\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 1 }{ 2 } \) என்க.
\(\Rightarrow sin\theta =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\therefore sin\left( { cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \right) =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)

y² = -8x 
(a) முனை (0, 0)
\(\Rightarrow h=0,k=0\)
(b) குவியம் (-2, 0)
\(\Rightarrow (0,-2,0+0)\Rightarrow \left( -2,0 \right) \)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = 2
\(\Rightarrow x=0+2\Rightarrow x=2\)
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8

\({ \tan }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { 5\pi }{ 2 } \right) \right) \)
tan^-1 \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = x என்க.
⇒ tan^-1 (-1) = x
⇒ -1 = tan x
⇒ tan x = -1 = -tan \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ tan x = tan \(\left( \frac { -\pi }{ 4 } \right) \)
⇒ x = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)
[∵ \(-\frac { \pi }{ 4 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ tan \(\left( \sin\left( \frac { -5\pi }{ 2 } \right) \right) \) = \(-\frac { \pi }{ 4 } \)

x, y, z அச்சுக்களில் முறையே a, b, c என்ற வெட்டுத் துண்டுகளை ஏற்படுத்தும் தளத்தின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1\) ஆகும். ஆய அச்சுக்களில் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகளின் தலைகீழிகளின் கூடுதல் ஒருமாறிலி என்பதால் \(\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c } =k\)ஆகும். இங்கு, k ஒரு மாறிலி. இதனை \(\frac { 1 }{ a } \left( \frac { 1 }{ k } \right) +\frac { 1 }{ b } \left( \frac { 1 }{ k } \right) +\frac { 1 }{ c } \left( \frac { 1 }{ k } \right) =1\) என எழுதலாம்.
இச்சமன்பாடு, \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1\)என்ற தளமானது \(\left( \frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k } \right) \)என்ற நிலைத்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனக்காட்டுகிறது.

வழக்கமான குறியீடுகளுடன் முக்கோணம் ABC-ல் ABC, \(\vec { BC } =\vec { a } ,\vec { CA } =\vec { b } \)மற்றும் \(\vec { AB } =\vec { c } \) என்க.
எனவே, \(\left| \vec { BC } \right| =a\), \(\left| \vec { CA } \right| =b\), \(\left| \vec { AB} \right| =c\) மற்றும் \(\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } =\vec { 0 } \)
எனவே, \(\vec { BC } =-\vec { CA } -\vec { AB } \)
\(\vec { BC } .\vec { BC } =(-\vec { CA } -\vec { AB } ).(-\vec { CA } -\vec { AB } )\)
⇒\({ \left| \vec { BC } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { CA } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+\vec { 2CA } .\vec { AB } \)
⇒ a² = b²+c²+2bc cos(\(\pi \) - A)
⇒ a² = b²+c²−2bc cos A.
முடிவுகள் (ii) மற்றும் (iii) ஆகியவற்றை இதேபோல் நிறுவலாம்.

A = 11, C = -25, D = -44, E = 50 மற்றும் F = -256
இங்கு \(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

இருசமபக்க முக்கோணம் ABC-ல், AB = AC, D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க. AD ஐ இணைக்க.
ஆதி A எனக் கருதுக.
B-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\) (என்க)
C -ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A C}=\vec{c}\)(என்க)
D-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A D}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
(\(\because\)D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி)
\( \triangle \mathrm{ABC}, \) - \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{c}-\vec{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\right) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\( \\ =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{b}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\(=\frac{1}{2}\left[|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\right]=\frac{1}{2}(0)\)
\( \\ \{\because|\vec{c}|=|\vec{b}|\} \)
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow \overrightarrow{A D} \perp \overrightarrow{B C}\)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

அச்சு AX ஐ அச்சாகவும் மற்றும் Aன் AY ஐ அச்சு காண்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
CA = 15, FG = 120
CF = CG = 60
F என்பது (15,160)
F ஆனது (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
\({ 60 }^{ 2 }=4a(15)\Rightarrow a=60\) 
y² = 240x
y = 24எனில், 24² = 240(x)
\(\Rightarrow x=\cfrac { 24\times 24 }{ 240 } \) 
படத்திலிருந்து
BD = BE - ED = 15 - 2.4 = 12.6மீ
ஆகையால் தேவையான உயரம் என்பது 12.6மீ

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

LHS = (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵)
= (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵) [∵  ω⁴ = ω³ . ω¹ = ω]
= (1 + ω + 5ω²) (1 + ω² + 5ω) (5 + ω + ω²)
= (-ω² + 5ω²) (-ω + 5ω) (5 - 1)
= (4ω²) (4ω)(4) = 64(1) = 64 [∵ ω³ = 1]
= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\left( 2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } \right) =3\) மற்றும் 3x - 5y + 4z + 11 = 0
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடானது 
\(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) 
\(\left( \vec { r } .{ { \vec { n } }_{ 1 }-{ d }_{ 1 } } \right) +\lambda \left( \vec { r } .{ \vec { n } }_{ 2 }-{ d }_{ 2 } \right) =0\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +\hat { zk } \) பிரதியிட
\({ \vec { n } }_{ 1 }=2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } \), \({ \vec { n } }_{ 2 }=3\hat { i } -5\hat { j } +4\hat { k } \)
\({ d }_{ 1 }=+3,{ d }_{ 2 }=-11\)
\(\left[ \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .(2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } -3) \right] +\gamma \left[ \left( x\hat { i } +yj\hat { +2\hat { k } } \right) .\left( 3\hat { i } -5\hat { j } +4\hat { k } \right) +11 \right] =0\)
\(\Rightarrow (2x+7y+4z-3)+\lambda (3x-5y+4z+11\_ =0\)
\(\left[ 2(-2)-7(1)+4(3)-3 \right] +\lambda \left[ -6-5+12+11 \right] =0\)
\(\Rightarrow (-4-7+12-3)+(12)=0\)
\(\Rightarrow -2+12\lambda =0\Rightarrow 12\lambda =2\Rightarrow \lambda =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
\(\lambda =\cfrac { 1 }{ 6 } \) என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
புள்ளி(-2,1,3) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது 
\(\left( 2x-7y+4z-3 \right) +\cfrac { 1 }{ 6 } \left( 3x-5y+11 \right) =0\)    ..(2)
\(\Rightarrow\) 12x - 42y + 24z - 18 + 3x - 5y + 4z + 11 = 0
\(\Rightarrow\) 15x - 47y + 28z - 7 = 0 என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 

வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம்P(x, y) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட PB-PA = 6

தூரத்திற்கான சமன்பாட்டை பயன்படுத்த
\(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } =6\)
⇒ \(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } =6\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
(x-5)²+y²+(x+5)²+y²
\(-2\sqrt { [(x-5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }][(x+5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }] } =36\)

= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \)
⇒ x² + y² + 7
= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \) [∵ ÷2]
மீண்டும் வர்க்கப்படுத்த,
x⁴+y⁴+49+2x²y²+14y²+14x²
= (x²-10x+25y²) (x²+10x+25+y²)

⇒ 14y²+14x² = -50x²+50y²+625-49
⇒ 64x²-36y² = 576
÷ 4 கிடைப்பது
16x²-9y² = 144
\(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \) = 1
எனவே வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் அதிபரவளையத்திற்கு உட்பட்டது. அதன் சமன்பாடு \(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \)=1

A² = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] \),
A² + xA + yI₂ = O₂ ⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{matrix} \right] +x\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] +y\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left[ \begin{matrix} 22+4x+y & 27+x \\ 18+2x & 31+5x+y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
இதிலிருந்து நமக்குக் கிடைப்பவை 22 + 4x + y = 0, 31 + 5x + y = 0, 27 + 3x = 0 மற்றும் 18 + 2x = 0
எனவே x = −9 மற்றும் y = 14. பின்பு நமக்குக் கிடைப்பது A²-9A+14I₂ = O₂
இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் A^-1 -ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது A-9I₂ + 14A^-1 = O₂
இதிலிருந்து கிடைப்பது
A^-1 = \(\frac { 1 }{ 14 } (9{ I }_{ 2 }-A)=\frac { 1 }{ 14 } \left( 9\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \right) =\frac { 1 }{ 14 } \left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)

\(d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \)
கொடுக்கப்பட்டது \(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\right| \)
\(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right| \Rightarrow 6=|3+k| \\ \Rightarrow \pm 6=3+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=3,-9\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \\ \vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \\ \vec{a} \| \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} =1 \)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள்)
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=1(\vec{b})-0(\vec{c})=\vec{b}\)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1  \\ \because \tan ^{-1} x   =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right)   =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

 \(\cot ^{-1} 2+\cot ^{-1} 3 =\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\   =\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{b}{6}}\right]=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\)
மூன்றாவது கோணம் = \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

கோடிற்கு \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y+1 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 5 } \)
(x₁, y₁, z₁), (1, -1, 1), (l₁, m₁, n₁), (3, 2, 5)
கோடு \(\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ -2 } \) கிடைப்பது (x₂, y₂, z₂), (-2, 1, -1)(l₂, m₂, n₂), 4, 3, -2
வெட்டுக் கோடுகளுக்கான நிபந்தனை
\(\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } & { m }_{ 1 } & { n }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } & { m }_{ 2 } & { n }_{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-1 & 1+1 & -1-1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \Rightarrow \left| \begin{matrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \)
= -3(-4 - 15) - 2(-6 -20) - 2(9 - 8)
= -3(-19) - 2(-26) - 2(1)
= 57 + 52 - 2 = 109 - 2 = 107 ≠ 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதில்லை.

tan^-1 \(\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)


\(\Rightarrow \frac { { 2x }^{ 2 }-4 }{ { x }^{ 2 }-4-{ x }^{ 2 }+{ 1 } } =1\)
⇒ 2x² - 4 = -3
⇒ 2x² = -3 + 4 = 1
⇒ \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(x=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க Aன் தரம் 3விட குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில் ஒவ்வொரு 3 வரிசையுடைய சிற்றிணிக்கோவையும் பூச்சியமாக இருத்தல் வேண்டும்.
\(\therefore \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} h-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| +0+0=0\)
⇒ 3(h-2)=0
⇒ h-2=0⇒h=2

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 3 x 3 வரிசை அணி 
∴ ρ(A)≤(3,3)-ன் மீச்சிறு =3
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசை 3 ஆகும்.
\(\left| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}\)
[R₁-ன் மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
=1(-4+6)+2(-2+30)+3(2-20)
=1(2)+2(28)+3(-18)
=2+56-54=58-54=4≠0
∴ ρ(A)=3.

வரையறைப்படி, \(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -7\hat { k } \)
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =-35\hat { i } -21\hat { j } -35\hat { k } \)     ...(1)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =14\hat { i } +3\hat { j } -13\hat { k } \)
\(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 14 & 3 & -13 \end{matrix} \right| =-33\hat { i } -54\hat { j } -48\hat { k } \)   ...(2)
எனவே,சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \vec { c } \neq \vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) எனக் காண்கிறோம்.

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 9 \\ 8 \\ \mu \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகளில் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 9 \\ 8 \\ \mu \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 7 } { R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -5 \\ 0 & { -15 } & -45 \\ 0 & 0 & \lambda -5 \end{matrix}|\begin{matrix} -8 \\ 47 \\ \mu-9 \end{matrix} \right] \)
நிலை(i) λ = 5, µ ≠ 9
ρ(A) = 2, ρ([A |B]) = 3
ρ(A) ≠ ρ([A |B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது. ஒருங்கமைவற்றது
நிலை (ii) λ ≠ 5, μ ε R எனில்
ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
ρ(A) = P([A|B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii) λ = 5, μ = 9
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
ρ(A) = ρ([A | B]) = 2 < n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது