ_e  . எனவே , ℤ_e  -ன் மீது ' + ' ஆனது அடைவுப் பண்பு பெற்றுள்ளது.
(ii) ∀x, Y∈ ℤ_e , (x+y)=2(m+n)=2(n+m)=(2n+2m)=(y+x).
எனவே , + ஆனது பரிமாற்று விதியை நிறைவு செய்கிறது.
(iii) இதேபோல், ∀x, y z ∈ ℤ_e  , (x+y)+z=x+(y+z).
எனவே, சேர்ப்பு விதியும் உண்மையாகிறது.
(iv) x= 2k எனக் கொள்க . 2k+e=e+2k=2k⇒e=0.
எனவே ,∀x ∈ ℤ_e ∃0∈ ℤ_e ⋺x+0=0+x=x .
ஆகையால், 0 சமனி உறுப்பாகும்.
(v) x= 2k என எடுத்துக் கொண்டால், இதன் எதிர்மறை x′ ஆனது பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது.
2k+x'=0=x'+2k⇒x'=−2k. அதாவது x'= −x.
எனவே , ∀x ∈ ℤ_e ,∃−x∈ℤ_e ⋺x+(−x)=(−x)+x=0
எனவே , −x என்பது x -ன் எதிர்மறை ஆகும்.

(i) கழித்தல் '− ' ஆனது ℕ ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்ல . ஆனால் ℤ ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகும். எனவே , மேலும் சில பண்புகளை '–' என்ற ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்டு ℤ ன் மீது எளிதான மதிப்புகளுக்குச் சரிபார்ப்பது நல்லது.
(ii) m = 4 , n = 5 எனில், (m−n) = (4−5) = −1 மற்றும் (n−m)=(5−4)=1.
இங்கு (m−n) ≠ (n−m). எனவே , ' − ' ஆனது ℤ -இன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iii) (m−n)− p மற்றும் m−(n−p) போன்றவரில் m=4,n=5 மற்றும் p = 7 என்ற
(m−n)−p=(4−5)−7=(−1−7)=−8 மற்றும் ...(1)
m−(n−p)=4−(5−7)=(4+2)=6. ...(2)
(1), (2) -லிருந்து (m−n)−p≠m−(n−p).
எனவே , '–' ஆனது ℤ -ன் மீது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iv) சமனி உறுப்பு இல்லை. (ஏன்?)
(v) எதிர்மறை உறுப்பு இல்லை (ஏன்?)

\((\mathrm{a} * \mathrm{~b})=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{ab}-7, \forall a, b \in \mathbb{R}\) 
\(a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\) எனில் \(a b \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore(a * b)=a+b+a b-7 \in \mathbb{R}\) 
உதாரணமாக\(\ 1,2\in R\) என்க.
\(\\ (1\ast 2)=1+2+(1)(2)-7\) 
= \(-2 \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore \ast \) என்பது R-ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
இப்போது \(3\ast \left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) =3+\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) +3\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) -7\) 
= \(3-\cfrac { 7 }{ 15 } -\cfrac { 21 }{ 15 } -7\) 
= \(-\cfrac { 88 }{ 15 } \)

\((\mathrm{m} * \mathrm{n})=\mathrm{m}^{\mathrm{n}}+\mathrm{n}^{\mathrm{m}}, \forall \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}\) 
\(-2,2 \in \mathbb{Z}\) என்பதைக் கருதுவோம்.
\((\mathrm{m} * \mathrm{n})=(-2 * 2)=(-2)^2+(2)^{-2}\) 
= \(4+\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 14 }{ 7 } \notin Z\) 
எனவே \(*\) என்பது Z ல் அடைவுப் பண்பை பெறவில்லை.

p மற்றும் q சம்பந்தப்பட்ட நான்கு விதமான நிபந்தனைக் கூற்றுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன
(i). p → q: (நிபந்தனைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது எனில் பின்னர் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது”.
(ii). q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”
(iii). ¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை”.
(iv). ¬ q → ¬p (நேர்மாறுக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை எனில், பின்னர் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல”.

இங்கு உள்கூற்றுகள் p மற்றும் q பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது.
p: இன்று திங்கள் கிழமை; q: 4 + 4 = 8.
q –ன் முடிவானது T என்பதால் p → q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகிறது.
ஒரு முக்கியமான கருத்து என்னவென்றால் p மற்றும் q-ன் வாக்கியங்களின் அர்த்தங்களை கருத்தில் கொண்டு p → q ஐ செயல்படுத்தக்கூடாது. மேலும் p என்பது q வுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.
விளைவுகள் :
p → q என்ற நிபந்தனைக் கூற்றிலிருந்து மேலும் மூன்று நிபந்தனைக் கூற்றுகள் வருவிக்கப்படுகின்றன. அவைகள் கீழே பட்டியலிடப்படுகிறது.
(i) மறுதலைக் கூற்று (Converse statement) q → p .
(ii) எதிர்மறைக் கூற்று (Inverse statement) \(\neg p \rightarrow \neg q .\)
(iii) நேர்மாறுக் கூற்று (Contrapositive statement) \(\neg q \rightarrow \neg p\)

\(\begin{aligned} A=\{a+\sqrt{5} b ; a, b \in \mathbb{Z}\} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 1,2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\sqrt{5} b=1+2 \sqrt{5} \in A \end{aligned}\) மற்றும்
\(\begin{aligned} 2,3 \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\sqrt{5} b=2+3 \sqrt{5} \in A \end{aligned}\) என்க.
வழக்கமான பெருக்கலை ஈருறுப்புச் செயலியாகக் கொள்க.
\((1+2 \sqrt{5}) \cdot(2+3 \sqrt{5})=(32+7 \sqrt{5}) \in A\) எனவே, வழக்கமான பெருக்கல், Aன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

p மற்றும் q என்பன ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில்
p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.
p ↔q என்பது ஒரு நிச்சயமின்மை.

\(\mathrm{p} \wedge(\neg \mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv(\mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{p}) \vee(\mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv \mathbb{F} \vee(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}) \equiv \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}\)

இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3