cos (tan^-1x) = \(sin\left( { cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow sin\left( { tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } \right) =sin\left( { sin }^{ -1 }\frac { 4 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right] \)
\(\Rightarrow sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\Rightarrow cos\left( { tan }^{ -1 }x \right) =cos\left(- { tan }^{ -1 }x \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\left[ \because cosx=cos(-x) \right] \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }x={- tan }^{ -1 }x={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \)
\(\Rightarrow \tan ^{-1} x=-\tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{3}{4}\)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }x={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ;{ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-\frac { 16 }{ 25 } }{ \frac { 4 }{ 5 } } } \right] \)
\(\Rightarrow x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 4 } \) 

\({ tan }^{ -1 }\sqrt { x(x+1) } +{ sin }^{ -1 }\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } =\frac { \pi }{ 2 } \)
This equation holds if
\({ x }^{ 2 }+x\ge 0\) and \({ x }^{ 2 }+x+1\le 1\)
Now, \({ x }^{ 2 }+x\le 0\) and \(0\le { x }^{ 2 }+x+1\le 1\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+x\ge 0\quad { x }^{ 2 }+x+1\le 1\) [\( \because { x }^{ 2 }+x+1\ge 0 \) for all x]
\( \Rightarrow x^{2}+x \geq 0 \text { and } x^{2}+x \leq 0 \)
\( \Rightarrow x^{2}+x=0 \Rightarrow x=0,-1 \)
Hence, x = 0, -1 are the solutions of the given equation.

\(cos\left[ { cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
= \(cos\left[ \pi -{ cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\left( -x \right) =\pi -{ cos }^{ -1 }x \right] \)
= \(cos\left[ \pi -\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =x\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =cosx\Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \(cos\pi -1\)

LHS = \({ tan }^{ -1 }\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 } .2{ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { x } \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } .\left( 2{ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { x } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 1-\left( \sqrt { x } \right) ^{ 2 } }{ 1+\left( \sqrt { x } \right) ^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because {2 tan }^{ -1 }x={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) \)
= RHS
Hence proved .

Given  \(sin\left( { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x \right) =1=sin\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\left[ \because sin\frac { \pi }{ 2 } =1 \right] \)
\(\Rightarrow { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \)
\(\Rightarrow { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 2 } \)
\({ sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } =\frac { \pi }{ 2 } -{ cos }^{ -1 }x{ sin }^{ -1 }x\)
\(\left[ \because { sin }^{ -1 }x+{ cos }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 5 } \)

\({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because { co }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( x \right) \right] \)
\(\Rightarrow 2{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } =tan\left( \cfrac { \pi }{ 6 } \right) =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\Rightarrow 2\sqrt { 3x } =1-{ x }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+2\sqrt { 3x } -1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 12-4(1)(-1) } }{ 2 } \) \(\left[\because x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right]\)
\(\Rightarrow x=\cfrac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 16 } }{ 2 } \Rightarrow x=\cfrac { -2\sqrt { 3 } \pm 4 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\left( \frac { -\sqrt { 3 } \pm 2 }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow x=-\sqrt { 3 } \pm 2\)
\(\Rightarrow x=-2-\sqrt { 3 } \text { or} -2-\sqrt { 3 } \)
Since \(x>0,x=-2-\sqrt { 3 } \) is not possible
\(\therefore x=2-\sqrt { 3 } \)

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { m }{ n } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { m-n }{ m+n } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \cfrac { \frac { m }{ n } -\frac { m-n }{ m+n } }{ 1+\frac { m }{ n } \left( \frac { m-n }{ m+n } \right) } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \cfrac { \frac { m(m+n)-n(m-n) }{ m(m+n) } }{ \frac { n(m+n)+m(m-n) }{ n(m+n) } } \right) \)

= \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }{ { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } \right) ={ tan }^{ -1 }(1)\)
= \(\frac { \pi }{ 4 } =RHS\)
Hence proved.

Let \({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\)

\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
Let \({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \)

\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B-sin A sin B
= \(\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } \)
= \(\frac { 33 }{ 65 } \)

Let \({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore tan\theta =\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
LHS = \({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x+tan^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \right] \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \cfrac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \cfrac { \frac { 15+12 }{ 20 } }{ \frac { 20-9 }{ 20 } } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 20 } \times \frac { 20 }{ 11 } \right) \)
=  \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) =RHS\)
Hence proved

\({ tan }^{ -1 }\left( { \frac { x-1 }{ x-2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \cfrac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)

\(\Rightarrow \frac { 2{ x }^{ 2 }-4 }{ { x }^{ 2 }-4-{ x }^{ 2 }+1 } =1\)
\(\Rightarrow\) 2x²- 4 = -3
\(\Rightarrow \) 2x²- 4 = -3
\(\Rightarrow\) 2x² = -3 + 4 = 1
\(\Rightarrow\) \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow\) \(x=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)