\(\begin{aligned} p & \rightarrow(q \rightarrow r) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \equiv p \rightarrow(\neg q \vee r) \end{aligned}\)  [\(\because\) உட்கோள் விதி]
\(\begin{aligned} \equiv \neg p \vee(\neg q \vee r) \end{aligned}\) [\(\because\) உட்கோள் விதி]
\(\begin{aligned} \equiv(\neg p \vee \neg q) \vee r \end{aligned}\)    [\(\because\) சேர்ப்பு விதி]
\(\begin{aligned} \equiv \neg(p \wedge q) \vee r \end{aligned}\)   [\(\because\) டிமார்கன் விதி]
\(\begin{aligned} \equiv(p \wedge q) \rightarrow r \end{aligned}\)    [\(\because\) உட்கோள் விதி]
எனவே நிறுவப்பட்டது.

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

மெய்மை அட்டவணையில் \(\neg \left( p\wedge q \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \neg q\) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.எனவே அவை தர்க்க சமமானவை. 

(i) (a*b) = a^b ∈ℕ,∀a,b∈ℕ என்பது உண்மை. எனவே ℕ ஆனது ∗ –ன் கீழ் அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) a = 2 , b = 3 ஆகிய மதிப்புகளை a*b=a^b மற்றும் b*a=b^a ஆகியவைகளில் பிரதியிட,
a*b=2³ = 8 ஆனால் b*a=3²=9 ⇒ a*b≠b*a
எனவே ∗ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iii) a*(b*c) = a*(b^c) \({ a }^{ ({ b }^{ c }) }\)  எனக் கொள்க.
இதில் a=2,b=3 மற்றும் c = 4 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
a*(b*c)=2*(3*4)=\({ 2 }^{ ({3 }^{ 4 }) }\)=2⁸¹
ஆனால் (a*b)*c=(a^b)*c=(a^b)^c=c=a^(bc)=a^bc=2¹²
a*(b*c)≠(a*b)*c
எனவே, ∗ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
குறிப்பு
இந்த ஈருறுப்பு செயலிக்கு சமனியும் எதிர்மறையும் இல்லை. (காரணத்துடன் விளக்குக)

ℤo = {2k + 1:k ∈ ℤ} = {...,−5,−3,−1,1,3,5,...} என்ற அனைத்து ஒற்றை முழுக்களைக் கொண்ட கணத்தைக் கருதுக. கூட்டல் + ஆனது ℤ_o -இன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. ஏனெனில், x = 2m + 1,y = 2n + 1 எனும்பொழுது x + y = 2(m + n)+2 என்பது அனைத்து m,n-க்கும் இரட்டை எண்ணாகவே அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, 3, 7 ∈ ℤ_o என்ற இரு ஒற்றை எண்களைக் கருதுக. அவைகளின் கூடுதல் 3 + 7 = 10 என்பது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும். பொதுவாக, x, y∈ ℤ₀ எனில், (x+y)∉ℤ₀ ஆகும். + ஆனது ℤ_o ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்லாததால் ஏனையப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
p:11 ஒரு பகா எண் (T)
q: ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம் (F)
\(\therefore p\wedge q\) என்பதன் மெய்மதிப்பு F.

p மற்றும் q சம்பந்தப்பட்ட நான்கு விதமான நிபந்தனைக் கூற்றுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன
(i). p → q: (நிபந்தனைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது எனில் பின்னர் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது”.
(ii). q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”
(iii). ¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை”.
(iv). ¬ q → ¬p (நேர்மாறுக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை எனில், பின்னர் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல”.

இங்கு உள்கூற்றுகள் p மற்றும் q பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது.
p: இன்று திங்கள் கிழமை; q: 4 + 4 = 8.
q –ன் முடிவானது T என்பதால் p → q -ன் மெய்மதிப்பு T ஆகிறது.
ஒரு முக்கியமான கருத்து என்னவென்றால் p மற்றும் q-ன் வாக்கியங்களின் அர்த்தங்களை கருத்தில் கொண்டு p → q ஐ செயல்படுத்தக்கூடாது. மேலும் p என்பது q வுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.
விளைவுகள் :
p → q என்ற நிபந்தனைக் கூற்றிலிருந்து மேலும் மூன்று நிபந்தனைக் கூற்றுகள் வருவிக்கப்படுகின்றன. அவைகள் கீழே பட்டியலிடப்படுகிறது.
(i) மறுதலைக் கூற்று (Converse statement) q → p .
(ii) எதிர்மறைக் கூற்று (Inverse statement) \(\neg p \rightarrow \neg q .\)
(iii) நேர்மாறுக் கூற்று (Contrapositive statement) \(\neg q \rightarrow \neg p\)

R ன் மீது \(a * b=a \sqrt{b}\)
\(\mathrm{b} \in \mathbb{R} \text {, }\)ஆனால் \(\sqrt{b}\) ஆனது Rல் வரையறுக்க இயலாது.
மீது a, b \(\in\) R- க்கு \(a \sqrt{b}\) ஆனது R-ல் வரையறுக்க இயலாது.
எனவே * என்பது Rல் ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

(i) 4 + 7 = 12
இதன் மெய்மதிப்பு F என்பதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(ii) இது ஒரு வினாவைக் குறிக்கிறது மற்றும் இது ஒரு கூற்று அல்ல.
(iii) \(3^{\mathrm{n}} \leq 81, n \in \mathbb{N}\) 
n=1,2,3,4 எனும்போது இது மெய்யாவதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(iv) இதன் மெய்மதிப்பு T என்பதால் இது ஒரு கூற்று ஆகும்.
(v) இது ஒரு வியப்பு வாக்கியம் ஆகும். எனவே இது கூற்று அல்ல.

இக்கொள்கையை எடுத்துக்காட்டுகள் 12.17 மற்றும் 12.18ஐப் பயன்படுத்தி தருவிக்க முடியும்.
p ↔ q ≡ (ㄱp ν q) ∧ (ㄱq ∨ p) ... (1)
≡ (¬p ν q)( p ∨ ¬q) (பரிமாற்றுப் பண்பின்படி) ... (2)
≡ (ㄱp ∧ ( p ∨ ㄱq)) ∨ (q ∧ ( p ∨ㄱq)) (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)
≡ (ㄱp ∧ p)∨ (ㄱp ∧ㄱq)∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ㄱq) (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)

இறுதியாக, p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (ㄱp ∧ㄱq).

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

\(\left( A\wedge B \right) \vee C=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \vee \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \) 
\(=\left( \begin{matrix} 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 0 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 \\ 1\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 1\vee 1 \end{matrix} \right) \)
\(=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\)

கொடுக்கப்பட்ட பூலியன் அணிகள் 
 \( A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad B=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad C=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
\(A\vee B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \vee \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
=  \(\left( \begin{matrix} 1\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 1 & 1\vee 0 \\ 1\vee 1 & 0 \vee0\end{matrix}\begin{matrix} 1\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 1 & 1\vee 0 \\ 0\vee0 & 1\vee 1 \end{matrix} \right) \)
\(A\vee B=\left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right| \)

p மற்றும் q என்பன ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில்
p ↔ q என்பது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.
p ↔q என்பது ஒரு நிச்சயமின்மை.

இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3