\({ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) \)
sec^-1 x-ன் முதன்மை வீச்சான [0, \(\pi \)] \{\(\frac{\pi}{2}\)}, ல் \(\frac{5\pi}{3}\) இல்லை என்பதை கவனிக்கவும்.
எனவே \(\frac { 5\pi }{ 3 } =2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \) என எழுதுவோம். இனி, sec\(\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) =\sec\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right)\) மற்றும் \(\frac { \pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\{\(\frac{\pi}{2}\)}.
எனவே, sec^-1\(\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) ={ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)

 sin^-1\(\left( \sin\frac { 5\pi }{ 9 } \cos\frac { \pi }{ 9 } +\cos\frac { 5\pi }{ 9 } \sin\frac { \pi }{ 9 } \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 5\pi }{ 9 } +\frac { \pi }{ 9 } \right) \right) \)
(∵ sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B))
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 6\pi }{ 9 } \right) \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
\(\left[ \because \frac { 2\pi }{ 3 } \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \right] \)
= sin^-1 \(\left( \sin\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
(∵ sin (π - θ) = sin θ)
= \(\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because \frac { \pi }{ 3 } \epsilon \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \right] \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 1 }{ 2 } \) என்க.
\(\Rightarrow sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \right) =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
\(\therefore sin\left( \frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =sin\left( \frac { 1 }{ 2 } \theta \right) \)
\(=sin\frac { \theta }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 1-\frac { 4 }{ 5 } }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 5-4 }{ 5(2) } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 10 } } \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =cos\theta \) என்க.
∴ \(\therefore sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \frac { 25-9 }{ 25 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 16 }{ 25 } } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)

cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) = y என்க. இங்கு 0 ≤ y ≤ π
இனி cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) = y ⇒ cos y = \(\frac { -1 }{ 2 } \)
⇒ cos y = -cos \(\frac { \pi }{ 3 } \) = cos \(\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =cos\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
⇒ y = \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because \frac { 2\pi }{ 3 } \epsilon [0,\pi ] \right] \)
∴ முதன்மை மதிப்பு cos^-1 \(\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \) என்பது \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)  

sin^-1 (-1) = y என்க. இங்கு \(\frac { -\pi }{ 2 } <y<\frac { \pi }{ 2 } \) 
இனி sin^-1 (-1) = y ⇒ sin y = -1
-1 = sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \) ⇒ y = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)
\(\left[ \because \frac { -\pi }{ 2 } \epsilon \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
முதன்மை மதிப்பு sin^-1 (-1) = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)

tan^-1 \(\left( \frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) = y இங்கு \(\frac { -\pi }{ 2 } <y<\frac { \pi }{ 2 } \) என்க.
⇒ tan y = \(\frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } =-tan\frac { \pi }{ 6 } =tan\left( \frac { -\pi }{ 6 } \right) \)
\(y=\frac { -\pi }{ 6 } \)
\(\left[ \because \frac { -\pi }{ 6 } \epsilon \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
முதன்மை மதிப்பு tan^-1 \(\left( \frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) = 6 

\({ \tan }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { 5\pi }{ 2 } \right) \right) \)
tan^-1 \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = x என்க.
⇒ tan^-1 (-1) = x
⇒ -1 = tan x
⇒ tan x = -1 = -tan \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ tan x = tan \(\left( \frac { -\pi }{ 4 } \right) \)
⇒ x = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(-\frac { \pi }{ 4 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ tan \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)

cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \)  = θ என்க.
⇒ \(\sqrt { 3 } \) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
⇒ tan θ = tan \(\frac { \pi }{ 6 } \) ⇒ θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \)   [∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) = \(\frac { \pi }{ 6 } \)

y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

sin^-1 x = \(\theta \) என்க.
எனவே, x = sin \(\theta \) மற்றும் x \(\neq \) 0 \(\theta \in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,0 \right] \cup \left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) எனக் கிடைக்க பெறுகிறது.
\(\cos\theta \ge 0\) மற்றும் \(\cos\theta =\sqrt { 1-{ \sin }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \)
எனவே, \(\cot({ sin }^{ -1 }x)=\cot\theta =\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ,|x|\le 1\) மற்றும் x \(\neq \) 0

tan^-1 \(\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) =\frac { 1 }{ 2 } { \tan }^{ -1 }\) x என்பதிலிருந்து tan^-1 1-tan^-1 x = \(\frac{1}{2}\) tan^-1 x
எனவே, \(\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2} \tan^{-1}\) x, என்பதையே சுருக்கி tan⁻¹x = \(\frac{\pi}{6}\) எனப் பெறுகிறோம். 
எனவே, x = tan \(\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}\)

\({ \sec }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) \) = θ என்க.
⇒ \(\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \) = sec θ ⇒ cos θ = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
⇒ cos θ = cos \(\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \)
⇒ θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∊ [0, π] \ \(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)]
∴ sec^-1 \(\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)

\(f(x)=cos^{-1}\left [ cos\left ( -\frac{\pi}{6} \right ) \right ]\) என்க.
நாம் அறிந்தது, \(x\in [0,\pi ]\)  எனும்போது மட்டுமே cos^-1(cos x) = x.
\(\frac{-\pi}{6}\notin [0,\pi]\) என்பதால், cos^-1(cos x) = x என்றிருக்காது.
\(\therefore cos^{-1}\left ( cos\left ( \frac{-\pi}{6} \right ) \right )=cos^{-1}\left ( cos\frac{\pi }{6} \right )\)
\(=\frac{\pi }{6}\neq \frac{-\pi}{6}\)   \(\left [ \because \frac{\pi}{6}\in [0,\pi ] \right ]\)