\(n=5,X\sim B(n,p)\) 
கொடுக்கப்பட்டது, P(X = 1) = 0.4096
\(P(X=2)=0.2048\) 
\(P(X=x)=^{ n }{ C }_{ x }{ p }^{ x }{ q }^{ n-x },x=0,1,2,...\) , n
\(\Rightarrow ^{ 5 }{ C }_{ 1 }p{ q }^{ 4 }=0.4096\)
\(\Rightarrow ^{ 5 }{ C }_{ 2 }{ p }^{ 2 }{ q }^{ 3 }=0.2048\)
 \(5p{ q }^{ 4 }=0.4096\)             ....(1)
\(10{ p }^{ 2 }{ q }^{ 3 }=0.2048\)             ....(2)
(1) ஐ (2) ஆல் வகுக்க,
\(\begin{aligned} \Rightarrow \frac{5 p q^4}{10 p^2 q^3} & =2 \Rightarrow \frac{q}{p}=4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} q & =4 p=4(1-q)=4-4 q \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 5 q & =4 \Rightarrow q=\frac{4}{5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p & =1-q=\frac{1}{5} \end{aligned}\)
சராசரி = \(n p=5 \times \frac{1}{5}=1\)
பரவற்படி = \(\mathrm{npq}=1 \times \frac{4}{5}=\frac{4}{5}\)

p என்பது மின் சோதனையில் சாதனத்தின் தாங்கு திறனுக்கான நிகழ்தகவு என்க.
\(n=5,p=\cfrac { 3 }{ 4 } ,X\sim B(n,p),k=3\) 
\(q=1-p=\cfrac { 1 }{ 4 } \) 
\(\mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n}\)
\(\mathrm{P}(X=3)={ }^5 \mathrm{C}_3\left(\frac{3}{4}\right)^3 \left(\frac{1}{4}\right)^2\) 
= \(\cfrac { 5\times 4\times 3 }{ 3\times 2 } \times \cfrac { { 3 }^{ 3 } }{ { 4 }^{ 5 } } =\cfrac { 270 }{ 1024 } =\cfrac { 135 }{ 512 } \)

P  என்பது இலக்கை தாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு  என்க.
\(\mathrm{n}=10, \mathrm{p}=\frac{1}{4}, X \sim \mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p})\) 
\(P(X=x)=^{ n }{ C }_{ x }{ p }^{ x }{ q }^{ n-x },x=0,1,2...,n\)
\(q=1-p=\cfrac { 3 }{ 4 } \)
(ii) இலக்கை சரியாக 4 முறை தாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு 
\(P(X=4)=^{ 10 }{ C }_{ 4 }\times \left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 4 }\times \left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 6 }\) 
= \(\\ \cfrac { 10\times 9\times 8\times 7 }{ 4\times 3\times 2 } \times \cfrac { 1 }{ { 4 }^{ 4 } } \times \cfrac { { 3 }^{ 6 } }{ { 4 }^{ 6 } } \) 
= \(210\times \cfrac { { 3 }^{ 6 } }{ { 4 }^{ 10 } } \) 
(ii) இலக்கை,குறைந்தபட்சம் ஒரு முறை தாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு 
\(\\ P(X\ge 1)=1-P\left( x<1 \right) =1 - P(X=0)\) 
= \(1-^{ 10 }{ C }_{ 0 }\times \left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 0 }\times \left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 10 }\) 
= \(1-\cfrac { { 3 }^{ 10 } }{ { 4 }^{ 10 } } \)

\(\begin{gathered} \mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \mathrm{P}(X=7)={ }^9 \mathrm{C}_7\left(\frac{1}{2}\right)^7\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9 \times 8}{2} \times \frac{1}{2^9} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} =36 \times \frac{1}{512}=\frac{9}{128} \end{gathered}\)
 

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது லாட்டரியில் கிடைக்கும் வெற்றி தொகையைக் குறிக்கட்டும்.
சமவாய்ப்பு மாறி x-ன் மதிப்புகள்  -2 48 98 198 மொத்தம் நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  589 6 4 1 600 நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
x -2 48 98 198 f(x) \(\cfrac { 589 }{ 600 } \) \(\cfrac { 6 }{ 600 } \) \(\cfrac { 4 }{ 600 } \) \(\cfrac { 1 }{ 600 } \) \(E(X)=-2\times \cfrac { 589 }{ 600 } +48\times \cfrac { 6 }{ 600 } +98\times \cfrac { 4 }{ 600 } +198\times \cfrac { 1 }{ 600 } \) 
= -0.5
நட்டம் (அல்லது)நஷ்டம் = ரூ.0.5

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது நான்கு சீரான நாணயங்களை ஒருமுறை சுண்டும்போது கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கட்டும்.
X = {0, 1, 2, 3}
n(S) = 16

சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் மதிப்புகள்	0	1	2	3	4	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	4	6	4	1	16

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

x	0	1	2	3	4
f(x)	\(\cfrac { 1 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 4 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 6 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 4 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 16 } \)

சராசரி :
\(\mu =E\left( X \right) =\sum { xf\left( x \right) } \) 
\(=0\times \cfrac { 1 }{ 16 } +1\times \cfrac { 4 }{ 16 } +2\times \cfrac { 6 }{ 16 } +3\times \cfrac { 4 }{ 16 } +4\times \cfrac { 1 }{ 16 } =\cfrac { 32 }{ 16 } =2\)
பரவற்படி 
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =0^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 16 } +1^{ 2 }\times \cfrac { 4 }{ 16 } +2^{ 2 }\times \cfrac { 6 }{ 16 } +3^{ 2 }\times \cfrac { 4 }{ 16 } +4^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 16 } \) 
\(=0+\cfrac { 4 }{ 16 } +\cfrac { 24 }{ 16 } +\cfrac { 36 }{ 16 } +\cfrac { 16 }{ 16 } =\cfrac { 80 }{ 16 } = 5 \)
\(Var(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] ^{ 2 }\)
= 5 - 4 = 1

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கட்டும்.
X = {0, 1, 2}
கூறுவெளி \(S=^{ 7 }{ C }_{ 2 }=21\)
\(\begin{aligned} X=0, X^{-1}(\mathrm{BB})={ }^4 \mathrm{C}_0 \times{ }^3 \mathrm{C}_2=3 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} X=1, X^{-1}(\mathrm{BR})={ }^4 \mathrm{C}_1 \times{ }^3 \mathrm{C}_1=12\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} X=2, X^{-1}(\mathrm{RR})={ }^4 \mathrm{C}_2 \times{ }^3 \mathrm{C}_0=6 \end{aligned}\)

சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் மதிப்புகள்	0	1	2	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	3	12	6	21

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

x	0	1	2
f(x)	\(\cfrac { 3 }{ 21 } \)	\(\cfrac { 12 }{ 21 } \)	\(\cfrac { 6 }{ 21 } \)

சராசரி:
\( \mu =E(X)=\sum { xf(x) } \)
\(=0\times \cfrac { 3 }{ 21 } \times 1\times \cfrac { 12 }{ 21 } +2\times \cfrac { 6 }{ 21 } =\cfrac { 24 }{ 21 } =\cfrac { 8 }{ 7 } \)

சராசரி:
\(\begin{aligned} \mu & =\mathrm{E}(X)=\int_1^2 x f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_1^2 x \times 2(x-1) d x=2 \int_1^2\left(x^2-x\right) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=2\left[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left(\frac{7}{3}-\frac{3}{2}\right)=2 \times \frac{5}{6}=\frac{5}{3} \end{aligned}\)
பரவற்படி:
\(\begin{aligned} \mathrm{E}\left(X^2\right) & =\int_1^2 x^2 f(x) d x=2 \int_1^2\left(x^3-x^2\right) d x \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=2\left[\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2\left[\frac{15}{4}-\frac{7}{3}\right]=2 \times \frac{17}{12}=\frac{17}{6} \end{aligned}\)
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
\(=\frac{17}{6}-\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{17}{6}-\frac{25}{9}\)
\(=\frac{51-50}{18}=\frac{1}{18}\)

(i) பரவல் சார்பு \(F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } \) 
நிலை 1:
\(x<-1\) 
\(F(x)=\int_{-\infty}^x f(u) d u=\int_{-\infty}^{-1}(0) d u=0\)
நிலை 2:
\(-1\le 1x<0\) 
\(\begin{aligned} F(x) & =\int_{-\infty}^x f(u) d u=\int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\int_{-1}^x(u+1) d u=\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}+1=\frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2} \end{aligned}\)
நிலை 3: \(0\le x<1\)
\(\begin{aligned} F(x) & =\int_{-\infty}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^0 f(u) d u+\int_0^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\int_{-1}^0(u+1) d u+\int_0^x(-u+1) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^0+\left[-\frac{u^2}{2}+u\right]_0^x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(-\frac{x^2}{2}+x-0\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}+x \end{aligned}\)
நிலை 4: x \(\geq\) 1
\(\begin{aligned} F(x)= \int_{-\infty}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = \int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^0 f(u) d u+\int_0^1 f(u) d u +\int_1^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 0+\int_{-1}^0(u+1) d u+\int_0^1(-u+1) d u+0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & =\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^0+\left[-\frac{u^2}{2}+u\right]_0^1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(-\frac{1}{2}+1\right)-0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \end{aligned}\)

(ii) P(-0.5 \(\le\) X \(\le\) 0.5)
\(\begin{aligned} =\int_{-0.5}^{0.5} f(x) d x=\int_{-0.5}^0 f(x) d x+\int_0^{0.5} f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{-0.5}^0(x+1) d x+\int_0^{0.5}(-x+1) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-0.5}^0+\left[-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^{0.5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{(-0.5)^2}{2}-0.5\right)+\frac{-(0.5)^2}{2}+0.5-0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-\frac{0.25}{2}+0.5-\frac{0.25}{2}+0.5 \end{aligned}\)
= 1 - 0.25 = 0.75

(i) கொடுக்கப்பட்டது:

\(f(-1)=P(X=-1)=F(-1)-F(-1)=0.15-0\)  = 0.15
\(f(0)=P(X=0)=F(0)-F(-1)=0.35-0.15\)  = 0.20
\(f(1)=P(X=1)=F(1)-F(0)=0.60-0.35\)  = 0.25
\(f(2)=P(X=2)=F(2)-F(1)=0.85-0.60\)   = 0.25
\(f(3)=P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.85=0.15\) 

x	-1	0	1	2	3
f(x)	0.15	0.20	0.25	0.25	0.15

(ii) \(P(X<1)\) \(=P(X=-1)+P(X=0)\)  = 0.15 + 0.20 = 0.35
(iii) \(P(X\ge 2)\) = \( P(X=2)+P(X=3)\) = 0.25 + 0.15 = 0.40

 
(i) கொடுக்கப்பட்டது: f என்பது ஒரு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
\(\sum { f(x)=1 } \) 
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பானது 

x	0	1	2
f(x)	\(\cfrac { 1 }{ k } \)	\(\cfrac { 2 }{ k } \)	\(\cfrac { 5 }{ k } \)

\(\cfrac { 1 }{ k } +\cfrac { 2 }{ k } +\cfrac { 5 }{ k } =1\) 
\(\cfrac { 8 }{ k } =1\) \(\Rightarrow\) k = 8
(ii) குவிவுப் பரவல் சார்பு 
\(F(0)=P\left( x\le 0 \right) \) = \(P(x=0)\) = \(\cfrac { 1 }{ 8 } \) 
\(F(1)=P\left( x\le 1 \right) \) = \(P(x=0)+P(x=1)\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 8 } +\cfrac { 2 }{ 8 } =\cfrac { 3 }{ 8 } \) 
\(F(2)=P(x\le 2)\) 
= \(P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 8 } +\cfrac { 2 }{ 8 } +\cfrac { 5 }{ 8 } =1\) 

x	0	1	2
F(x)	\(\cfrac { 1 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 3 }{ 8 } \)	1

(iii) \(P(X\ge 1)\)  = \(P(X=1)+P(X=2)\) 
= \(\cfrac { 2 }{ 8 } +\cfrac { 5 }{ 8 } =\cfrac { 7 }{ 8 } \)

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது பகடையின் இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்க.
கூறுவெளி S 

I\II	2	3	3	4	4	4
2	4	5	5	6	6	6
3	5	6	6	7	7	7
3	5	6	6	7	7	7
4	6	7	7	8	8	8
4	6	7	7	8	8	8
4	6	7	7	8	8	8

n(S)=36
X={4,5,6,7,8}
கூறுவெளியிலிருந்து 

சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் மதிப்புகள்	4	5	6	7	8	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	4	10	12	9	36

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது கருப்பு நிற சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை என்க.
ஃX={0,1,2}
கூறுவெளி S = 52 C₂ =1326
X = 0,X (இரண்டு வெள்ளை சீட்டுகள்) = 26C₂=325
X = 1,X(ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு வெள்ளை சீட்டுகள்) = 26C₁X26C₁ = 676
x = 2,X(இரண்டும் கருப்பு சீட்டுகள்) = 26C₂=325

சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள்	0	1	2	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	650	26	650	1326

f(x) என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதால்,
\(\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} \int_{-\infty}^0 f(x) d x+\int_0^{\infty} f(x) d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} 0+\int_0^{\infty} k x e^{-2 x} d x=1 \Rightarrow k \int_0^{\infty} x e^{-2 x} d x=1 \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} k\left(\frac{1!}{2^{1+1}}\right)=1\left(\because \int_0^{\infty} x^n e^{-a x} d x=\frac{n!}{a^{n+1}}\right) \\ \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} k \times \frac{1}{4}=1 \Rightarrow k=4 \end{gathered}\)

\(\begin{aligned} \mathrm{n}=10, \mathrm{p}=\frac{1}{5}, \mathrm{k}=4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{P}(X=x)={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}, x=0,1,2, \ldots, \mathrm{n}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{P}(X=4)={ }^{10} \mathrm{C}_4\left(\frac{1}{5}\right)^4\left(\frac{4}{5}\right)^6 \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =210 \times\left(\frac{1}{5}\right)^4\left(\frac{4}{5}\right)^6=210 \times \frac{4^6}{5^{10}} \end{aligned}\)