19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.\(\Rightarrow p\vee \neg q\)

\(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

ஆதியை மையமாகவும் செல்லும்,y அச்சின் மீதும் கொண்ட நீள்வட்டத் தொகுதியின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
இங்கு \(b>a\) மற்றும் a,b என்பது தனித்த மாறிலிகள் (துணையலகுகள்).
இங்கு இரண்டு மாறிலிகள் உள்ளதால்,சமன்பாடு (1) ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { 2x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { 2y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(2\left( \cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } \right) =0\) 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) ...(2)
சமன்பாடு (2)ஐ மீண்டும் xஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } \cfrac { dy }{ dx{ b }^{ 2 } } =0\) 
\(\cfrac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } =0\) 
x ஆல் பெருக்க 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } =0\) 
சமன்பாடு (3)-(2),நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\left( \cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } \right) -\left( \cfrac { x }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } \right) =0\) 
\(\cfrac { xy }{ { b }^{ 2 } } \left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\cfrac { x }{ { b }^{ 2 } } -\cfrac { y }{ { b }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } \) ஐ வெளியே,எடுக்க,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { 1 }{ { b }^{ 2 } } \left[ xy\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +x\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }-y\cfrac { dy }{ dx } \right] =0\) 
\(xy\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +x\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }-y\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

f(x) =  \(e ^{-|x|}\)  என்க. f(-x) =  \(e ^{-|-x|}\) = \(e ^{-|x|}\) =  f (x)
எனவே f (x) என்பது ஓர் இரட்டைப் படைச் சார்பாகும்.
ஆகவே  \(\int ^{\log 2}_{-\log 2} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-x}\) dx
= 2(-e^-x)\(^{\log2}_{0}\) = 2 (-e^-log2 + e⁰) = 2 \((-e ^{\log \frac{1}{2}} + 1)\)
= 2  \((-\frac {1}{2}+1)=1\).

கொடுக்கப்பட்ட தொடு கோட்டின் 
y = 3x + 1
y = 3x + c என்ற கோடு y² = 4ax க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c=\cfrac { a }{ m } \) 
\(1=\cfrac { a }{ m } \Rightarrow 1=\cfrac { a }{ m } \Rightarrow a=3\) 
செவ்வகத்தின் நீளம் 4 = 4(3) = 12 அலகுகள்.

∝, β என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில் 
மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் \(=\alpha +\beta =\frac { -b }{ a } \)
\(=\frac { [-(a-2)] }{ 1 } =a-2\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\alpha \beta =\frac { c }{ a } \)
\(=\frac { -(a+1) }{ 1 } =(a+1)\)
நம்மிடம் ∝²β² = -2∝β
= (a-2)²+2(a+1)
= a² -4a+4+2a+2
= (a-1)²+5
ஆகையால் ∝²+β² குறைந்த மதிப்புடைய எனில் a = 1

L.H.S = 2tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } }{ \frac { 9-2 }{ 9 } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 9 }{ 7 } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 12 }{ 7 } \right) =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \Rightarrow AX=B\) இங்கு 
\(A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right) ,X=\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ,B=\left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) \)
∴ X=A^-1 B
\(|A|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=2+5=7\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 3 & +4 \\ -15 & +8 \end{bmatrix}\)
\(\\ =\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ தீர்வு கணம் {1, -1}

\(x+iy=2-i2=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 2^{ 2 }+(2{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } \)
\(=\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -2 }{ -2 } \right| ={ tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
-2-2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் காலப்பகுதியின் அமைவதால் [x குறை y குறை]
அதன் துருவ வடிவம்
\(-2-2i=2\sqrt { 2 } \)
\(2\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \), k ∈ Z

x³+2x²+3x+4=0 மூலங்கள் α,β,\(\gamma \)
∴ α+β+\(\gamma \)=-x²-ன் கெழு =-2    ........(1)
αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α=x-ன் கெழு =3     ......(2)
-α β \(\gamma \) =+4 ⇒ α β \(\gamma \)=-4         ........(3)
2α,2β,2\(\gamma \) வை மூலங்களாக உடைய முப்படி சமன்பாட்டை உருவாக்குக
2α+2β+2\(\gamma \)=2(α,β,\(\gamma \))=2(-2)=-4 [(1) லிருந்து]
4αβ+4β\(\gamma \)+4\(\gamma \)α=4(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)=4(3)=12 [(2) லிருந்து]
(2α) (2β) (2\(\gamma \)) =8(αβ\(\gamma \)) =8(-4)=-32 [(3) லிருந்து]
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(2α+2β+2\(\gamma \))x²+(2αβ+2β\(\gamma \)+2\(\gamma \)α)x-(2α) (2β) (2\(\gamma \))=0
⇒ x³-(4)x²+12x+32=0
⇒ x³+4x²+12x+32=0

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3

\(\mathrm{v}(x, \mathrm{y})  =\log \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y\right) \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}  =\frac{e^x}{e^x+e^y}, \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}=\frac{e^y}{e^x+e^y} \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}  =\frac{e^x+e^y}{e^x+e^y}=1\)

\( {[\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}] } = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{a} \times \vec{b})= \frac{1}{4} \\ |\vec{a} \times \vec{b}|^2 =\frac{1}{4} \\ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \)
\(\sin ^2 \theta =\frac{1}{4} \quad(\because \vec{a}, \vec{b} \)  என்பன அலகு வெக்டர்கள்) 
\(\\ \sin \theta =\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} \)

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A 
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

\( \sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} =2 \tan ^{-1} x \\ \therefore 2 \tan ^{-1} x-2 \tan ^{-1} x =0 \)

செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு x = a  ஆகும்.  இச்செவ்வகலம் பரவளையத்தை L(a,2a)  மற்றும்   L₁(a,-2a)  என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. தேவையான பரப்பு படம் ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.
பரவளையம் சமச்சீராக இருப்பதால் தேவையான பரப்பு  A  ஆனது y = 2 \(\sqrt a \sqrt x\)  என்ற பரவளையத்தின் பகுதி x -  அச்சு, x = 0 மற்றும் x = a  ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பைப் போல் இரு மடங்காகும்.
எனவே செங்குத்தான பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி  பரப்பு காண நமக்குக் கிடைப்பது

A = 2 \(\int ^{a}_{0} y dx = 2 \int ^{a}_{0} 2\sqrt {a} \sqrt{ x} dx \) =  \(4\sqrt {a} [\frac {2}{3} x ^ {\frac {3}{2}}]^{a}_{0}\)
 = 4 \(\sqrt{a} \times \frac {2}{3} a^{\frac {3}{2}} = \frac {8a^2}{3}\) .

X என்பது வெல்லும் தொகை என்க. சாத்தியமான தேர்வுகளாவன (i) இரு பந்துகளுமே கருப்பு, அல்லது (ii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு (iii) இரண்டுமே வெள்ளை . எனவே X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்) = ரூ. 2(20) = ரூ .40
X (ஒரு கருப்பு பந்து மற்றும் ஒரு வெள்ளைப் பந்து) = ரூ . 20 − ரூ .10 = ரூ .10
X (இரண்டுமே வெள்ளைப் பந்துகள்) = ரூ. (-20) = - ரூ 20
எனவே X கொள்ளும் மதிப்புகள் 40,10 மற்றும் −20 ஆகும்.
மொத்த பந்துகள் n = 12
2 பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க மொத்த வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix} \right )=\frac{12\times11}{1\times2}=66\)
2 கருப்பு பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right )=6\)
ஒரு கருப்பு பந்து மற்றும் ஒரு வெள்ளை பந்து தேர்ந்தெடுக்க = \(\left( \begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} \right )\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right )=32\)
 2 வெள்ளை பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right )=28\)

நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

சராசரி : \(E(X) = \sum{xf(x)}=40.(\frac{6}{66})+10.(\frac{32}{66})+(-20).(\frac{28}{66})=0\)
அதாவது எதிர்பார்க்கப்படும் வெல்லும் தொகை 0 .
பரவற்படி : \(E(X^2)=\sum{x^2f(x)=40^2.(\frac{6}{66})+10^2.(\frac{32}{66})+({-20^2}).(\frac{28}{66})}=\frac{4000}{11}\)
(E(X))² = 0² = 0
இதன்படி \(V(X) = E(X^2)-(E(X))^2=\frac{4000}{11}-0=\frac{4000}{11}\)
எனவே \(E(X)=0\) மற்றும் \(Var(X)=\frac{4000}{11}\)

இப்பொழுது நாம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்போம். சமப்படுத்த x² = (x - 3)² ⇒ x = 3/2  எனப்பெறலாம். எனவே , வெட்டும் புள்ளி (3/2,9/4) ஆகும். θ என்பது இவ்விரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் என்க . வெட்டும் புள்ளியிடத்து வளைவரையின் சாய்வுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன :

y = x² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2x\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}=3\).
y=(x-3)² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2(x-3)\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}= -3\)
(3)-லிருந்து,
\(\tan \theta=|\frac{3-(-3)}{1-9}|=\frac{3}{4}\) ஆகும்.
ஆகவே , \(\theta\) = \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\).

(i) கூறுவெளி
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}×{1,2, 3, 4, 5, 6}, 36 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடிகள் (α, β)-இல்
உள்ளன. இங்கு α மற்றும் β ஆகியவை 1 முதல் 6 வரை படத்திலிருப்பது போல்  எந்தவொரு முழு எண் மதிப்பையும் பெறும். ஒவ்வொரு புள்ளி (α, β) என்பதற்கும் X என்பது பகடையின் மேலுள்ள எண்களின் கூடுதல் என ஒதுக்கீடு செய்யப்படுகிறது. அதாவது X (α, β) = α + β ஆகும்.
\(S\quad =\quad \begin{Bmatrix} \begin{matrix} (1,1) & (1,2) & (1,3), \\ (2,1) & (2,2) & (2,3), \\ (3,1) & (3,2) & (3,3), \end{matrix} & \begin{matrix} (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,4) & (3,5) & (3,6) \end{matrix} \\ \begin{matrix} (4,1) & (4,2) & (4,3), \\ (5,1) & (5,2) & (5,3), \\ (6,1) & (6,2) & (6,3), \end{matrix} & \begin{matrix} (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,4) & (6,5) & (6,6) \end{matrix} \end{Bmatrix}\)
எனவே
X(1,1) = 1 + 1 = 2
X(1,2) = X(2,1)  = 3
X(1,3) = X(2,2) = X(3,1) = 4
X(1,4) = X(2,3) = X(3,2) = X(4,1) = 5
X(1,5) = X(2,4) = X(3,3) = X(4,2) = X(5,1) = 6
X(1,6) = X(2,5) = X(3,4) = X(4,3) = X(5,2) = X(6,1)  = 7
X(2,6) = X(3,5) = X(4,4) = X(5,3) = X(6,2)  = 8
X(3,6) = X(4,5) = X(5,4) = X(6,3)  = 9
X(4,6) = X(5,5) = X(6,4) = 10
X(5,6) = X(6,5) = 11
X(6,6) = 12.
(ii) எனவே X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறுகிறது.
(iii) 10-இன் நேர்மாறு பிம்பம் {(4, 6),(5, 5),(6, 4)} ஆகும்.
(iv) நேர்மாறு பிம்பங்களில் எண்ணிக்கை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

கொடுக்கப்பட்ட \(\bar { OA } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \), \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \)

∴ \(\bar { AB } =\bar { OB } -\bar { OA } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\bar { BC } =\bar { OC } -\bar { OB } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =\vec { 0 } \)
மேலும் \(\vec { BC } .\vec { CA } =(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )\)
= -2 - 3 + 5 = 0
\(\Rightarrow \vec { BC } \pm \vec { CA } \)
எனவே, ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்.
\(cosA=\frac { \vec { AB } .\vec { AC } }{ \left| \vec { AB } \right| \left| \vec { AC } \right| } =\frac { (-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 1+9+25 } } \)
\(=\frac { 35 }{ \sqrt { 41 } .\sqrt { 35 } } =\sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } =A={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } \right) \)
\(cosB=\frac { \vec { BA } .\vec { BC } }{ \left| \vec { BA } \right| \left| \vec { BC } \right| } =\frac { (\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } ).(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 4+1+1 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 9 }{ 41 } } \Rightarrow N={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \right) \)

sin^-1 x ன் சார்பகம் [-1, 1]
∴ f (x) = sin^-1 (2x - 3) ஒவ்வொரு x க்கும் வரையறுக்கப்பட்டது.
-1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ 3 - 1 ≤ 2x ≤ 1 + 3
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [1, 2]
∴ f (x) = sin^-1 (2x - 3) ன் சார்பகம் [1, 2] 

LHS = (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵)
= (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵) [∵  ω⁴ = ω³ . ω¹ = ω]
= (1 + ω + 5ω²) (1 + ω² + 5ω) (5 + ω + ω²)
= (-ω² + 5ω²) (-ω + 5ω) (5 - 1)
= (4ω²) (4ω)(4) = 64(1) = 64 [∵ ω³ = 1]
= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

தேவையான எண்களை x,y மற்றும் z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின் படி,
x+y+z=20     .....(1)
2z+x=23⇒x+2z=23  ....(2)
y+z+3x=46⇒3x+y+z=46   ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\)
=-2+5+1=4
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 20 & 1 & 1 \\ 23 & 0 & 2 \\ 46 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =20\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 23 & 2 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 23 & 0 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}\)
=-40+69+23=52
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 20 & 1 \\ 1 & 23 & 2 \\ 3 & 46 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=1\begin{vmatrix} 23 & 2 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}-20\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 23 \\ 3 & 46 \end{vmatrix}\)
=-69+100-23=8
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & 0 & 23 \\ 3 & 1 & 46 \end{matrix} \right| \)
\(=1\begin{vmatrix} 0 & 23 \\ 1 & 46 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 23 \\ 3 & 46 \end{vmatrix}+20\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\)
=-23+23+20=20
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 52 }{ 4 } =13\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 8 }{ 4 } =2\) மற்றும் \(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 20 }{ 4 } =5\)

y² - 4y - 8x + 12 = 0
y²-4y = 8x-12
இருபுறமும் 4ஐ கூட்ட கிடைப்பது
y - 4y + 4 = 8x - 12 + 4 = 8x - 8
⇒ (y - 2)² = 8(x - 1)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (1, 2) ⇒ h = 1, k = 2
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
⇒ (1 + 2, 0 + 2)
⇒ (3, 2)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h - a
⇒ x = 1-2
⇒ x = -1
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

முனை (1, 2)
குவியம் (3, 2)
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -1
செவ்வகலத்தின் நீளம் = 8

\(z={ (-1) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\) என்க.
\(z={ (cos\pi +isin\pi ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
[∵ cosπ = -1 மற்றும் sin π = 0]
\(\Rightarrow z=cos\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )+isin\frac { 1 }{ 4 } (2k\pi +\pi )\)
k = 0, 1, 2, 3
k = 0 எனில்
\(z=cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i)\)
k = 1 எனில்
\(z=cos\frac { 3\pi }{ 4 } +isin\frac { 3\pi }{ 4 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) II -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது cos θ குறை மற்றும் sin θ மிகை]
\(=-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i)\)
k = 2 எனில்
\(z=cos5\frac { \pi }{ 4 } +isin5\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= -\(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) III - கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மற்றும் sin θ குறை]
= - \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i)\)
k = 3 எனில்
\(z=cos7\frac { \pi }{ 4 } +isin7\frac { \pi }{ 4 } \)
\(=cos\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) -isin2\left( \pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \(cos\frac { \pi }{ 4 } -isin\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵\(\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \) IV  -ம் கால்பகுதியில் அமைகிறது இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை]
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
எனவே நான்கு மூலங்கள்
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1+i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (-1-i),\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1-i)\)
∵ மூலங்கள் \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } (1\pm i)\)

(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = -4 (4, 0) குவியம் மற்றும் இயக்குநரை இயக்குவரை x = -4, ஆதலால் பரவளையத்தின் வடிவம் y² = 4ax

மேலும் a = 4
\(\therefore\) பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x
(ii) பரவளையம் (2, -3) வழி செல்கிறது மற்றும் சமச்சீர் அச்சு y-அச்சு ஆகும்.

பரவளையம் (2, -3) வழிச் செல்வதன் காரணமாக அது கீழ்நோக்கி திறப்புடையது.
\(\therefore\)  அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
(2,-3) என்ற புள்ளியை பிரதியிட கிடைப்பது
2²= -4z(-3)
\(\Rightarrow\) 4 = -12a

(1)  லிருந்து 
\(\therefore { x }^{ 2 }=-4\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) y\)
\(\Rightarrow\) 3x² = -4y
(iii) முனை (1, -2) மற்றும் குவியம் (4, -2) பரவளையம் வலது புறம் திறப்புடையது.

a =(1, -2) மற்றும் (4, 2) க்கு இடைப்பட்ட தூரம்
\(a=\sqrt { \left( 1-4 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow a=\sqrt { \left( -3 \right) ^{ 2 }+\left( -2+2 \right) ^{ 2 } } \)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு 
(y-k)² = 4a(x-h)
(y+2)² = 4(3)(x-1)
[\(\therefore\) (h, k)(1, -2)]
\(\therefore\) (y+2)² = 12(x-1)
(iv) செவ்வகலத்தின் முனை புள்ளிகள் (4, -8) மற்றும் (4, 8)
குவியம்(4, -8) மற்றும் (4, 8)ன் மையப்புள்ளி 

\(\therefore\) குவியம் = \(\left( \cfrac { 4+4 }{ 2 } ,\cfrac { -8+8 }{ 2 } \right) =(4,0)\)
\(\therefore\) a = 4 மற்றும் உச்சிப்புள்ளி (0, 0)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
\(\therefore\) y² = 4(4)x
\(\therefore\) y² = 16x

கொடுக்கப்பட்ட p=7
\(=\cfrac { 3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } }{ \sqrt { { 3 }^{ 1 }+\left( -4 \right) +{ 5 }^{ 2 } } } =\cfrac { 3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } }{ \sqrt { 9+16+25 } } \) 
= \(\cfrac { 3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } }{ \sqrt { 50 } } =\cfrac { 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } }{ 5\sqrt { 2 } } \) 
[\(\because\) 3,-4,5 திசை விகிதங்கள் ஆதிபுள்ளியிலிருந்து தளத்திற்கு உள்ள தூரம் P மற்றும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான ஓரலகு வெக்டர்  \(\hat { d } \) எனில் தளத்திற்கு சமன்பாடு.
\(\vec { r } .\hat { d } =p\) 
தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 
\(r.\left( \cfrac { 3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } }{ 5\sqrt { 2 } } \right) =7\) 

இங்கு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு u சமபடித்தானது அல்ல. எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் சார்பு u -க்கு பயன்படுத்த முடியாது. இருப்பினும் f (x,y) = \(\left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) \)=sin u என்பது சமபடித்தானது. ஏனெனில்
f(tx,ty) = \(\frac { tx+ty }{ \sqrt { tx } +\sqrt { ty } } \) = t^1/2 f(x,y), \(\forall \) x,y,t\(\ge \)0
இங்கு f படி \(\frac { 1 }{ 2 } \) உடைய சமபடித்தான சார்பாகும். எனவே, ஆய்லரின் தேற்றப்படி
\(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } f(x,y)\).
தற்போது f = sin u எனப் பிரதியிட,
\(x\frac { \partial (sinu) }{ \partial x } +y\frac { \partial (sinu) }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)
\(x\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } +y\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)  
இருபுறமும் cos u ஆல் வகுக்க
\(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan\ u\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சமபடித்தான சமன்பாடாகும் என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3y }{ 2x } -\frac { x }{ 2y } \) என எழுதலாம்.
y = vx எனில், v + x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { 3v }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2v } \) அல்லது x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { { v }^{ 2 }-1 }{ 2v } \).
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத \(\frac { 2vdv }{ { v }^{ 2 }-1 } =\frac { dx }{ x } \) எனப் பெறுகிறோம்.
இருபுறமும் தொகையிட log, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| ,\)
எனவே, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =\left| Cx \right| \) இங்கு C என்பது எதேச்சை மாறிலி v க்குப் பதிலாக \(\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைப்பது
\(\left| \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -1 \right| =\left| Cx \right| .\) 
எனவே, \(\left| { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right| =\left| C{ x }^{ 3 } \right| \)
ஆகவே, \({ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }=\pm C{ x }^{ 3 }\) (அல்லது) y² - x² = kx³
இதுவே கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (1 + x³)dy - x³ ydx = 0.
இச்சமன்பாட்டை \(\frac { d }{ y } -\frac { { x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } dx=0\) என எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது log y  \(-\frac { 1 }{ 3 } log(1+{ x }^{ 3 })={ c }_{ 1 }\)
⇒ 3 log y - log (1 + x³) = log C.
3 log y = log (1 + x³) + log C,
அதாவது, log y³ = logC(1 + x³).
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு y³ = C(1 + x³).
x = 1 y = 2 , எனும்போது, 2³ = C(1 + 1) ⇒ C = 4
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு y³ = 4(1 + x³).

f , g : (a,b)→R என்பன வகையிடத்தக்க சார்புகள் என்பதுடன் h(x) = f (x)g(x) என்க. h என்பது வகையிடத்தக்க சார்புகளின் பெருக்கல் என்பதால் (a,b)இல் h -ம் வகையிடத்தக்கது. எனவே வரையறைப்படி dh = h'(x)dx .
தற்போது பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி h'(x) = f (x)g'(x) + f '(x)g(x) .
இதனால் dh = h'(x)dx = ( f (x)g'(x) + f '(x)g(x))dx = f (x)g'(x)dx + f '(x)g(x)dx
= f (x)dg + g(x)df = fdg + gdf

மேற்பரப்பானது 16\(\pi \) செ.மீ² குறைகிறது 6.1%

P(x) = \(x^{4}-6x^{3}-11x^{2}+24x+28\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு \(\alpha\) = 2, \(\beta\) = 7 எனக்கொண்டு
எடுத்துக்காட்டு -ன் முடிவைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, \(\frac{P'(x)}{2}=2x^{3}-9x^{2}-11x+12=Qx\), (என்க).
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என நிறுவலாம்.
சரிபார்த்தல் ,
Q(2) = 16 - 36 - 22 + 12 = 28 - 58 = -30 < 0
Q(7) = 686 - 441 - 77 +12 = 698 - 518 = 180 > 0
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } =0\)
\(\vec { a } +\vec { b } =-\vec { c } \)
\(\vec { a } \) வைக் கொண்டு இருபுறமும் வெக்டர் பெருக்கல் எடுக்க கிடைப்பது.
\(\vec { a } \times (\vec { b } +\vec { c } )=-(\vec { a } \times \vec { b } )\)
\(\vec { a } \times \vec { a } +\vec { a } \times \vec { b } =\vec { c } \times \vec { a } \)
\([\because (-\vec { a } \times \vec { c } )=\vec { c } \times \vec { a } ]\)
⇒ \(\vec { a } \times \vec { b } =\vec { c } \times \vec { a } \)\((\because \vec { a } \times \vec { a } =\vec { 0 } )\) ...(2)
\(\vec { b } \) மையக் கொண்டு இருபுறமும் வெக்டர் பெருக்கல் எடுக்க கிடைப்பது.
\(\vec { b } \times (\vec { a } \times \vec { c } )=\vec { b } \times (-\vec { c } )\)
\(\vec { b } \times \vec { a } +\vec { b } \times \vec { b } =-\vec { b } \times \vec { c } -\vec { a } \times \vec { b } =-\vec { a } \times \vec { b } =-\vec { b } \times \vec { c } \)
\(\vec { a } \times \vec { b } =\vec { b } \times \vec { c } \)  ...(3)
(2) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது
\(\vec { a } \times \vec { b } =\vec { b } \times \vec { c } =\vec { c } \times \vec { a } \)

\(\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2a }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) \right] \)
a=tan\(\theta\) என்க.
இனி \(\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2a }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) \right] =\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 2\tan\theta }{ 1+{ \tan }^{ 2 }\theta } \right) +\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ \tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ \tan }^{ 2 }\theta } \right) \right] \)
\(=\tan\left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sin }^{ -1 }(\sin2\theta )+\frac { 1 }{ 2 } { \cos }^{ 1 }(\cos 2\theta ) \right] =\tan[2\theta ]=\frac { 2\tan\theta }{ 1-{ \tan }^{ 2 }\theta } =\frac { 2a }{ 1-{ a }^{ 2 } } \)

i) (x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
⇒ l(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) (x_n + iy_n)| = |a + ib|
⇒ lx₁ + iy₁| |x₂ + iy₂| ... |x_n + iy_n| = |a + ib|
\(\Rightarrow \sqrt { { { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } } \sqrt { { { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 2 } }^{ 2 } } ...\sqrt { { { x }_{ n } }^{ 2 }+{ { y }_{ n } }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
ii) (x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n) = a + ib
arg ((x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg (x₁+ iy₁) + arg (x₂ + iy₂) + ...  + arg (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
(∵ arg (z₁z₂...z₃) = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +...+{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ n } }{ { x }_{ n } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { b } }{ a } \right) +2k\pi \)
\(\Rightarrow \sum _{ r=1 }^{ n }{ tan\left( \frac { { y }_{ r } }{ { x }_{ r } } \right) } ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { b }{ a } \right) +2k\pi, k\epsilon Z\)