மெய்மை அட்டவணையில் \(\neg \left( p\wedge q \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \neg q\) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.எனவே அவை தர்க்க சமமானவை. 

(i) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\)  
\(\cfrac { 26 }{ \sqrt { x } } \times 0.1=26\times 0.1\) 
= 2.6
\(\cong\) 3 வார்த்தைகள் 
(ii) \(y=52\sqrt { x } \) 
\(dy=52\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times { x }^{ -1/2 }dx\) 
= \(\cfrac { 26 }{ \sqrt { 4 } } \times 0.1=13\times 0.1\) 
= 1.3
\(\cong\) 1 வார்த்தை 

ℤo = {2k + 1:k ∈ ℤ} = {...,−5,−3,−1,1,3,5,...} என்ற அனைத்து ஒற்றை முழுக்களைக் கொண்ட கணத்தைக் கருதுக. கூட்டல் + ஆனது ℤ_o -இன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் ஆகாது. ஏனெனில், x = 2m + 1,y = 2n + 1 எனும்பொழுது x + y = 2(m + n)+2 என்பது அனைத்து m,n-க்கும் இரட்டை எண்ணாகவே அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, 3, 7 ∈ ℤ_o என்ற இரு ஒற்றை எண்களைக் கருதுக. அவைகளின் கூடுதல் 3 + 7 = 10 என்பது ஓர் இரட்டை எண்ணாகும். பொதுவாக, x, y∈ ℤ₀ எனில், (x+y)∉ℤ₀ ஆகும். + ஆனது ℤ_o ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயல் அல்லாததால் ஏனையப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

f(x)=log(1+x) என்க. f(x) -ன் மெக்லாரனின் விரிவு  \(f(x) = \sum _{ n=0 }^{ n=\infty }{ { a }_{ n }{ x }^{ n } } \) இங்கு, \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 0 -ல் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவினை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\log(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+...\)  ; -1 <  x ≤ 1.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு 2x-3y+5z+7=0
கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு இணையான தளத்தின் சமன்பாடு 2x - 3y + 5z + k = 0
புள்ளி(3,4,-1) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது 
2(3) - 3(4) + 5(-1) + k = 0
6 - 12 - 5 + \(\Rightarrow\)-11 +k=0
\(\Rightarrow\)-11 +k=0 \(\Rightarrow\) k= 11
 (1) லிருந்து 2x-3y+5z+11=0 என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 
இரண்டு இணை தளங்களுக்கு இடையேயான தூரம் = \(\cfrac { \left| { d }_{ 1 }-{ d }_{ 2 } \right| }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } } \) 
\(\therefore d=\cfrac { \left| 7-11 \right| }{ \sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-3)^{ 2 } } +{ 5 }^{ 2 } } =\cfrac { \left| -4 \right| }{ \sqrt { 4+9+25 } } \) 
= \(\cfrac { 4 }{ \sqrt { 38 } } \) அலகுகள்.

முக்கோணம் ABC-ல் ஆதிப்புள்ளி A என்க. எனவே D,E,F என்ற புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்கள் முறையே \(\frac { \vec { AB } +\vec { AC } }{ 2 } ,\frac { \vec { AC } }{ 2 } ,\frac { \vec { AB } }{ 2 } \). ஆகும். \(\vec { AB } ,\vec { AC }\) என்ற வெக்டர்களை அடுத்தடுத்த பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு \(​​\left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \) என்பதால், முக்கோணம் \(\Delta \)ABC-ன் பரப்பு \(\frac {1}{2}\)\(​​\left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \) ஆகும்.
இதேபோன்று, \(\Delta \)DEF-ஐக் கருதுக.
\(\Delta \)DEF -ன் பரப்பு  =\(\frac{1}{2}\)\(​​\left| \vec { DE } \times \vec { DF } \right| \)
= \(\frac{1}{2}\) \(​​\left| (\vec { AE }-\vec{AD}) \times (\vec { AF }-\vec{AD}) \right|​​\)
=\(\frac{1}{2}\) \(\left| \frac { \vec { AB } }{ 2 } \times \frac { \vec { AC } }{ 2 } \right| \)
= \(\frac14\) \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \right) \)
= \(\frac14\) (\(\Delta \)ABC-ன் பரப்பு).

AB =\(\left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0+0 & 0+3 \\ -2+0 & -3-4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right] \)
(AB)^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+6) } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \)    ...(1)
A^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+3) } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
B^-1 =\(\frac { 1 }{ (2-0) } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \)
B^-1A^-1 =\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \) ....(2)
அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)^-1 = B^-1A^-1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை நாம் f (x) = x² ( 10- x)² என எழுதலாம்.
இப்பொழுது, f(x) = x²(100-20x+ x²) = x⁴-20x³ +100x²
எனவே, f′(x) = 4x³ -60x² +200x =4x(x² -15x + 50)
f′(x) = 4x (x²-15x+ 50) = 0 ⇒x =  0,5,10 
மேலும். f ′′(x) = 12x² -120x +200
f (x) -ன் தேக்க நிலை எண்கள் x = 0, 5, 10 ஆகும். இவ்வெண்களில் f ′′(x) -ன் மதிப்புகள் முறையே 200,−100 மற்றும் 200 ஆகும். x = 0 -ல், இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f (0) = 0 ஆகும். x = 5-ல், இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு f (5) = 625 ஆகும். x =10 -ல், இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f (10) = 0 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { (x \tan x-1) }{ x } y=x \cos x\) என எழுதலாம்.
இது நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும். இங்கு \(p=\frac { (xtanx-1) }{ x } ;\quad Q=xcosx.\) 
\(\int { pdx } =\int { \frac { (xtanx-1) }{ x } } dx=-log\left| cosx \right| -log\left| x \right| =-log\left| xcosx \right| =log\frac { 1 }{ \left| xcosx \right| } .\)
தொகையீட்டுக் காரணி = \({ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ log\frac { 1 }{ \left| xcosx \right| } }=\frac { 1 }{ xcosx } \) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு \({ ye }^{ \int { pdx } }={ Qe }^{ \int { pdx } }dx+c\) 
i.e., \(y\frac { 1 }{ xcosx } =\int { (xcosx) } \frac { 1 }{ xcosx } dx+c\) 
அல்லது \(y\frac { 1 }{ xcosx } =x+c\) 
அல்லது \(y={ x }^{ 2 }cosx+Cxcosx\) இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

முதலில் \({ V }_{ x },{ V }_{ y },{ V }_{ z }\) ஆகியவற்றைக் காணலா.
இப்போது,\({ V }_{ x }=\cfrac { \partial v }{ \partial x } =y+z\) 
\({ V }_{ y }=\cfrac { \partial v }{ \partial y } =x+z\) 
\({ V }_{ z }=\cfrac { \partial v }{ \partial z } =y+x\) 
வகையீடு 
\(dV={ V }_{ x }dx+{ V }_{ y }dy+{ V }_{ z }dz\) 
= \(\left( y+z \right) dx+\left( x+z \right) dy+\left( y+x \right) dz\)

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் - ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பானது x − அச்சின் மேல் உள்ளது. எனவே தேவையான பரப்பு.


A = \(\int ^{3}_{-1} y dx\) = \(\int ^{3}_{-1} (\frac {30-6x}{5})\) dx =  \((\frac {30x-3x^2}{5})^{3}_{-1}\)
= \((\frac {90-27}{5})\) - \((\frac {-30-3}{5})\) = \(\frac {96}{5}\) . 

\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \cfrac { 1-x }{ 1+x } \times \cfrac { 1-x }{ 1-x } dx } } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \cfrac { \left( 1-x \right) ^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } dx } } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 1-x }{ \sqrt { 1-\sqrt { { x }^{ 2 } } } } dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx-\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } } \) 
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } =\left[ { sin }^{ -1 }x \right] _{ 0 }^{ 1 }=\cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(-\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { xdx }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } } \) என்பதைக் கருதுக 
 \({ t }^{ 2 }=1-{ x }^{ 2 }\) 
\(2tdt=-2xdx\) 

= \(\int _{ 1 }^{ 0 }{ \cfrac { tdt }{ t } } \) 
= \(\left[ t \right] _{ 1 }^{ 0 }=0-1\) 
= -1
(1)ல் பிரதியிட 
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \cfrac { 1-x }{ 1+x } } } dx=\cfrac { \pi }{ 2 } -1\) 

\(y={ x }^{ 2 }-5x+4\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\cfrac { dy }{ dx } =2x-5\) = m₁ 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(3x+y=7\) 
கோட்டின் சாய்வு= \(-\cfrac { 3 }{ 1 } =-3\)=m₂ 
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு தொடுகோடு இணை என்பதால் அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.
ie) m₁ = m₂ \(\Rightarrow\) 2x - 5 = - 3
2x = 2 \(\Rightarrow\) x = 1
x = 1 எனும்போது, y = (1)² - 5(1) + 4 = 0
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளி (1, 0).

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

L.H.S = \(\left[ \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ c } \right] \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } +\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(=\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\left\{ \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right\} \)
\(\left[ \because \overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \rightarrow }{ 0 } \right] \)
\(=\overset { \rightarrow }{ a } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ b } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ c } .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(=\left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] +0+0\)
\(\left[ \because \left[ \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =\left[ \overset { \rightarrow }{ c } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =0 \right] \)
\(=\left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] =R.H.S\)

tan^-1 \(\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)


\(\Rightarrow \frac { { 2x }^{ 2 }-4 }{ { x }^{ 2 }-4-{ x }^{ 2 }+{ 1 } } =1\)
⇒ 2x² - 4 = -3
⇒ 2x² = -3 + 4 = 1
⇒ \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(x=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

z = -2i = 2(-i) என்க
= \(2\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
[∵ cos (-θ) = cos θ and sin(-θ) = - sinθ]
-2i ன் முதன்மை மதிப்பு -\(\frac { \pi }{ 2 } \)

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| =12-3=9\neq 0\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 10 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| =60-12=48\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 10 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| =8-10=-2\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 48 }{ 9 } =\frac { 16 }{ 3 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ 9 } \)
∴தீர்வு கணம் \(\left\{ \frac { 16 }{ 3 } ,\frac { -2 }{ 9 } \right\} \)

தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =(\hat { 6i } -\hat { j } +\hat { k } )+s(-\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )+t(-5\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )\)
\(\vec { a } =6\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) \(\vec { b } =\hat { -i } +2\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும்\(\vec { c } =\hat { -5i } -4\hat { j } -5\hat { k } \)
\(\therefore\) தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\)
\(\vec { b } \times \vec { c } \left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -1 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-10+4)-\hat { j } \left( 5+5 \right) +\hat { k } \left( 44+10 \right) \)
= \(\hat { i(-6)-\hat { j } (10) } +\hat { k } (14)\) 
\(\therefore \left[ \vec { r } -\left( 6i-j+k \right) \right] .\left[ -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right] =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) -\left( 6\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) -\left[ -36+10+14 \right] =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) +12=0\)
\(\div -2,\vec { r } .(3\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } )-6=0\) 
\(\vec { r } =(x\hat { i } +y\hat { j } +2\hat { k } \) என்க 
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( 3\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } \right) -6=0\)
\(\Rightarrow 3x+5y-7z-6=0\)  என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு 

x -அச்சின் மீது ஆதிப்புள்ளியில் மையத்தையும் கொண்ட நீள்வட்டக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1,\quad a>b\) ...(1)
இங்கு a, b என்பன ஏதேனுமிரு மாறிலிகள்.
சமன்பாடு (1)-ன் இருபுறமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண,
\(\frac { { 2x } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { 2y } }{ { b }^{ 2 } } \frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow \frac { { x } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y } }{ { b }^{ 2 } } \frac { dy }{ dx } =0\) ...(2)
சமன்பாடு (2)-ன் இருபக்கமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண,
\(\frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { 1 } }{ { b }^{ 2 } } \left[ y\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right] =0\Rightarrow \frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { 1 } }{ { b }^{ 2 } } \left[ y\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right] \)
\(\frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 } } \) இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட்டு எளிமைப்படுத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது,
\(-\frac { { 1 } }{ { b }^{ 2 } } \left[ y\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right] x+\frac { { y } }{ { b }^{ 2 } } \frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow xy\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }-y\frac { dy }{ dx } =0\)
இதுவே தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.