தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி,கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவைக் காண வேண்டும்.முதலில் வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண வேண்டும்.
A(0,1) மற்றும் B(2,2) என்பன இருபுள்ளிகள் என்க.இந்த இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு x அச்சைப் பற்றிச் சுழல்கிறது.

AB-ன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { y-1 }{ 2-1 } =\cfrac { x-0 }{ 2-0 } \) 
\(\cfrac { y-1 }{ 1 } =\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y-1=\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y=\cfrac { x }{ 2 } +1\) 
\(y=\cfrac { x+2 }{ 2 } \) 
x -அச்சைப் பற்றிச் சுழல்வதால் கிடைக்கும் திடப்பொருளின் கன அளவு 
= \(\pi \int _{ a }^{ b }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\pi \int _{ 0 }^{ 2 }{ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } dx } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 64 }{ 3 } -\cfrac { 8 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 56 }{ 3 } \right] =\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) 
கூம்பின் இடைக் கண்டத்தின் கன அளவு = \(\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) மீ 

நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி,ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும்,சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கு உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர் விகிதமாக அமையும்.
\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-{ T }_{ 0 } \right) \) 
இங்கு T என்பது அறையின் வெப்பநிலை ,மற்றும் T₀ என்பது ஊடகத்தின் மாறாத வெப்பநிலை 
எனவே,\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-25 \right) \) (அல்லது)
\(\cfrac { dT }{ T-25 } =-kdt\) 
சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது
\(\int { \cfrac { dT }{ T-25 } } =\int { -kdt } \) 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+{ c }_{ 1 }\) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது   
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\left( \cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \right) t\) 
t=20 என சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட 
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\cfrac { 20 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(-2log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(2log\cfrac { 11 }{ 15 } \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =log\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\cfrac { T-25 }{ 75 } =\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(T=75\left( \cfrac { 11 }{ 75 } \right) ^{ 2 }+25\) 
\(T=75\left( 0.5378 \right) +25\) 
\(\\ T=40.33+25\) 
\(T=65.33^{ 0 }C\)

t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) என்க. இதன் மாறுவீதம் \(\frac { dx }{ dt } \) = உள் நுழையும்வீதம் − வெளியேறும் வீதம்.
இப்பொழுது ஒரு லிட்டர் நீரில் 5 கிராம் உப்பு கரைக்கப்பட்டு தொட்டியில் உட்புகுத்தப்படுவதால், 10 லிட்டர் நீரில் 50கிராம் உப்புத் தொட்டியில் உள்ள நீரில் கரைந்திருக்கும். மேலும், தொட்டியில் இருந்து உப்புக்கரைசல் (பிரைன்) ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் வெளியேறுகிறது. இது தொட்டியில் உள்ள மொத்த உப்புக் கரைசலின் 10 / 1000 = 0.01 மடங்காகும். ஆகவே, t நேரத்தில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) -ன் 0.01 மடங்காகும். அதாவது 0.01x(t) ஆகும்.
எனவே, இந்த மாதிரியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dx }{ dt } \) = 50 - 0.01x = -0.01(x - 5000)
இச்சமன்பாட்டினை \(\frac { dx }{ x-5000 } =-(0.01)dt\) என எழுதலாம்.
சமன்பாட்டின் இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| x-5000 \right| =-0.01t+logC\)
அல்லது x - 5000 = Ce^-0.01t அல்லது x = 5000 + Ce^-0.01t 
ஆரம்பத்தில், அதாவது t = 0 எனும்போது x = 100
அதாவது 100 = 5000 + C. ஆகையால், C = -4900.
எனவே t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு is x = 5000 - 4900e^-0.01t.

கொடுக்கப்பட்டது \(x\cfrac { dy }{ dx } =y-x{ cos }^{ 2 }\cfrac { y }{ x } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { y-x{ cos }^{ 2 }\frac { y }{ x } }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y=vx\)
\(\frac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
y மற்றும் \(\cfrac { dy }{ dx } \) ன் மதிப்பை சமன்பாடு (10 ல் பிரதியிட 
\(v+\frac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 }(v) }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dv } =x\cfrac { \left( v-{ cos }^{ 2 }v \right) }{ x } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =v-{ cos }^{ 2 }v-v\) 
\(\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { -{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(\cfrac { dv }{ { cos }^{ 2 }v } =\cfrac { -dx }{ x } \) 
இருபுறமும்  தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { { sec }^{ 2 }vdx } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \) 
\(tanv=-logx+logC\) 
\(tanv=logC-logx\) 
\(tanv=log\left( \cfrac { c }{ x } \right) \) 
\({ e }^{ tanv }=\cfrac { C }{ x } \) 
\(C=x{ e }^{ tanv }\) 
\(C={ xe }^{ tan\left( \frac { y }{ x } \right) }\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

\(\begin{aligned} \mu & =\mathrm{E}(X)=\int_0^{\infty} x f(x) d x \end{aligned}\)
\(​​\begin{aligned} =3 \int_0^{\infty} x e^{-3 x} d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =3\left(\frac{1!}{3^{1+1}}\right)=3 \times \frac{1}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned}\)
மின்னணு சாதனத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் ஆயுட்காலம் = \(\frac{1}{3}\)

(i) f(x) என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதால் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) 
\( \Rightarrow \int _{ -\infty }^{ 200 }{ f(x)dx } +\int _{ 200 }^{ 600 }{ f(x)dx } +\int _{ 600 }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) 
\(0+\int _{ 200 }^{ 600 }{ kdx } +0=1\)
\(k\left[ x \right] _{ 200 }^{ 600 }=1\) \(\Rightarrow\) \(k(600-200)=1\)
\(k(400)=1\) \(\Rightarrow\) \(k=\cfrac { 1 }{ 400 } \)
(ii) பரவல் சார்பு \(F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } \) 
நிலை 1:
\(\\ x<200\\ F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } =0\) 
நிலை 2:
\(200\le x\le 600\) 
\(F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } \)
\(=\int _{ -\infty }^{ 200 }{ f(u)du+\int _{ 200 }^{ x }{ f(u) } du } \)
\(=0+k\int _{ 200 }^{ x }{ du } =\cfrac { 1 }{ 400 } \left[ u \right] _{ 200 }^{ x }\)
\(=\cfrac { 1 }{ 400 } \left( x-200 \right) =\cfrac { x }{ 400 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \)
நிலை 3:
\(x>600\)
\(F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } \) 
\(=\int _{ -\infty }^{ 200 }{ f(u)du+\int _{ 200 }^{ 600 }{ f(u) } du+\int _{ 600 }^{ x }{ fu)du } } \)
\(=0+k\int _{ 200 }^{ 600 }{ du+0 } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 400 } \left[ u \right] _{ 200 }^{ 600 }=\cfrac { 400 }{ 400 } =1\)
\(F(x)=\{ \begin{matrix} 0, \\ \frac { x }{ 400 } -\frac { 1 }{ 2 }, \\ 1, \end{matrix}\begin{matrix} x<200 \\ 200\le x\le 600 \\ x>600 \end{matrix}\)
(iii) P(300 < x < 500)
\(\begin{aligned} \mathrm{P}(300<x<500) & =\int_{300}^{500} f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =k[x]_{300}^{500} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{400} \times 200=\frac{1}{2} \end{aligned}\)

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி   \([A|B]\quad is\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a \\ c \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\\ R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a+2b \\ c-b \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ c+2b \\ a+b+c \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் உள்ளது எனில் மட்டும் ρ([A}B])=2
எனில் மட்டும் a+b+c=0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A என்பது செங்குத்து அணி. எனவே, AA^T = A^TA = I₃ எனவே நாம் பெறுவது
AA^T = I₃ ⇒ \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & b & 2 \\ -3 & -2 & c \\ a & 6 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒\(\left[ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 } & 6b+6+6a & 12-3c+3a \\ 6b+6+6a & { b }^{ 2 }+40 & 2b-2c+18 \\ 12-3c+3a & 2b-2c+18 & { c }^{ 2 }+13 \end{matrix} \right] =49\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left\{ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 }=49 \\ { b }^{ 2 }+40=49 \\ \begin{matrix} { c }^{ 2 }+13=49 \\ 6b+6+6a=0 \\ \begin{matrix} 12-3c+3a=0 \\ 2b-2c+18=0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} { a }^{ 2 }=4,\quad { b }^{ 2 }=9,\quad { c }^{ 2 }=36 \\ a+b=-1,a-c=-4,b-c=-9 \end{matrix} \right\} \) ⇒m a = 2, b = -3, c = 6
எனவே நமக்குக் கிடைப்பது, A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \) மற்றும் A^-1 = A^T = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \).