கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { { y }^{ 2 } }{ xy{ -x }^{ 2 } } \) என எழுதலாம்.
இச்சமன்பாடு சமபடித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
y = vx எனப்பிரதியிட, x\(\frac { dy }{ dx } =\frac { v }{ v-1 } \)
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத, \(\frac { v-1 }{ v } dv=\frac { dx }{ x } \).
இருபக்கமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது \(v-log\left| v \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| \) அல்லது \(v-log\left| vxC \right| \)
\(v=\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட, \(\frac { y }{ x } =log\left| Cy \right| \) அல்லது \(\left| Cy \right| ={ e }^{ y/x }or\quad y=k{ e }^{ y/x }\) (எப்படி!)
இது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு y = a cos(log x) + bsin (log x) ...(1)
இங்கு a, b என்பன ஏதேனும் இரண்டு மாறிலிகள். இவ்விரு மாறிலிகளையும் நீக்க கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் தொடர் வகைக்கெழுக்களை இருமுறை காணவேண்டும்.
சமன்பாடு (1)-ன் இருபக்கமும் x ஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண நாம் பெறுவது,
y' = asin (log x) .\(\frac { 1 }{ x } \) + bcos (logx). \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ xy' = -asin (log x) + bcos (log x).
இச்சமன்பாட்டினை மீண்டும் xஐப் பொருத்து வகையிட,
xy'' + y' = -acos (log x). \(\frac { 1 }{ x } \) - bsin (log x). \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ x²y" + xy^' + y = 0.
எனவே, y = a cos(log x) + bsin (log x) என்பது கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு y = mx +\(\frac { 7 }{ m } \), இங்கு m ஏதேனும் ஒரு, மாறிலியாகும் ...(1)
சமன்பாடு (1)-ன் இருபுறமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண, நாம் பெறுவது y' = m ஆகும்.
y' மற்றும் y -ன் மதிப்புகளைக் கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட
\(xy'+\frac { 7 }{ y' } -y=xm+\frac { 7 }{ m } -mx-\frac { 7 }{ m } =0\) எனப் பெறுகிறோம்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சார்பு xy' + 7 \(\frac { 1 }{ y' } -y=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

\({ x }^{ 2 }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) =\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \) 
\({ x }^{ 4 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 2.
ஃ வரிசை = 2 மற்றும் இதன் அடுக்கு 2. 

\(y\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x }{ \frac { dy }{ dx } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 } } \) 
\(y=\cfrac { dy }{ dx } \left[ \cfrac { dy }{ dx } +\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 } \right] =x\) 
\(y\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+y\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 4 }=x\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { dy }{ dx } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 4.
ஃ வரிசை = 1 மற்றும் படி = 4 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } =\sqrt { 4x+2y-1 } .\)
z = 4x + 2y - 1 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } =4+2\frac { dy }{ dx } =4+2\sqrt { z } \)
எனவே, \(\frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } =dx\).
தொகையிட, \(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =x+C.\)
z = u² எனப்பிரதியிட
\(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =\quad \int { \frac { udu }{ u+2 } } =u-2log\left| u+2 \right| +C,\)
அல்லது \(\sqrt { z } -2log\left| \sqrt { z } +2 \right| =x+C\)
z = 4x + 2y -1 எனப் பிரதியிட, நாம் பெறும் பொதுத் தீர்வு
\(\sqrt { 4x+2y-1 } +2\log\left| \sqrt { 4x+2y-1 } +2 \right| =x+C.\)

y' = sin² (x - y + 1)
z = x - y + 1 என்க. எனவே, \(\frac { dz }{ dx } =1-\frac { dy }{ dx } .\)
ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 1 - \(\frac { dz }{ dx } =\) sin² z என மாறுகிறது.
அதாவது, \(\frac { dz }{ dx } =\) 1 - sin² z = cos² z.
மாறிகளைப் பிரித்து எழுதக்கிடைப்பது \(\frac { dz }{ { cos }^{ 2 }z } \) = dx (அல்லது) sec² zdz = dx.
தொகையிட நாம் பெறுவது tan z = x + C (அல்லது) tan (x - y + 1) = x + C

மக்கள்தொகை அதிகரிக்கும் வீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dp }{ dt } \) மற்றும் இதன் மாறுவீதம் மக்கள் தொகைக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp.\) மேலும் 5,00,000க்கும் மக்கள் தொகைக்கும் உள்ள வேறுபாடு,மக்கள் தொகை ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பு ஆகியவற்றிக்கு நேர்விகிதத்தில் உள்ளதால் \(\frac { dp }{ dt } =kp\) (5,00,000-P )என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) என்க. இதன் மாறுவீதம் \(\frac { dx }{ dt } \) = உள் நுழையும்வீதம் − வெளியேறும் வீதம்.
இப்பொழுது ஒரு லிட்டர் நீரில் 5 கிராம் உப்பு கரைக்கப்பட்டு தொட்டியில் உட்புகுத்தப்படுவதால், 10 லிட்டர் நீரில் 50கிராம் உப்புத் தொட்டியில் உள்ள நீரில் கரைந்திருக்கும். மேலும், தொட்டியில் இருந்து உப்புக்கரைசல் (பிரைன்) ஒரு நிமிடத்திற்கு 10 லிட்டர் வீதம் வெளியேறுகிறது. இது தொட்டியில் உள்ள மொத்த உப்புக் கரைசலின் 10 / 1000 = 0.01 மடங்காகும். ஆகவே, t நேரத்தில் உள்ள உப்பின் அளவு x(t) -ன் 0.01 மடங்காகும். அதாவது 0.01x(t) ஆகும்.
எனவே, இந்த மாதிரியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dx }{ dt } \) = 50 - 0.01x = -0.01(x - 5000)
இச்சமன்பாட்டினை \(\frac { dx }{ x-5000 } =-(0.01)dt\) என எழுதலாம்.
சமன்பாட்டின் இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| x-5000 \right| =-0.01t+logC\)
அல்லது x - 5000 = Ce^-0.01t அல்லது x = 5000 + Ce^-0.01t 
ஆரம்பத்தில், அதாவது t = 0 எனும்போது x = 100
அதாவது 100 = 5000 + C. ஆகையால், C = -4900.
எனவே t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு is x = 5000 - 4900e^-0.01t.

இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -ன் கெழுவை 1ஆக மாற்ற சமன்பாட்டின் இருபுறமும் (1 + x³) ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } +\frac { { 6x }^{ 2 }y }{ 1{ +x }^{ 3 } } =\frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } .\)
இது y-ல் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
இங்கு, \(P=\frac { { 6x }^{ 2 } }{ 1{ +x }^{ 3 } } ;Q=\frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } \) 
\(\int { Pdx } =\int { \frac { { 6x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } } dx=2log\left| { 1+x }^{ 3 } \right| =log{ \left| { 1+x }^{ 3 } \right| }^{ 2 }={ log\left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }\)
தொகையீட்டுக் காரணி \(={ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ { log\left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 } }={ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு \({ ye }^{ \int { Pdx } }={ Qe }^{ \int { Pdx } }dx+C\)
\(y{ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=\int { \frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } } { \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }dx+C=\int { \left( { 1+x }^{ 2 } \right) \left( { 1+x }^{ 3 } \right) dx+C } =\int { (1+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 5 } } )dx+C\)
அல்லது \({ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 6 } }{ 6 } +C\)
மற்றும் \(y=\frac { 1 }{ { \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 } } \left[ x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 6 } }{ 6 } +C \right] .\) இதுவே தேவையான தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு\(\frac { dy }{ dx } +2ycotx=3{ x }^{ 2 }{ cosec }^{ 2 }x.\)
இது நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும். இங்கு P = 2cot x; Q = 3x² cosec²x.
 \(\int { Pdx } =\int { 2cotxdx } =2log\left| sinx \right| =log{ \left| sinx \right| }^{ 2 }=\log \sin^{ 2 }x.\)
தொகையீட்டு காரணி = \({ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ logsin^{ 2 }x }=sin^{ 2 }x.\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு \({ ye }^{ \int { pdx } }=\int { Qe } ^{ \int { pdx } }dx+c\)
\(y \sin^{ 2 }x=\int { { 3x }^{ 2 }{ cosec }^{ 2 }{ x . \sin }^{ 2 }{ xdx }+C } =\int { { 3x }^{ 2 }dx+C={ x }^{ 3 } } +C.\)
எனவே, y sin² x = x³ + C என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2x+3y }{ x-y } \) என எழுதலாம்.
இச்சமன்பாடு சமப்படித்தான சமன்பாடாகும்.
y = vx என்க. பின்னர், v + x \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2+3v }{ 1-v } \).
⇒ x \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2+2v+{ v }^{ 2 } }{ 1-v } \) அல்லது \(\frac { 1-v }{ { (1+v) }^{ 2 }+1 } dv=\frac { dx }{ x } \) அல்லது \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 2v+2 }{ { v }^{ 2 }+2v+2 } -\frac { 4 }{ (v+1{ ) }^{ 2 }+1 } \right] dv=\frac { dx }{ x } \) 
இரு பக்கமும் தொகையிட, \(-\frac { 1 }{ 2 } log\left| { v }^{ 2 }+2v+2 \right| +2{ tan }^{ -1 }(v+1)=logx\left| x \right| +logx\left| C \right| \)
அல்லது \(log\left| { v }^{ 2 }+2v+2 \right| -4{ tan }^{ -1 }(v+1)=-2log\left| x \right| -2log\left| C \right| \)
அல்லது \(log\left| { v }^{ 2 }+2v+2 \right| +log\left| x \right| -4{ tan }^{ -1 }(v+1)=-2log\left| C \right| \)
அல்லது \(log\left| { v }^{ 2 }+2v+2{ x }^{ 2 } \right| -4{ tan }^{ -1 }(v+1)=-2log\left| C \right| \)
v = \(\frac { y }{ x } \) எனப்பிரதியிட, \(\\ log\left| { y }^{ 2 }+2xy+2{ x }^{ 2 } \right| -4{ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ x } \right) =k\), இங்கு k = -2 \(log\left| c \right| \) ஆகும். இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

சமன்பாட்டை \(\cos ydy={ e }^{ x }\cfrac { \left( xlogx+1 \right) }{ x } dx\) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cos ydy={ e }^{ x }\left[ \cfrac { xlogx }{ x } +\cfrac { 1 }{ x } \right] dx\) 
\(\cos ydy={ e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx\) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cos ydy } =\int { { e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx... } \) 
RHS 
\(\int { { e }^{ x }\left[ ^{ x }logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] } dx={ e }^{ x }logx+c\) என்க
\(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ x } \)

இது \(\int { { e }^{ x }\left[ f(x)+f'(x) \right] dx } ={ e }^{ x }f(x)+C\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
\(\therefore \int { { e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx } ={ e }^{ x }logx+C\) 
(1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(\sin y \log x+c\)

கொடுக்கப்பட்டது \({ y }^{ 2 }=2ax+{ 2a }^{ \frac { 5 }{ 3 } }\)   ...(1)
சமன்பாடு (1) ஐ ப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } =2a+0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 2a }{ 2y } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { a }{ y } \Rightarrow a=y\cfrac { dy }{ dx } \) 
a ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது  
\({ y }^{ 2 }=2\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) x+2\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ \frac { 5 }{ 3 } }\) 
\({ y }^{ 2 }=2xy\cfrac { dy }{ dx } +2\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ \frac { 5 }{ 3 } }\) 
\({ y }^{ 2 }-2xy\cfrac { dy }{ dx } =2\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ \frac { 5 }{ 3 } }\) 
இருபுறமும் அடுக்கை 3 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது  
\(\left( { y }^{ 2 }-2xy\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }=8\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 5 }\) 
எனவே  \({ y }^{ 2 }=2ax+2{ a }^{ \frac { 5 }{ 3 } }\) 
\(\left( { y }^{ 2 }-2xy\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }-8\left( y\cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 5 }\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.