R-ன் மீது \(a\ast b=a.|b|\) 
\(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R} \Rightarrow \mathrm{a} .|b| \in \mathbb{R}, \mathrm{a} \in \mathbb{R}\) மற்றும் \(|b| \in \mathbb{R}\) 
எனவே * ஆனது Rன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது\(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) 
x-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) \(\because \cfrac { d }{ dx } { e }^{ -x }={ e }^{ -x }\left( -1 \right) \) 
மீண்டும் வகைப்படுத்த, நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } ={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =y\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -y=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) என்பது \(y''-y=0\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.
எனவே \(y={ ae }^{ x }+{ be }^{ -x }\) என்பது \({ y }^{ '' }-y=0\) என்ற வகைகெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்.

x = a என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்.
தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகியவை பல்லுறுப்புக் கோவைகள். ஆதலால் வகையிடத்தக்கவை . எனவே , லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow a}{\lim}(\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a})\)=\(\underset{x\rightarrow a}{\lim}(\frac{n\times x^{n-1}}{1})\)
\(=n \times a^{n-1} \).

கொடுக்கப்பட்ட (x₁,y₁,z₁), (2, -1, 3) (x₂, y₂, z₂) (4, 2, 1) இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ -2 } \)

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
\(\therefore sin\left( \frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =sin\left( \frac { 1 }{ 2 } \theta \right) \)
\(=sin\frac { \theta }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 1-\frac { 4 }{ 5 } }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 5-4 }{ 5(2) } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 10 } } \)

கொடுக்கப்பட்ட \(A(adj\quad A)=\left[ \begin{matrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \quad ...(1)\)
A(adj A)=(adj A) A=|A|.I₂ என அறிவோம் ....(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட கிடைப்பது |A|=10

பரவளையத்தின் முனை V₁ மற்றும் அதிபரவளையத்தின் முனை V₂ என்க.
\(\overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ }{ { F }_{ 1 }{ F }_{ 2 } } \) = 14 − 2 = 12 மீ, 2c = 12, c = 6
மையத்திலிருந்து அதிபரவளையத்தின் முனைக்கு உள்ள தூரம் a = 6 - 1 = 5
b² = c² -a²
= 36 − 25 = 11
எனவே அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 11 } =1\)

நேர்க்கோடு 3x +4y = 12 -ஐ வெட்டுத்துண்டு வடிவில் எழுத \(\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ 3 } =1\) எனக் கிடைக்கும்.
எனவே புள்ளிகள் A மற்றும் B முறையே (4, 0) மற்றும் (0, 3).
வட்டத்தின் சமன்பாடு விட்ட வடிவம் 
(x − x₁ )(x − x₂ ) + ( y − y₁ )( y − y₂ ) = 0
(x − 4)(x − 0) + ( y − 0)( y − 3) = 0
x² + y² − 4x − 3y = 0

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

tan^-1(\(\sqrt3\)) = y  என்க.
எனவே tan y =\(\sqrt3\).
ஆகையால், y = \(\frac{\pi}{3}\).
ஏனெனில் \(\frac{\pi}{3}\) \(\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
எனவே, tan^-1(\(\sqrt3\)) ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{3}\)ஆகும்.

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } ;Q=1-\sqrt { x } \) 
\(\sqrt { x } =t\Rightarrow { t }^{ 2 }=x\) என்க.
 \({ x }^{ 1/2 }=t\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2 } x^{ 1/2-1 }dx=dt\) 
 \(\cfrac { 1 }{ 2{ x }^{ 1/2 } } dx=dt\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx=dt\) 
\(\cfrac { dx }{ \sqrt { x } } =2dt\) 
\({ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } } dx }\) 
=\({ e }^{ \int { \frac { 1 }{ 1-{ r }^{ 2 } } } }\) 
=\({ e }^{ log\left( \frac { 1+t }{ 1-t } \right) }\) 
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { a+x }{ a-x } \right| } \right] \left[ a=1;x=t \right] \) 
\(\cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { a+x }{ a-x } \right| =2\times \cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { 1+t }{ 1-t } \right| \) 
தொ.கா= \(\cfrac { 1+t }{ 1-t } \) 
தொ.கா= \(\cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு \(y\times I.F=\int { Q\times I.F } dx+c\) \(\int { \left( 1+\sqrt { x } \right) } dx+c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { { x }^{ 3/2 } }{ 3/2 } +c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3/2 }+c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { 2 }{ 3 } x\sqrt { x } +c\) \(\left[ \because { x }^{ 3/2 }=x\sqrt { x } \right] \)

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
25-x²=t என்க.
-2xdx = dt 
\(xdx=-\cfrac { dt }{ 2 } \) 
இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(dy=x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } dx\) 
\(dy-\sqrt { t } \cfrac { dt }{ 2 } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dt } \) 
\(y=-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(y=\cfrac { -{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C }{ 3 } \) 
= \(3y=-{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+3c\) 
\(3y=-\left( 25-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }+3C\) 
\(\left( \because t=25-{ x }^{ 2 } \right) \)

\(f(x)=\frac{1}{x}\) என்க . f (x) -ன் டெய்லரின் விரிவு
\(f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=0}a_{n}(x-2)^{n},\) இங்கு \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(2)}{n!}\).
f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 2 -வில் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{(x-2)}{1!}+\frac{1}{4}\frac{(x-2)^{2}}{2!}-\frac{3}{8}\frac{3(x-2)^{3}}{3!}+...\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{(x-2)}{4}+\frac{(x-2)^{2}}{8}-\frac{(x-2)^{3}}{16}+...\)

கொடுக்கப்பட்ட F₁P + F₂P = 8
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
F₁P + F₂P = 2a
\(\therefore 2a=8\) 
\(\Rightarrow a=4\) 
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
= F₁F₂ = 6
2ae = 6
\(\Rightarrow\) ae = 3
\(\therefore\) 4(e) = 3
\(\Rightarrow e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 

\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-e^{ 2 })\) 
= \(16\left( 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } \right) =16\left( 1-\cfrac { 7 }{ 16 } \right) =7\) 
\(\therefore\) அவர் ஓடுகின்ற பாதை ஒரு நீள் வட்டம் மற்றும் அதனுடைய சமன்பாடு
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 7 } =1\)

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
(2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x²    ....(1)
x=0(1) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை 
∴ (1) ஐ பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(\left( 2x+\frac { 1 }{ x } -3 \right) \left( 2x+\frac { 1 }{ x } +5 \right) =9\quad \quad \quad \quad ...(2)\)
பிரதியிடு  \(2x+\frac { 1 }{ x } =y\)
∴ (2) ⇒(y-3)(y+5)=9
⇒ y²+2y-15=9
அல்லது  y²+2y-24=0
⇒ (y+6)(y-4)=0
⇒ y=-6, -4
நிலை (i)
y=-6, 2x+\(\frac{1}{x}\)=-6
எனில் 2x²+6x+1=0 
⇒\(x = {-6 \pm \sqrt{36-8} \over 4}\)
\(x=-3\pm \frac { \sqrt { 7 } }{ 2 } \)
நிலை (ii)
y=4 எனில்,
\(2x+\frac { 1 }{ x } =4\)
⇒ 2x²-4x+1=0
⇒ x=\(x = {4 \pm \sqrt{16-8} \over 4}\)
\(x=\frac { 2\pm \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
மூலங்கள் 
\(\frac { -3+\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { -3-\sqrt { 7 } }{ 2 } ,\frac { 2+\sqrt { 2 } }{ 2 } ,\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளின் சமன்பாட்டை \(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { r } =\vec { c } +s \vec { d } \) உடன் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது
\(\vec { a } =-\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +7\hat { k } ,\) \(\vec { c } =2\hat { i } +4\hat { j } +6\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +4\hat { j } +7\hat { k } \) ஆகும்.
இரண்டு கோடுகள் ஒரே தளம் அமையும் கோடுகளாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =0\)
இங்கு, \(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } -\vec { a } =3\hat { i } +7\hat { j } +11\hat { k } \)
இப்பொழுது \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =(3\hat { i } +7\hat { j } +11\hat { k } ).(7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } )\) = 0 ஆகும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளும் ஒரே தளத்தில் அமையும். இப்பொழுது, இவ்விரு கோடுகளும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்போம். ஒரே தளத்தில் அமையும் இரண்டு கோடுகளைக் கொண்ட தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடு
\((\vec { r } -\vec { a } ).(\vec { b } \times \vec { d } )=0\) ஆகும் என நாமறிவோம்.
இச்சமன்பாட்டில் \(\vec { a } =-\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } \times \vec { d } =7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } \) எனப்பிரதியிட, நாம் பெறுவது \((\vec { r } -(-\hat { i } -3\hat { j } -\hat { k } )).(7\hat { i } -14\hat { j } +7\hat { k } )=0\) என்ற சமன்பாடாகும். அதாவது \(\vec { r } .(\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )=0\) ஆகும். இதுவே, தேவையான தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடாகும்.

(1 + i)¹⁸
1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } ;\alpha ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 4 } \)  (\(\because \) 1+i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, 1+ i = \(\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
(1 + i)¹⁸ = \({ \left[ \sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ 18 }\)\(= { \left[ \sqrt { 2 } ^{ 18 }\left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right]^{18}} \)
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
(1 + i)¹⁸ = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { 18\pi }{ 4 } +isin\frac { 18\pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { \pi }{ 2 } +isin\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
(1 + i)¹⁸ = 2⁹(i) = 512i

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x+1 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ 3 } =\cfrac { z-1 }{ -1 } \Rightarrow A\) என்பது (-1, 3, 1)
மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\cfrac { x+1 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ 3 } =\cfrac { z-1 }{ -1 } =t\)  என்க

D யிலிருந்து நேர்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து கோட்டின் F எனில் அதனுடைய வடிவம்
(2t-1, 3t+3, -t+1)
\(\Rightarrow \vec { OF } =\left( 2t-1 \right) \hat { i } +\left( 3t+3 \right) \hat { j } +\left( -1+1 \right) \hat { k } \) 
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி  D(5, 4, 2)
\(\Rightarrow \vec { OD } =5\hat { i } +4\hat { j } +2\hat { k } \) 
\(\therefore \vec { DF } =\vec { OF } -\vec { OD } \) 
= \(\left( 2t-1-2 \right) \hat { i } +\left( 3t+3-4 \right) \hat { j } +\left( -t+1-2 \right) \hat { k } \) 
\(\vec { b } \bot \vec { DF } \) ஆதலால் நம்மிடம் \(\vec { b } .\vec { DF } =0\) 
\(\Rightarrow 2(2t-6)+3(t-1)-1(t-1)=0\) 
\(\Rightarrow 4t-12+9t-3+t+1=0\) 
\(\Rightarrow 14t-14=0\) 
\(\Rightarrow 14t=14\) 
\(\Rightarrow t=1\) 
(1) லிருந்து F ஆனது (2(1)-1, 3(1)+3, -1+1) 
= (1, 6, 0)
\(\therefore\) செங்குத்தின் அடிப்பகுதி (1, 6, 0)
\(\therefore\)  செங்குத்து DF ன் சமன்பாடு என்பது (5, 4, 2) மற்றும் அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு என்பது 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-5 }{ 1-5 } =\cfrac { y-4 }{ 6-4 } =\cfrac { z-2 }{ 0-2 } \) 
[\(\therefore\) (x₁, y₁, z₁), (5, 4, 2), (x₂, y₂, z₂) என்பது (1, 6, 0)
\(\Rightarrow \cfrac { x-5 }{ -4 } =\cfrac { y-4 }{ 2 } =\cfrac { z-2 }{ -2 } \) தேவையான செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

y = ax² + bx + c என்ற பாதையானது (10,8), (20,16), (40,22) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 100a + 10b + c = 8, 400a + 20b + c = 16, 1600a + 40b + c = 22 என்ற  சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்.
\(\ \triangle =\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 1 \\ 1600 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =1000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)= 1000 [-2 + 12 - 16] = -6000
\({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 8 & 10 & 1 \\ 16 & 20 & 1 \\ 22 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =20\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) = 20[-8 + 3 + 10] = 100,
\({ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 100 & 8 & 1 \\ 400 & 16 & 1 \\ 1600 & 22 & 1 \end{matrix} \right| =200\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \\ 16 & 11 & 1 \end{matrix} \right| \) = 200 [-3 + 48 - 84] = -7800,
\({ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 8 \\ 400 & 20 & 16 \\ 1600 & 40 & 22 \end{matrix} \right| =2000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 16 & 4 & 11 \end{matrix} \right| \)= 2000 [-10 + 84 - 64] = 20000.
கிராமரின் விதிப்படி, a = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =-\frac { 1 }{ 60 } ,b=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { 7800 }{ 6000 } =\frac { 78 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 10 } ,c=\frac { { \triangle }_{ 3 } }{ \triangle } =\frac { 20000 }{ 6000 } =-\frac { 20 }{ 6 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
எனவே பாதையின் சமன்பாடு \(y =-\frac { 1 }{ 60 } { x }^{ 2 }+\frac { 13 }{ 10 } x-\frac { 10 }{ 3 } \)
x = 70 எனில் y = 6எனக் கிடைக்கிறது. எனவே பந்தானது எல்லைக்கோட்டிற்கு நேர் மேலாக 6 மீ உயரத்தில் செல்கிறது மற்றும் எல்லைக் கோட்டின் அருகில் உள்ள ஆட்டக்காரர் எகிறிக் குதித்துப் பிடிக்க முயன்றாலும் அவரால் அப்பந்தினைப் பிடிக்க இயலாது. எனவே அப்பந்து மிகப்பெரிய 6 ஆகச் சென்றது மற்றும் அவ்வணி ஆட்டத்தினை வென்றது.

\(q \rightarrow p \equiv \neg p \rightarrow \neg q\)

மெய்மை அட்டவணையில் \(q\rightarrow p\) மற்றும் \(\neg p\rightarrow \neg q\) ஆகியவற்றுக்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளதால்.அவை தர்க்க சமமானவை.
\(\therefore\) \(q \rightarrow p \equiv \neg p \rightarrow \neg q\) 
எனவே நிறுவப்பட்டது.

U (x, y) = e^x sin y ; x = st² ; y = s²t
\(\frac { \partial U }{ \partial x } \) = e^x sin y ; \(\frac { \partial U }{ \partial y } \) = e^x cos y
\(\frac { \partial U }{ \partial x } \) = \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) sin (s²t)
\(\frac { \partial U }{ \partial y } \) = \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos (s²t)
\(\frac{dx}{dt}\) = 2st; \(\frac{dy}{dt}\) = s²
\(\frac{dx}{ds}\) = t²; \(\frac{dy}{ds}\) = 2 st
\(\frac { dU }{ ds } =\frac { \partial U }{ \partial x } .\frac { dx }{ ds } +\frac { \partial U }{ \partial y } .\frac { dy }{ ds } \)
= \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\). sin (s²t) (t²) + \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos(s^2t).(2^st)
∴ \({ \left( \frac { \partial U }{ \partial s } \right) }_{ (s=t=1) }\) = e¹ sin (1) + 2e¹ cos (1)
= e [sin (1) + 2 cos (1)] மற்றும் சங்கிலி விதிப்படி 
\(\frac { dU }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } \)
=  \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) . sin (s²t)(2^st) + \({ e }^{ { st }^{ 2 } }\) cos (s²t). (s²)
∴ \({ \left( \frac { \partial U }{ \partial t } \right) }_{ (s=t=1) }\) = 2e¹ sin (1) + e¹ cos (1)
\({ \left( \frac { \partial U }{ \partial t } \right) }\)= e [2 sin (1) + cos (1)]

முதலில் \({ V }_{ x },{ V }_{ y },{ V }_{ z }\) ஆகியவற்றைக் காணலா.
இப்போது,\({ V }_{ x }=\cfrac { \partial v }{ \partial x } =y+z\) 
\({ V }_{ y }=\cfrac { \partial v }{ \partial y } =x+z\) 
\({ V }_{ z }=\cfrac { \partial v }{ \partial z } =y+x\) 
வகையீடு 
\(dV={ V }_{ x }dx+{ V }_{ y }dy+{ V }_{ z }dz\) 
= \(\left( y+z \right) dx+\left( x+z \right) dy+\left( y+x \right) dz\)

\(x=2a{ cos }^{ 2 }\theta \) என்க \(dx=-4a \cos\theta \sin\theta d\theta \) 
x=0 எனில் \(2a{ cos }^{ 2 }\theta =0\) எனவே \(\theta =\frac { \pi }{ 2 } \) x = 2a எனில்\(2a{ cos }^{ 2 }\theta =2a\) .எனவே \(\theta =0\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ 2a }{ { x }^{ 2 }\sqrt { 2ax-{ x }^{ 2 } } } dx\) என்க.
= \(\int _{ \frac { \pi }{ 2 } }^{ 0 }{ { 4a }^{ 2 }{ cos }^{ 4 }\theta \sqrt { { 4a }^{ 2 }{ \cos }^{ 2 }\theta -{ 4a }^{ 2 }{ cos }^{ 4 }\theta } } \left( -4a \cos\theta \sin\theta \right) d\theta \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { 4a }^{ 2 } } { cos }^{ 4 }\theta 2a \cos\theta \sin\theta \left( 4a \cos\theta \sin\theta \right) d\theta \) 
= \(32{ a }^{ 4 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { cos }^{ 6 }\theta { \sin }^{ 2 }\theta d\theta } \) 
= \(32{ a }^{ 4 }\times \cfrac { 1 }{ 8 }\times \cfrac {5}{6} \times \cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } =\frac {5\pi { a }^{ 4 }}{8}\) 

f(x) = tan^-1(x)
⇒ f(0) = tan-1(0) = 0
\({ f }^{ -1 }(x)=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ={ (1+{ x }^{ 2 }) }^{ -1 }\)
⇒ f^I(0) = 1
f^II(x) = -1(1 + x)^-2 (2x)
= -2x(1 + x²)^-2
⇒ f^II(0) = 0
= -2[-4x²(1 + x²)^-3 + (1 + x²)^-2]
f^III(x) = -2[x(-2)(1+x²)^-3 (2x) + (1 + x²)^-2]
⇒ f^III(0) = 2
f^IV(x) = -2[-4x²(-3) (1 + x²)^-4 (2x) + (1 + x²)-3(-8x) + (1 + x²)^-3(-2)(2x)]
⇒ f^IIl(0) = 2
= - 2 [24x³ (1 + x²)^-4-8x (1+ x²)³ -4x (1 + x²)³]
= - 2 [24x³ (1 + x²)^-4-12x (1+ x²)³]
f^IV(x) = 24[2x³ (1 + x²)-4 - x (1 + x²)^-3]
⇒ f^Il(0) = 0
f^V(x) = - 24 [2x³ (-4)(1 +x²)^-5(2x) + (1+ x²)^-4(6x² -x (- 3)(1 + x²)-4(2x) - (1 + x²)³]
= - 24 [16x⁴ (1 + x²)^-5+ 6x² (1+ x²)-4- (1 + x²)³]
= - 24 [16x⁴ (1 + x²)^-5+12x² (1+ x²)^-4- (1 + x²)³] 
⇒ fV(0) = 24
⇒ f(0) = tan-1 (0) = 0
⇒ f^I(0) = 1
⇒ f^II(0) = 0
⇒ f^III(0) = -2
⇒ f^IV(0) = 0
⇒ f^V(0) = 24
மெக்லாரனின் விரிவு 
\(f(x)=f(0)+\frac { { f }^{ 1 }(0) }{ 1! } x+\frac { { f }^{ II }(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { { f }^{ III }(0) }{ 3! } { x }^{ 3 }+\frac { { f }^{ IV }(0) }{ 4! } { x }^{ 4 }+..\)
= \(0+\frac { 1 }{ 1! } x+0\frac { 2 }{ 3! } { x }^{ 3 }+0+\frac { 24 }{ 5! } { x }^{ 5 }+\)...
= x - \(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } +\).......

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\({ 2 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =3log7-log4-log57\)
\(\Rightarrow \quad x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)

\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

கொடுக்கப்பட்டது z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }=-2\bar { z } \)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, \(\left| { z }^{ 3 } \right| =\left| -2\bar { z } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 3 }=2\left| z \right| \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \left[ { \left| z \right| }^{ 2 }-2 \right] =0\)
\(\left| z \right| =0\) அல்லது \({ \left| z \right| }^{ 2 }-2=0\)
\(\Rightarrow z =0\) ஒரு தீர்வு ...(1)
\(\left| { z }^{ 2 } \right| =2\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }=2\Rightarrow (z{ \bar { z } ) }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow z\bar { z } =\sqrt { 2 } \Rightarrow \bar { z } =\frac { \sqrt { 2 } }{ z } \)
கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }+2.\frac { \sqrt { 2 } }{ z } =0\)
\(\Rightarrow { z }^{ 4 }+2\sqrt { 2 } =0\) ...(2)
z⁴ = -4
இது 4 பூஜ்யமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z³ + 2\(\bar { z } \) க்கு 5 தீர்வுகள்.

கொடுத்துள்ள அணியை A என்க. தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகளைப்  பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\(A = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ -6 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -13 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -45 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -30 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-15) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை-ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் மூன்று அபூச்சிய நிரைகளை உடையது. எனவே \(\rho \)(A) = 3
தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகள் ஓர் அணியின் மீது செயல்படுத்துவது என்பது அந்த அணியை முன்புறமாக ஒரு சிறப்பு வகை (special class) அணிகளால் பெருக்குவதாகும். அந்த அணிகள் தொடக்க நிலை அணிகள் (Elementary matrices) எனப்படும்.

a ஆனது குறைமதிப்பாகவும் b ஆனது பின்னமதிப்பாகவும் .: இருக்கும் பொழுது, \(\mathrm{a}^{\mathrm{b}} \notin \mathbb{R}\)
எ.கா: \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} \notin \mathbb{R},\) இங்கு \(-2, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\((-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5} \notin \mathbb{R}\), இங்கு \(-5, \frac{1}{2} \in \mathbb{R}\)
\(\therefore \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}^{\mathrm{b}}\) ஆனது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

y² = x மற்றும் x² = y என்பன பரவளையங்களின் திட்ட வடிவங்களாகும். அவற்றின் தொடுகோடுகள் முறையே y-அச்சு மற்றும் x-அச்சுகளாகும். x-அச்சிற்கும், y-அச்சிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் = \(\frac { \pi }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\operatorname{adj}(\mathrm{B}). \operatorname{adj}(\mathrm{A}) \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 3+2 \\ -6+4 & -9-1 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\left[\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{array}\right] \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)