கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + y² = r², r ∈ R
இச்சமன்பாடு ஒரேயொரு மாறிலியை மட்டும் பெற்றுள்ளது.
ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒருமுறை மட்டும் வகைக்கெழு காண்போம். சமன்பாடு (1)ஐ x ஐப் பொருத்து வகையிட, நாம் பெறுவது
\(2x+2y\frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { x }{ y } \)
ஆகவே, x² + y² = r² என்பது \(\frac { dy }{ dx } =-\frac { x }{ y } \) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
எனவே, x² + y² = r² என்பது \(\frac { dy }{ dx } =-\frac { x }{ y } \) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும். 

இருபுறமும் அடுக்கை 3 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது 
\(\left( \frac { { d }^{ 3 }y }{ { dx }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }=\left( 3\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -5\frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }\) 
சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 3 }y }{ { dx }^{ 3 } } \) இதன் அடுக்கு 2
ஃ வரிசை = 3 & படி=2. 

I =  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) (3 cos ⁴ x - 7 sin⁵ x ) dx = 3  \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) cos⁴ x  dx - 7 \(\int ^\frac{\pi}{2} _0\) sin⁵ x dx
= 3 × \(\frac {3}{4}\) ×  \(\frac {1}{2}\) ×  \(\frac {\pi}{2}\) - 7 ×  \(\frac {4}{3}\) ×  \(\frac {2}{3}\)= \(\frac {9\pi}{16}\) - \(\frac {56}{15}\).
குறைப்புச் சூத்திரம் III -  ஐ திரும்பத் திரும்ப பயன்படுத்தி  பின்வரும் முடிவுகளை (நிரூபணமின்றி)  நாம் பெறலாம் :
(i) n  இரட்டை எண் மற்றும் m இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx = \(\frac {(n-1)}{m+n}\)  \(\frac {(n-3)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ......\(\frac {1}{m+2}\) \(\frac {m-1}{m}\) \(\frac {m-3}{m-2}\)\(\frac {m-5}{m-4}\) ... \(\frac {1}{2}\)\(\frac {\pi}{2}\)
(ii) n ஒற்றை எண் மற்றும் m மிகை முழுக்கள் (இரட்டை எண் அல்லது ஒற்றை எண்), எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ^m x cos ⁿ x dx =  \(\frac {(n-1)}{m+n}\) \(\frac {(n-1)}{m+n-2}\) \(\frac {(n-5)}{m+n-4}\) ... \(\frac {2}{m+3}\)\(\frac {2}{m+1}\)
குறிப்பு
m மற்றும் n ஏதாவது ஒன்று ஒற்றை எண் எனில் cos x சார்பின் பின் அடுக்கினை ஒற்றை எண் ஆக
மாற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக m ஒற்றை எண் மற்றும் n இரட்டை எண் எனில்
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\) sin ^m x cos ⁿ x dx  =  \(\int ^\frac{\pi}{2}_{0}\)  sin ⁿ x cos ^m x dx  =  \(\frac {(m-1)}{n+m}\) \(\frac {(m-3)}{(n+m-2)}\) \(\frac {(m-5)}{(n+m-4)}\) ... \(\frac {2}{(n+3)}\)\(\frac {1}{(n+3)}\).

't ' நேரத்தில் இடப்பெயர்ச்சி s = \(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் திசைவேகம் v = \(\frac{ds}{dt}=t^{2}-2t\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் முடுக்கம் a = \(\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dt}=2t-2\) ஆகும்.
t²-2t=0 அதாவது, t = 0,2 எனும் போது திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும். 2t-2=0
அதாவது, t =1 எனும்போது முடுக்கம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 3y² = a²
\(\div { a }^{ 2 }\) கிடைப்பது, \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } } =1\) 
இங்கு a² = a² மற்றும் \({ b }^{ 2 }=\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 3 } \Rightarrow b=\cfrac { a }{ \sqrt { 3 } } \) 
நெட்டச்சின் நீளம் 2a மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் \(2b=\cfrac { 2a }{ \sqrt { 3 } } \times \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 2a\sqrt { 3 } }{ 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழி செல்லும் தளம்
(x + y + z - 6) + λ(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ....(1)
இது வழி செல்லும் (1, 1, 1)
∴ (1 + 1 + 1 - 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + 14λ = 0 ⇒ λ = \(\frac {3}{14}\)
பிரதியிட λ = \(\frac {3}{14}\) என (1) கிடைப்பது
(x + y + z - 6) + = \(\frac {3}{14}\) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
⇒ 14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0
⇒ 20x + 23y + 26z - 69 =0

\(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) , \(\overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \) 
\(\overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \),\(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு செங்குத்து ஆதலால் \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \) = 0
⇒ [\(\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) + λ \((-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k }) \) ].\(\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) \)
⇒ \(\left[ (1-\lambda )\overset { \wedge }{ i } +(2+2\lambda )\overset { \wedge }{ j } +(3+\lambda )\overset { \wedge }{ k } \right] .\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) =0\)
\(\Rightarrow 3(1-\lambda )+2(2+2\lambda )=0\Rightarrow 3-3\lambda +2+2\lambda =0\)
\(\Rightarrow 5-\lambda =0\Rightarrow \lambda =5\)

கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x = sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = sin^-1 \(\left( sin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow x=tan\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\therefore x=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

x³ – x² (α + β + γ) + x (αβ + βγ + γα) – αβγ = 0
\( x^{3}-x^{2}\left(2+\frac{1}{2}+1\right)+x\left(1+\frac{1}{2}+2\right)-(2)\left(\frac{1}{2}\right)(1)=0\)
\(x^{3}-x^{2}\left(\frac{4+1+2}{2}\right)+x\left(\frac{2+1+4}{2}\right)-1=0 \)
\(x^{3}-x^{2}\left(\frac{7}{2}\right)+x\left(\frac{7}{2}\right)-1=0\)
2x³ – 7x² + 7x – 2 = 0

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

\(\left| \bar { (1+i) } (2+3i)(4i-3) \right| =\left| \bar { (1+i) } \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \)  \(\left( \because \left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| \right) \)
= \(\left| (1+i) \right| \left| (2+3i) \right| \left| (4i-3) \right| \) \(\left( \because \left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z } \right| \right) \)
= \(\left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) \left( \sqrt { { (-3) }^{ 2 }+4^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) \left( \sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 25 } \right) =5\sqrt { 26 } \)

\({ \tan }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { 5\pi }{ 2 } \right) \right) \)
tan^-1 \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = x என்க.
⇒ tan^-1 (-1) = x
⇒ -1 = tan x
⇒ tan x = -1 = -tan \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ tan x = tan \(\left( \frac { -\pi }{ 4 } \right) \)
⇒ x = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(-\frac { \pi }{ 4 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ tan \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)

கொடுக்கப்பட்ட 2i+3 என்பது ஒரு மூலம்.
∴ அதனுடைய இணை 3-2i பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்
=(3+2i)(3-2i)
=3²+2²=9+4=13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(6)+13=0
⇒ x²-6x+13=0

 \(\sqrt3\) + i
மட்டு = \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { (\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 3+1 } \) = 2
\(\alpha ={ \tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| { =\tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\sqrt3\) + i என்ற கலப்பெண்ணானது முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆகவே \(\sqrt3\) + i ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் \(\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது: z = x + iy
iz = i (x + iy)
= ix - y = -y + ix
கொடுக்கப்பட்டது: [Re(iz)]² = 3
(-y)² = 3 \(\Rightarrow\) y² = 3

வரையறைப்படி cot^-1−x ∈(0,π).
எனவே, cot^-1\(\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) =\theta \) என்பதிலிருந்து \(\theta \in (0,\pi )\) ஆகும்.
ஆனால் \({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) =\theta \) என்பது \(\cot \theta =\frac { 1 }{ 7 } \) ஆகும்.
எனவே tan \(\theta \) = 7 மற்றும் \(\theta \) ஒரு குறுங்கோணம் ஆகும்.
tan \(\theta \) = \(\frac{7}{1}\) என்பதை பயன்படுத்தி, செங்கோண முக்கோணம் ஒன்றை உருவாக்குக. பின்னர் cos \(\theta \) = \(\frac { 1 }{ 5\sqrt { 2 } } \) என நமக்கு கிடைக்கிறது.

= (i⁴)⁴⁸⁷ _ [i^-1868 . i^-1]
= i¹⁴⁸⁷ - \([{ (i }^{ 4 }).\frac { 1 }{ i } ][{ i }^{ 4 }=1]\)
= 1-[1.(-i) [∵ i-1 = \(\frac { 1 }{ i } \) = -i] [1 -ன் அடுக்கும் 1 ஆகும்]
= 1 + i

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

X என்பது சமவாய்ப்பு மாறி,ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது என்க.
கொடுக்கப்பட்டது: கூடையில் 5 மாம்பழங்கள் மற்றும் 4 ஆப்பிள்கள் உள்ளன.
\(\therefore X=\{ 0,1,2,3\} \) 
கூறுவெளி S=⁹C₃=84
x=0, X(2 மாம்பழங்கள்)=⁵C₃ \(\times\)⁴C₀=10
X=1,X(2 மாம்பழங்கள் மற்றும் 1 ஆப்பிள்) = ⁵C₂\(\times\)⁴C₁=40
X=2, X(1 மாம்பழங்கள் மற்றும் 2 ஆப்பிள்கள்) = ⁵C₁\(\times\)⁴C₂=30
X=3, X(3 ஆப்பிள்கள்)=⁵C₀\(\times\)⁴C₃=4

(i) A= \(\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right] \) என்க 
\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| =6-4=2\neq 0\)
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
இங்கு \(adj\quad A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)என்க
= 5(25-1)-1(5-1)+1(1-5)
= 5(24)-1(4)+1(-4)
= 120-4-4 = 120 - 8 = 112 ≠ 0 
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
\(|A|=5\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை எனில் A^-1 சாத்தியம்
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(25-1) \\ -(5-1) \\ +(1-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(5-1) \\ +(25-1) \\ +(5-1) \end{matrix}\begin{matrix} +(1-5) \\ -(5-1) \\ +(25-1) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்து 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\ A=\frac { 1 }{ 112 } ={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 28 } \left[ \begin{matrix} 6 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
(iii) A =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
= 2(8-7)-3(6-3)+1(21-12)
= 2(1)-3(3)+1(9)

R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
\(|A|=2\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 சாத்தியம் 
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ +(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ +(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு, \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)

மெய்மை அட்டவணையில் p → q மற்றும் ㄱp ν q ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே அவை சமானமானவை ஆகும்.

\(f(x)={ x }^{ 2 }+3x\) 
\(df=\left( 2x+3 \right) dx\) 
= \(\left( 2+2+3 \right) \times 0.1\) 
= \(7\times 0.1\) 
= 0.7
ii) x = 3 மற்றும் dx = 0.02
இங்கு x = 3 மற்றும் dx = 0.02,
df = (6 + 3) (0.02)
= 9(0.02) = 0.18

\(f(x)=\tan x,x \in [0, \pi]\) 
tanx என்ற சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) என்ற இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது அல்ல. ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது வரையறுக்கப்படவில்லை. சார்பு \(\left( 0,\pi \right) \) ல் வகையிட இயலாது.ஏனெனில் \(\cfrac { \pi }{ 2 } \) ல் இது தொடர்ச்சியானது அல்ல.
மற்றும் \(f(0)=\tan\left( 0 \right) =0\) 
\(f(\pi )=\tan\pi =0\) 
\(f(0)=f(\pi )=0\) 
'tanx' எனும் சார்பு \(\left[ 0,\pi \right] \) ல் வகையிட முடியாததாகவும் உள்ளதால், ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது.

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i