கொடுக்கப்பட்டுள்ள பரவல் தொடர்ச்சியானது என்பதை கவனிக்கவும்.
சராசரி
வரையறைப்படி \(\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx}\)
= \(\int_{-\infty}^{0}{0(\lambda e^{-\lambda x})dx+}\int_{0}^{\infty}{x(\lambda e^{-\lambda x})dx}\)
(பெர்னோலி சூத்திரப்படி அல்லது பகுதி தொகையிடல் முறையினையும் பயன்படுத்தலாம்)
= 0 + \(\lambda\int_{0}^{\infty}{x(e^{-\lambda x})dx}\)

=\(\frac{1}{\lambda}\)
பரவற்படி
வரையறைப்படி \(E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2f(x)dx}\)
= \(\int_{-\infty}^{0}{0(\lambda e^{-\lambda x})dx+}\int_{0}^{\infty}{x^2(\lambda e^{-\lambda x})dx}\)
(பெர்னோலி சூத்திரப்படி அல்லது பகுதி தொகையிடல் முறையினையும் பயன்படுத்தலாம்)
= \(0+\lambda \int_{0}^{\infty}{x^2(e^{-\lambda x})dx}\)

எனவே  Var(X) = E(X²)-E(X)²
\(=\frac{2}{\lambda^2}-(\frac{1}{\lambda})^2=\frac{1}{\lambda^2}\)
ஆகையால் சராசரி மற்றும் பரவற்படி முறையே \(\frac{1}{\lambda}\) மற்றும் \(\frac{1}{\lambda^2}\).

சாத்தியமான தீர்வுகள் (i) இரண்டுமே கருப்பாக இருக்கலாம் அல்லது (ii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு அல்லது (iii) இரண்டுமே வெள்ளையாக இருக்கலாம். எனவே X என்பது பின்வரும் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.
X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்) = ரூ. 2(30) = ரூ. 60
X (ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு வெள்ளை பந்து) = ரூ. 30 − ரூ. 20 = ரூ. 10
X (இரண்டுமே வெள்ளை பந்துகள்) = ரூ. 2( − 20) = − ரூ. 40
எனவே X ஆனது 60,10, மற்றும் − 40 மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
குறிப்பு : 60-இன் நேர்மாறு பிம்பம் {b₁b₂, b₁b₃, b₁b₄, b₂b₃, b₂b₄, b₃b₄,} ஆகும்.

வெள்ளை மற்றும் சிவப்பு பந்துகளை , w₁ w₂, r₁, r₂ மற்றும் r₃ எனக் குறிப்பிடுவோம்.
கூறுவெளியில் 5c₃ = 10 வெவ்வேறு 3 எண்ணிக்கை அளவுள்ள கூறுகள் உள்ளன.
அதாவது S = {w₁w₂r₁, w₁w₂r₂, w₁w₂r₃, w₁r₁r₂, w₁r₂r₃, w₁r₁r₃, w₂r₁r₂, w₂r₂r₃, w₂r₁r₃, r₁r₂r₃,} ஆகும்.
சமவாய்ப்பு மாறி X எடுக்கும் மதிப்புகள் 1, 2, மற்றும் 3 ஆகும்

 

X என்பது வெல்லும் தொகை என்க. சாத்தியமான தேர்வுகளாவன (i) இரு பந்துகளுமே கருப்பு, அல்லது (ii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு (iii) இரண்டுமே வெள்ளை . எனவே X எனும் சமவாய்ப்பு மாறி கீழ்க்காணுமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்) = ரூ. 2(20) = ரூ .40
X (ஒரு கருப்பு பந்து மற்றும் ஒரு வெள்ளைப் பந்து) = ரூ . 20 − ரூ .10 = ரூ .10
X (இரண்டுமே வெள்ளைப் பந்துகள்) = ரூ. (-20) = - ரூ 20
எனவே X கொள்ளும் மதிப்புகள் 40,10 மற்றும் −20 ஆகும்.
மொத்த பந்துகள் n = 12
2 பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க மொத்த வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix} \right )=\frac{12\times11}{1\times2}=66\)
2 கருப்பு பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right )=6\)
ஒரு கருப்பு பந்து மற்றும் ஒரு வெள்ளை பந்து தேர்ந்தெடுக்க = \(\left( \begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} \right )\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right )=32\)
 2 வெள்ளை பந்துகள் தேர்ந்தெடுக்க வழிகள் = \(\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right )=28\)

நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

சராசரி : \(E(X) = \sum{xf(x)}=40.(\frac{6}{66})+10.(\frac{32}{66})+(-20).(\frac{28}{66})=0\)
அதாவது எதிர்பார்க்கப்படும் வெல்லும் தொகை 0 .
பரவற்படி : \(E(X^2)=\sum{x^2f(x)=40^2.(\frac{6}{66})+10^2.(\frac{32}{66})+({-20^2}).(\frac{28}{66})}=\frac{4000}{11}\)
(E(X))² = 0² = 0
இதன்படி \(V(X) = E(X^2)-(E(X))^2=\frac{4000}{11}-0=\frac{4000}{11}\)
எனவே \(E(X)=0\) மற்றும் \(Var(X)=\frac{4000}{11}\)

(i) f(x)-ன் தொடர்ச்சி புள்ளிகளில் x-ஐப் பொறுத்து F(x)-ஐ வகையிட
 எனப் பெறுகிறோம்.
f(x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு x = 0 -ல், அல்லது x =1-ல் தொடர்ச்சியற்று உள்ளது. f(0) மற்றும் f(1)-ஐ எவ்வகையிலும் வரையறுக்கலாம். f(0) =1, மற்றும் f(1) =0 எனத் தெரிவு செய்வோம் .
எனவே f(x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(ii) P(0.2 ≤ X ≤ 0.7) = F(0.7) − F(0.2)
= 0.7 − 0.2 = 0.5 அல்லது P(0.2 ≤ X ≤ 0.7) = \(\int_{0.2}^{0.7}{f(x)dx}=\int_{0.2}^{0.7}{1dx}=0.5\)

(i) கொடுக்கப்பட்டது:

\(f(-1)=P(X=-1)=F(-1)-F(-1)=0.15-0\)  = 0.15
\(f(0)=P(X=0)=F(0)-F(-1)=0.35-0.15\)  = 0.20
\(f(1)=P(X=1)=F(1)-F(0)=0.60-0.35\)  = 0.25
\(f(2)=P(X=2)=F(2)-F(1)=0.85-0.60\)   = 0.25
\(f(3)=P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.85=0.15\) 

(ii) \(P(X<1)\) \(=P(X=-1)+P(X=0)\)  = 0.15 + 0.20 = 0.35
(iii) \(P(X\ge 2)\) = \( P(X=2)+P(X=3)\) = 0.25 + 0.15 = 0.40

இருமுறை எறிதலின் மொத்தத் தொகை X -ஐ குறிப்பதால், X -ஆனது 2, 3, 4, 5, மற்றும் 6 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
அருகிலுள்ள அட்டவணை S-லிருந்து,

கூறுவெளி S

\(P(X=2)=\frac{1}{36},\)
\(P(X=3)=\frac{4}{36},\)
\(P(X=4)=\frac{10}{36},\)
\(P(X=5)=\frac{12}{36},\)
மற்றும் \(P(X=6)=\frac{9}{36}.\)
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பானது,

\(F(x)=P(X\le x) =\underset { { x }_{ i }\le x }{ \Sigma } { P(X={ x }_{ i }) }\),
P(X < x)  = 0, −∞ < x < 2.
\(F(2)=P(X\le 2)=\sum _{ -\infty }^{ 2 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)=0+\frac { 1 }{ 36 } } =\frac { 1 }{ 36 } .\)
\(F(3)= P(X\le 3)=\sum _{ -\infty }^{ 3 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 } } =\frac { 5 }{ 36 } .\)
\(F(4)= P(X\le 4)=\sum _{ -\infty }^{ 4 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 }+\frac { 10 }{ 36 } } =\frac {15 }{ 36 } .\)
\(F(5)= P(X\le 5)=\sum _{ -\infty }^{ 5 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)}\)= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{27}{36}.\)
\(F(6)= P(X\le 6)=\sum _{ -\infty }^{ 6 }{ { P(X={ x })}}\)
= P(X < 2) + P(X = 2) + P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)
= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=1.\)
எனவே , குவிவு பரவல் சார்பானது
,\(\begin{cases}\begin{matrix}0,&-\infty < x< 2\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{1}{36},&2 \le x< 3\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{5}{36},&3 \le x< 4\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{15}{36},&4 \le x< 5\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{27}{36},&5 \le x< 6\end{matrix}\\\begin{matrix}1,&6 \le x< \infty\end{matrix}\end{cases}\)

(iii) \(P(3\le X<6)=\sum _{ x=3 }^{ 5 }{ P(X={ x }_{ i })=P(X=3)+P(X=4) } +P(X=5)\)
= \(\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{26}{36}.\)
(iv) \(P(X\ge4)=\sum _{ x=4 }^{ \infty }{ P(X={ x }_{ i })}\)
= P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)
=\(\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=\frac{31}{36}.\)

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது வெல்லும் தொகை என்க.
X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்)=ரூ.2(-10)=-ரூ20
X(ஒரு சிவப்பு மற்றும் ஒரு கருப்பு பந்து) = ரூ.15 - ரூ10 = ரூ.5
X (இரண்டுமே சிவப்பு பந்துகள்) = ரூ2(15)= ரூ.30
\(\therefore\) X = { -20, 5, 30)
கூறுவெளி \(S=^{ 14 }{ C }_{ 2 }=91\) 
X=-20, இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள் \(={ }^8 \mathrm{C}_2 \times{ }^6 \mathrm{C}_0=28\) 
X=5,ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு சிவப்பு பந்து  = \(^{ 8 }{ C }_{ 1 }\times ^{ 6 }{ C }_{ 1 }=8\times 6=48\) 
X=30, இரண்டுமே சிவப்பு பந்துகள்= \({ }^8 \mathrm{C}_0 \times{ }^6 \mathrm{C}_2=15\)

X என்பது சமவாய்ப்பு மாறி,ஆப்பிள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது என்க.
கொடுக்கப்பட்டது: கூடையில் 5 மாம்பழங்கள் மற்றும் 4 ஆப்பிள்கள் உள்ளன.
\(\therefore X=\{ 0,1,2,3\} \) 
கூறுவெளி S=⁹C₃=84
x=0, X(2 மாம்பழங்கள்)=⁵C₃ \(\times\)⁴C₀=10
X=1,X(2 மாம்பழங்கள் மற்றும் 1 ஆப்பிள்) = ⁵C₂\(\times\)⁴C₁=40
X=2, X(1 மாம்பழங்கள் மற்றும் 2 ஆப்பிள்கள்) = ⁵C₁\(\times\)⁴C₂=30
X=3, X(3 ஆப்பிள்கள்)=⁵C₀\(\times\)⁴C₃=4

\(\mathrm{n}=25, \mathrm{p}=\frac{4}{5}, \mathrm{q}=\frac{1}{5}\)
திட்ட விலக்கம் \(=\sqrt{n p q}=\sqrt{25 \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}}=2\)

நிகழ்தகவு நிரைச் சார்பு

\(E(X)=\frac{36}{6}-\frac{1}{6}-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}-\frac{16}{6}-\frac{25}{6}=-\frac{19}{6}\)