cos (tan^-1 x) = sin \(\left( { cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow sin\left( { tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } \right) =sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } \right) \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right] \)
\(\Rightarrow sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ cos (tan^-1 x) = cos (-tan^-1 x) = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
[ ∵ cos x = cos (-x)]
⇒ tan^-1 x = -tan^-1 x = cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \)
⇒ tan^-1 x = - tan^-1 x = tan^-1 \(\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }x={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ;{ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-\frac { 16 }{ 25 } }{ \frac { 4 }{ 5 } } } \right] \)
\(x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 4 } \)

\({ tan }^{ -1 }\sqrt { x(x+1) } +{ sin }^{ -1 }\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } =\frac { \pi }{ 2 } \)
சமன்பாடு சாத்தியப்பட வேண்டுமெனில் x² + x ≥ 0 மற்றும் x² + x + 1 ≤ 1
இங்கு x² + x ≥ 0 மற்றும் 0  ≤ x² + x + 1 ≤ 1
⇒ x² + x ≥ 0 மற்றும் x² + x + 1 ≤ 1
[∵ x² + x + 1 > 0 ஒவ்வொரு x க்கும்]
⇒ x² + x ≥ 0 மற்றும் x² + x ≤ 0
⇒ x² + x = 0 ⇒ x = 0, -1
எனவே, x = 0, -1 என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாகும்.

cos \(\left[ { cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
= \(cos\left[ \pi -{ cos }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
[∵ cos^-1 (-x) = π - cos^-1 x]
\(=cos\left[ \pi -\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =x\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =cosx\Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= cos π = -1

LHS = tan^-1 \(\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) ,x\epsilon [0,1]\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( 2{ tan }^{ -1 }\left( \sqrt { x } \right) \right) =\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ \left( \sqrt { x } \right) }^{ 2 } }{ 1+{ \left( \sqrt { x } \right) }^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because 2{ tan }^{ -1 }x=cos\left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) \)
RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட sin \(\left( { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x \right) =1\) = sin \(\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\left[ \because sin\frac { \pi }{ 2 } =1 \right] \)
\(\Rightarrow { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \)
\(\Rightarrow { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } +{ cos }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { sin }^{ -1 }\frac { 1 }{ 5 } =\frac { \pi }{ 2 } -{ cos }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }x\)
\(\left[ \because { sin }^{ -1 }x+{ cos }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 5 } \)

\({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) +{ cot }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 2x } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because { cot }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ={ tan }^{ -1 }(x) \right] \)
\(\Rightarrow 2{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } =tan\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\Rightarrow 2\sqrt { 3 } x=1-{ x }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+2\sqrt { 3 } x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 12-4(1)(-1) } }{ 2 } \)
\(\left[ \because x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right] \)
\(\Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 16 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm 4 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\left( \frac { -\sqrt { 3 } \pm 2 }{ 2 } \right) \Rightarrow x=-\sqrt { 3 } \pm 2\)
\(\Rightarrow x=2-\sqrt { 3 } or-2-\sqrt { 3 } \)
x > 0 ஆதலால், \(x=-2-\sqrt { 3 } \) சாத்தியமில்லை.
\(\therefore x=2-\sqrt { 3 } \) 

tan^-1 \(\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)


\(\Rightarrow \frac { { 2x }^{ 2 }-4 }{ { x }^{ 2 }-4-{ x }^{ 2 }+{ 1 } } =1\)
⇒ 2x² - 4 = -3
⇒ 2x² = -3 + 4 = 1
⇒ \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(x=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

L.H.S = tan^-1 \(\left( \frac { m }{ n } \right) \) - tan^-1 \(\left( \frac { m-n }{ m+n } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { m }{ n } -\frac { m-n }{ m+n } }{ 1+\frac { m }{ n } .\left( \frac { m-n }{ m+n } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { m(m+n)-n(m-n) }{ m(m+n) } }{ \frac { n(m+n)+m(m-n) }{ n(m+n) } } \right) \)

\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }{ { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } \right) ={ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\) என்க.
\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \) என்க.
\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B  - sin A sin B
\(=\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க. 
\(\therefore tan\theta =\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(LHS={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x+{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \right] \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 15+12 }{ 20 } }{ \frac { 20-9 }{ 20 } } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 20 } \times \frac { 20 }{ 11 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)