LHS = tan^-1 \(\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) ,x\epsilon [0,1]\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( 2{ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { x } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ \left( \sqrt { x } \right) }^{ 2 } }{ 1+{ \left( \sqrt { x } \right) }^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because 2{ tan }^{ -1 }x=cos\left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) \)
RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\({ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) \)
sec^-1 x-ன் முதன்மை வீச்சான [0, \(\pi \)] \{\(\frac{\pi}{2}\)}, ல் \(\frac{5\pi}{3}\) இல்லை என்பதை கவனிக்கவும்.
எனவே \(\frac { 5\pi }{ 3 } =2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \) என எழுதுவோம். இனி, sec\(\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) =\sec\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right)\) மற்றும் \(\frac { \pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\{\(\frac{\pi}{2}\)}.
எனவே, sec^-1\(\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) ={ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \right) \)
நமக்கு தெரியும் sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1,1]
\(\Rightarrow -1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\)
கருதுக \(-1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \)
\(\Rightarrow 0\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } +1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1+2x }{ 2x } \ge 0\)
\(\Rightarrow \frac { { (x+1) }^{ 2 } }{ 2x } \ge 0\) ⇒ x = -1 மற்றும் x < 0    .....(1)
கருதுக \(\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } -1\le 0\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1+2x }{ 2x } \le 0\Rightarrow \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ 2x } \le 0\)
x = 1 மற்றும் x ≥ 0
(1) மற்றும் (2) லிருந்து சார்பகம் = {-1,1}

L.H.S = tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 13 } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left( \frac { 1 }{ 13 } \right) } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 13+7 }{ 91 } }{ \frac { 91-1 }{ 91 } } \right) \)


எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

எனவே \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right)\)என அறிவோம் 
ஆகையால், \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 7 } }{ 1-\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 31 }{ 17 } \right) \)

cos x = -1
cos x = cos π
x = 2nπ + π, n ∈ Z 
[∵ cos θ = cos ∝ ⇒ θ = 2nπ + ∝, n ∈ Z]
= (2n + 1)π, n ∈ Z
⇒ ஆனால் -5π ≤ x ≤ 5π
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3 என பிரதியிட கிடைப்பது
⇒ x = -5π, -3π, -π, π, 3π, 5π
x = (2n + 1) π,
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

(i) tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1\(\frac{x+y}{1-xy}\), xy<1 என அறிவோம் 
ஆகையால், tan^-1\(\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}={ \tan }^{ -1 }\frac { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) } ={ \tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
(ii) 2tan^-1 x+tan^-1 \(\frac{2x}{1-x^ 2}\), -1 < x<1 என அறிவோம் 
எனவே \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right)\) என அறிவோம் 
ஆகையால், \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 7 } }{ 1-\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 31 }{ 17 } \right) \)

\(2{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = x மற்றும் sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y என்க.
⇒ cos x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ cos x = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ [0, π]]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ முதன்மை சார்பகம் சைனுக்கு \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) மற்றும் கொசைனுக்கு முதன்மை சார்பகம் [0, π]]
sin y = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
sin y = sin \(\frac { \pi }{ 6 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \) மற்றும் y = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ 2 cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= 2 \(\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \) + \(\\ \frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) + \(\frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 4\pi +\pi }{ 6 } \) = \(\frac { 5\pi }{ 6 } \)

\( \sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} =2 \tan ^{-1} x \\ \therefore 2 \tan ^{-1} x-2 \tan ^{-1} x =0 \)

\( \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}    \therefore x=y=z=1 \\  \left(\because \sin ^{-1}(1)\right.\left.=\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\right) \\   x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \\  =1+1+1-\frac{9}{1+1+1} \\  =3-\frac{9}{3}=3-3=0  \)

(1) cot (cot^-1 (+600)) = - 600
குறிப்பு: x ∈ R எனில் cot (cot^-1 x) = x என்ற பண்பை 2, 3, 4 பின்பற்றுகிறது.

(3) cos^-1 (cos 3π) = 3π
குறிப்பு: (3) என்பது மெய் அல்ல 

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]