x என்பது முதலீட்டுத்தொகை என்க.தொகை ஒவ்வொரு வருடமும் மாறுவதால் அதன் மாறுவீதம் t நேரத்தில் \(\frac { dx }{ dt } \) மற்றும் ஒவ்வொரு வருடமும் மற்றொரு முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வரவு ரூ.400 இத்தொகையுடன் தொடர்ச்சியாக சேர்க்கப்படுகிறது.
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 8 }{ 100 } \times x+400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 2x }{ 25 } +400\) 
\(\Rightarrow \cfrac { dx }{ dt } -\cfrac { 2 }{ 25 } x-400=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

y = e^{mx    ..(1)}
கொடுக்கப்பட்டது \(y={ e }^{ mx }\) ..(2) 
சமன்பாடு (2) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ mx }.m\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =ym\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } -my=0\)   ...(3) 
ஃ சமன்பாடு (1) மற்றும் (3)ஐ ஒப்பிட நாம் பெறுவது m=-2 

செவ்வகலம் 4a மற்றும் x அச்சுக்கு இணையான அச்சுகளைக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு \(\left( y-b \right) ^{ 2 }=4a\left( x-a \right) \) ,இங்கு (a,b) என்பது பரவளையத்தின் முனை.
\({ y }^{ 2 }-2yb+{ b }^{ 2 }=4ax-4{ a }^{ 2 }\) ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(2y\cfrac { dy }{ dx } -2b\cfrac { dy }{ dx } +0=4a-0\) 
\(2\left( y\cfrac { dy }{ dx } -b\cfrac { dy }{ dx } \right) =4a\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =\cfrac { 4a }{ 2 } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } \left( y-b \right) =2a\) 
 \(y\cfrac { dy }{ dx } -2a=b\cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\because \cfrac { dy }{ dx } =y'\) 
\(\therefore yy'-2a=by'\)  ...(2)
சமன்பாடு (2) ஐ 'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(yy''+y'y=by''\) 
\(yy''+y^{ '2 }=by''\)   ...(3)
b-ன் மதிப்பை (3) ல் பிரதியிட,நாம் பெறுவது 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }=\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) y''\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-y''\left( \cfrac { yy'-2a }{ y' } \right) =0\) 
 \(yy''+(y')^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay' }{ y' } =0\) 
 \(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-\cfrac { yy''y' }{ y' } +\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(yy''+\left( y' \right) ^{ 2 }-{ yy }^{ '' }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 2 }+\cfrac { 2ay'' }{ y' } =0\) 
'y' ஆல் வகுக்க 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+\cfrac { 2ay''\times { y }^{ 1 } }{ y' } =0\) 
\(\left( y' \right) ^{ 3 }+2ay''=0\) 
என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

தளத்தில் கிடைமட்டம் அல்லாத நேர்கோட்டுத் தொகுப்புகளின் சமன்பாடு ax+by = 1,\(a\neq 0\) \(\delta \ b\in R\) .
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ax+by=1 ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐ 'y'ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது
\(a\cfrac { dx }{ dy } +b=0\) 
[ஃ 2 தனித்த மாறிலிகள்,
ஃ இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த]
மீண்டும் வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது
\(a\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) 
[\(\because \) 2 தனித்த மாறிலிகள்,
ஃ இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த]
மீண்டும் வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(a\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

T என்பது கொதித்துக் கொண்டிருக்கும் நீரின் வெப்பநிலை மற்றும் T_m என்பது சமையலறையின் வெப்பநிலை காண்க.
நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி 
\(\cfrac { dT }{ dt } =k\left( T-{ T }_{ m } \right) \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =kdt\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dt }{ T-{ T }_{ m } } } =k\int { dt } \) 
\(\Rightarrow log\left( T-{ T }_{ m } \right) =kt+logc\) 
\(\Rightarrow log\left( T-{ T }_{ m } \right) -logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { T-{ T }_{ m } }{ c } \right) =kt\) 
\(\cfrac { T-{ T }_{ m } }{ c } ={ e }^{ ktr }\) 
\(T-{ T }_{ m }={ ce }^{ kt }\) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு :
\(t=0\) எனும்போது \(T=100\) 
\(100-{ T }_{ m }={ ce }^{ k(0) }\) 
\(100-{ T }_{ m }={ ce }^{ 0 }\) 
\(100-{ T }_{ m }=c\) 
\(c=100-{ T }_{ m }\) 
c ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
\(T-{ T }_{ m }=\left( 100-{ T }_{ m } \right) { e }^{ kt }\) 
மேலும் கொடுக்கப்பட்டது:t=5 எனும்போது T=80
\(80-{ T }_{ m }=\left( 100-{ T }_{ m } \right) { e }^{ kt }\) 
\(\cfrac { 80-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } ={ e }^{ 5k }\) 
\(\therefore { e }^{ 5k }=\cfrac { 80-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } \) 
அதன் பிறகு \(t=0\) T=65
\((2)\Rightarrow 65-{ T }_{ m }=\left( 100-{ T }_{ m } \right) { e }^{ 10k }\) 
\(\cfrac { 65-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } ={ e }^{ 10k }\) 
\({ e }^{ 10k }=\cfrac { 65-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } \) 
\(\left( { e }^{ 10k } \right) =\cfrac { 65-{ Tm } }{ 100-{ T }_{ m } } \) 
\(\left( \cfrac { 80-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } \right) ^{ 2 }=\cfrac { 65-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } \) 
\(\cfrac { \left( 80-{ T }_{ m } \right) }{ \left( 100-{ T }_{ m } \right) } =\cfrac { 65-{ T }_{ m } }{ 100-{ T }_{ m } } \) 
\(\left( 80-{ T }_{ m } \right) ^{ 2 }=\left( 65-{ T }_{ m } \right) \left( 100-{ T }_{ m } \right) \) 
\(\left( a-b \right) ^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-2ab\) 
\(\\ a=80,b={ T }_{ m }\) 
\(6400+{ T }_{ m }^{ 2 }-160{ T }_{ m }=6500-100{ T }_{ m }-65{ T }_{ m }+{ T }_{ m }^{ 2 }\) 
\(64000-6500=160{ T }_{ m }-165{ T }_{ m }\) 
\(-100=\cfrac { 100 }{ 5 } \) 
\({ T }_{ m }=20^{ o }c\) 
எனவே சமையலறையின் வெப்பநிலை 20^oC.

P என்பது நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் குறிக்கப்படும்.
கொடுக்கப்பட்டது \(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dP }{ dt } =kP\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dp }{ p } } =k\int { dt } \) 
\(logP=kt+logc\) 
\(logP-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
\(\cfrac { p }{ c } ={ e }^{ kt }\) 
\(P={ ce }^{ kt }\) ..(1) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது \(t=0\) ;\(P=3,00,000\) 
சமன்பாடு \(3,00,000={ cc }^{ k(o) }\)என்று மாறுகிறது. 
= \({ ce }^{ 0 }\) 
\(3,00,000=c\) 
\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) 
மேலும் t=40 எனும்போது P=4,00,000
சமன்பாடு (2),\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) என மாறுகிறது.
\(\cfrac { 4,00,000 }{ 3,00,000 } ={ e }^{ 40k }\) 
\(\cfrac { 4 }{ 3 } ={ e }^{ 40k }\) 
மடக்கை எடுக்க,
\(log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) =40k\) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 40 } log\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(k=log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 40 } }\left[ \because nlogm=log{ m }^{ n } \right] \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
 \(P=3,00,000{ e }^{ log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } } }\)
\(P=3,00,000\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } }\left[ \because { e }^{ loga{ ^{ x } } }=a^{ x } \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { x }{ x } \cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { y }{ x } =\cfrac { xlogx }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { 1 }{ x } y=logx\) 
இது \(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { 1 }{ x } ;Q=logx\) 
எனவே,இது நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
தொ.கா= \({ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ x } dx } }={ e }^{ logx }=x\) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு 
\(y\times I.F=\int { \left( Q\times .I.F \right) } dx+c\) 
\(yx=\int { logx\times dx } +c\)

\(u=logx\) 
 \(du=\cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\int { udv } =uv-\int { vdu } \) 
\(yx=logx\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) -\int { \cfrac { x }{ 2 } .\cfrac { 1 }{ x } dx+c } \) 
= \(\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) logx-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) +c\) 
= \(yx=\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } logx-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) +c\) 
= \(yx=\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } logx-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +c\)  
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது  
\(\\ 4yx=2{ x }^{ 2 }logx-{ x }^{ 2 }+4c\) என்பது தேவையான தீர்வாகும். 

\((1+x+{ xy }^{ 2 })\frac { dy }{ dx } +(y+{ y }^{ 3 })=0\) 
\(\left( 1+x+{ xy }^{ 2 } \right) \cfrac { dy }{ dx } =-\left( y+{ y }^{ 3 } \right) \) 
\((1+x+{ xy }^{ 2 })=-y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) \cfrac { dx }{ dy } \) 
\(y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) \cfrac { dx }{ dy } +1+x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) =0\) 
\(^{ }y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) \) ஆல் வகுக்க 
\(\cfrac { dx }{ dy } +\cfrac { 1 }{ y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) } +\cfrac { x\left( { y }^{ 2 }+1 \right) }{ y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) } =0\) 
\(\cfrac { dx }{ dy } +\cfrac { x }{ y } =-\cfrac { 1 }{ y\left( { y }^{ 2 }+1 \right) } \) 
இங்கு \(P=\cfrac { 1 }{ y } \) மற்றும்  \(Q=\cfrac { -1 }{ y\left( 1+{ y }^{ 2 } \right) } \)
தொ.கா =\({ e }^{ \int { pdy } }={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ y } dy } }=e^{ logy }=y\) 
\(x\times I.F=\int { \left( Q\times I.F \right) } dy+c\) என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 
\(x\times y=\int { \cfrac { -1 }{ y\left( 1+{ y }^{ 2 } \right) } \times y\times dy+c } \) 
\(xy=\int { \cfrac { -1 }{ 1+{ y }^{ 2 } } dy+c } \) 
\(-\int { \cfrac { 1 }{ 1+{ y }^{ 2 } } dy+c } \) 
\(xy=-tan^{ -1 }y+c\) 
\(xy+tan^{ -1 }y=c\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.   

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
\(y=dx=-\left( 2x-10{ y }^{ 3 } \right) dy\) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(y\cfrac { dx }{ dy } =-2x+10{ y }^{ 3 }\) 
\(\div y,\cfrac { y }{ y } \cfrac { dx }{ dy } +\cfrac { 2 }{ y } x=\cfrac { 10{ y }^{ 3 } }{ y } \) 
\(\cfrac { dx }{ dy } +\left( \cfrac { 2 }{ y } \right) x={ 10y }^{ 2 }\) 
இது \(\cfrac { dx }{ dy } +px+Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு  \(P=\cfrac { 2 }{ y } ,Q={ 10y }^{ 2 }\) 
இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
தொ.கா = \({ e }^{ \int { pdy } }={ e }^{ \int { \frac { 2 }{ y } dy } }={ e }^{ 2logy }={ y }^{ 2 }\) 
தேவையான தீர்வு 
\(x\times I.F=\int { \left( Q\times I,F \right) } dy+c\) 
\({ xy }^{ 2 }=\int { 10{ y }^{ 2 }\times { y }^{ 2 }dy+c } \) 
= \(\int { { 10y }^{ 4 }dy+c } \) 
= \(\cfrac { { 10y }^{ 5 } }{ 5 } +c={ 2y }^{ 5 }+c\) 
\({ xy }^{ 2 }={ 2y }^{ 5 }+c\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது \(x\cfrac { dy }{ dx } =y-x{ cos }^{ 2 }\cfrac { y }{ x } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { y-x{ cos }^{ 2 }\frac { y }{ x } }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y=vx\)
\(\frac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
y மற்றும் \(\cfrac { dy }{ dx } \) ன் மதிப்பை சமன்பாடு (10 ல் பிரதியிட 
\(v+\frac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 }(v) }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dv } =x\cfrac { \left( v-{ cos }^{ 2 }v \right) }{ x } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =v-{ cos }^{ 2 }v-v\) 
\(\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { -{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(\cfrac { dv }{ { cos }^{ 2 }v } =\cfrac { -dx }{ x } \) 
இருபுறமும்  தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { { sec }^{ 2 }vdx } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \) 
\(tanv=-logx+logC\) 
\(tanv=logC-logx\) 
\(tanv=log\left( \cfrac { c }{ x } \right) \) 
\({ e }^{ tanv }=\cfrac { C }{ x } \) 
\(C=x{ e }^{ tanv }\) 
\(C={ xe }^{ tan\left( \frac { y }{ x } \right) }\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dx }{ dy } =\cfrac { { xe }^{ \frac { x }{ y } }+y }{ { ye }^{ \frac { x }{ y } } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படிதான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
x=vy என்க. & \(\cfrac { dx }{ dy } =v+y\cfrac { dv }{ dy } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { { vye }^{ \frac { vy }{ y } }+y }{ ye^{ \frac { vy }{ y } } } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { y\left[ { ve }^{ v }+1 \right] }{ y\left[ e^{ v } \right] } \) 
\(y\cfrac { dy }{ dv } =\cfrac { 1 }{ { e }^{ v } } \) 
\({ e }^{ v }dv=\cfrac { dy }{ y } \) 
தொகையிடைக் கிடைப்பது 
\(\int { { e }^{ v }dv } =\int { \cfrac { dy }{ y } } \) 
\({ e }^{ v }=logy+logc\) 
\({ e }^{ \frac { x }{ y } }=log|cy|\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

சமன்பாட்டை \(\cos ydy={ e }^{ x }\cfrac { \left( xlogx+1 \right) }{ x } dx\) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cos ydy={ e }^{ x }\left[ \cfrac { xlogx }{ x } +\cfrac { 1 }{ x } \right] dx\) 
\(\cos ydy={ e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx\) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cos ydy } =\int { { e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx... } \) 
RHS 
\(\int { { e }^{ x }\left[ ^{ x }logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] } dx={ e }^{ x }logx+c\) என்க
\(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ x } \)

இது \(\int { { e }^{ x }\left[ f(x)+f'(x) \right] dx } ={ e }^{ x }f(x)+C\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
\(\therefore \int { { e }^{ x }\left[ logx+\cfrac { 1 }{ x } \right] dx } ={ e }^{ x }logx+C\) 
(1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(\sin y \log x+c\)

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
25-x²=t என்க.
-2xdx = dt 
\(xdx=-\cfrac { dt }{ 2 } \) 
இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(dy=x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } dx\) 
\(dy-\sqrt { t } \cfrac { dt }{ 2 } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dt } \) 
\(y=-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(y=\cfrac { -{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C }{ 3 } \) 
= \(3y=-{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+3c\) 
\(3y=-\left( 25-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }+3C\) 
\(\left( \because t=25-{ x }^{ 2 } \right) \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(v\cfrac { dv }{ dx } =g\left( 1-\cfrac { { v }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } \right) \) 
\(\Rightarrow v\cfrac { dv }{ dx } =g\left( \cfrac { { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } \right) \) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { vdv }{ { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } =\cfrac { g }{ { k }^{ 2 } } dx\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { -2v }{ { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } dv=\int { \cfrac { -2g }{ { k }^{ 2 } } x } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { -2v }{ { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } dv=\int { \cfrac { -2g }{ { k }^{ 2 } } dx } \) 
\(log\left( { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) =\cfrac { -2gx }{ { k }^{ 2 } } +logC\) 
\(log\left( { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) -logC=-\cfrac { 2gx }{ { k }^{ 2 } } \) 
\(log\left( \cfrac { { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } }{ C } \right) =-\cfrac { 2gx }{ { k }^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } }{ C } ={ Ce }^{ -\frac { 2gx }{ { k }^{ 2 } } }\) 
\({ k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }={ Ce }^{ \frac { -2gx }{ { k }^{ 2 } } }\) ..(1)
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
x=0 எனும்போது V=0
இப்போது நாம் பெறுவது 
\({ k }^{ 2 }\left( 0 \right) ^{ 2 }={ Ce }^{ \frac { -2g(0) }{ { k }^{ 2 } } }\) 
\({ k }^{ 2 }={ Ce }^{ 0 }\) 
\({ k }^{ 2 }=C\)
\(\left( 1 \right) \Rightarrow { k }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }={ k }^{ 2 }{ e }^{ \frac { -2gx }{ { k }^{ 2 } } }\) 
\({ k }^{ 2 }-{ k }^{ 2 }e^{ \frac { -2gx }{ { k }^{ 2 } } }={ v }^{ 2 }\) 
\({ k }^{ 2 }\left[ 1-{ e }^{ \frac { -2gx }{ { k }^{ 2 } } } \right] ={ v }^{ 2 }\)

கொடுக்கப்பட்டது \(y=ax+\cfrac { b }{ x } \) 
\(y=\cfrac { { ax }^{ 2 }+b }{ x } \) 
\(xy={ ax }^{ 2 }+b\) ..(1)
சமன்பாடு (1) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(x\cfrac { dy }{ dx } +y(1)=a2x+0\) 
\(x\cfrac { dy }{ dx } +y=2ax\) 
\(2a=\cfrac { x\frac { dy }{ dx } +y }{ x } =\cfrac { { xy }^{ ' }+y }{ x } \) 
மீண்டும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(x\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } \left( 1 \right) +\cfrac { dy }{ dx } =2a\) 
\(x\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x\frac { dy }{ dx } +y }{ x } \) 
 \(x\cfrac { d^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +2\cfrac { dy }{ dx } +2-\cfrac { x\frac { dy }{ dx } +y }{ x } =0\)
x -ஆல் பெருக்க 
\(x\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +2\cfrac { dy }{ dx } -\left( x\cfrac { dy }{ dx } +y \right) =0\)
\({ x }^{ 2 }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +2x\cfrac { dy }{ dx } -x\cfrac { dy }{ dx } -y=0\) 
\({ x }^{ 2 }y''+2xy'-xy'-y=0\) 
\({ x }^{ 2 }y''+xy'-y=0\) 
\(\therefore y=ax+\cfrac { b }{ x } \) என்பது \({ x }^{ 2 }y''+xy'-y=0\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.