சுரங்க பாதையின் குறுக்கு வெட்டு நீள்வட்ட வடிவில் உள்ளது என்க.

கொடுக்கப்பட்ட AA' = 16மீ \(\Rightarrow\) OA = 8 மீ மற்றும் OB = 5மீ 
\(\therefore\) \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } =1\) 
சாலையின் அகலம் BB' மற்றும் AA' சுரங்கப் பாதை திறப்பின் முனைகள் என்க.
CB = 8 மற்றும் BD = 4
D(8, 4) என்ற புள்ளி நீள்வட்டத்தில் உள்ளது.
\( \frac{8^2}{a^2}+\frac{4^2}{5^2} =1 \\ \Rightarrow a^2 =\frac{25}{9} \times 64 \\ \Rightarrow a =\frac{40}{3} \) 
\( \mathrm{AA}^{\prime} =2 a=\frac{80}{3} \\ =26.66 \) 
சுரங்கப்பாதையின் திறப்பின் அகலம் = 26.66 மீ 

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

\( \frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
a² = 25 மற்றும் b² = 9 மற்றும் c² = a² + b²
\(\Rightarrow { C }^{ 2 }=25+9=16\Rightarrow C=4\)
(a) மையம் (0, 0) \(\Rightarrow\) h = 0, k = 0
(b) குவியங்கள் (h - c, k), (h + c, k)
\(\Rightarrow\) (0-4, 0), (0 + 4, 0)
\(\Rightarrow \) (-4, 0) மற்றும் (4, 0)
(c) முனைகள் (h-a, k) மற்றும் (h+a, k)
\(\Rightarrow\) (0-5, 0) மற்றும் (0+5, 0)
\(\Rightarrow\) (-5, 0) மற்றும் (5, 0)
(d) இயக்குவரைகள் \(x=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x=\pm { \cfrac { 5 }{ e } }\)
\(e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore \) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(x-\pm \cfrac { 5 }{ \frac { 4 }{ 5 } } \Rightarrow x=\pm \cfrac { 25 }{ 4 } \)

\(\hat { a } =\vec { OA } \)மற்றும்  \(\hat { b } =\vec { OB } \)என்பன அலகு வெக்டர்கள் என்க மற்றும் அவைகள் கோணங்கள் \(\alpha ,\beta \) வை x-அச்சின் மிகையுடன் ஏற்படுத்துகின்றன.AL மற்றும் BM \(\bot '\) லிருந்து x அச்சு எனுமாறு வரைக 
 பிறகு \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \) 
\(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| cos\alpha =cos\alpha \)
\(\left[ \because \Delta OAL,sin\alpha =\cfrac { opp }{ hyp } cos\alpha =\cfrac { adj }{ hyp } \right] \) 
\(\therefore \vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| =cos\alpha \hat { i } \) 
\(\vec { LA } =\left| \vec { LA } \right| \hat { j } =sin\alpha \hat { j } \) 
\(\therefore \hat { a } =\vec { OA } =\vec { OL } +\vec { LA } \) 
[\(\triangle\) விதியை பயன்படுத்தி கூட்டுக]
\(\hat { a } =cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \) 
அதை போல \(\hat { b } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \) 
\(\hat { a } \) மற்றும் \(\hat { b } \) க்கு இடையேயான கோணம்\(\left( \alpha -\beta \right) \) 
 \(\therefore \hat { a } .\hat { b } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\left( \alpha -\beta \right) \)
\(\left[ \because \left| \vec { a } \right| =\left| \vec { b } \right| =1 \right] \) 
மேலும் \(\hat { a } .\hat { b } =\left( cos\alpha \hat { i } +sin\alpha \hat { j } \right) \left( cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \right) \) 
\(\hat { a } .\hat { b } =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 
(3) மற்றும் (4) லிருந்து 
\(cos\left( \alpha -\beta \right) =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \) 

எனவே \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right)\)என அறிவோம் 
ஆகையால், \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 7 } }{ 1-\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 31 }{ 17 } \right) \)

tan (tan^-1 (1947)) = 1947

A = 11, C = -25, D = -44, E = 50 மற்றும் F = -256
இங்கு \(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக்கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபரவளையத்தை குறிக்கிறது.

இங்கு A = 3, C = 2 மற்றும் F = -14
\(A\neq C\) மற்றும் A மற்றும் C  ஒரே குறியை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு நீள்வட்டத்தை குறிக்கிறது.

z + w
= (5 - 2i) + (-1 + 3i)
= (5 -1) + i (-2 + 3)
=4 + i(1)
= 4 + i

கொடுக்கப்பட்ட (i) y = sin 7x
sin x- ன் வீச்சு 1 [சைன் வளைவரையின் மீப்பெரு மதிப்பு 1
⇒ sin 7x-ன் வீச்சு கூட 1.
சார்பின் காலம் p எனில் f(x + p) = f(x)
சைன் சார்பின் காலம் 2π. ஆதலால் sin 7x ன் காலம் \(\frac { 2\pi }{ 7 } \) 
(ii) y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π
(iii) y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வலதுபுறம் உள்ள வெக்டரில் \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) -ஐ வெக்டர் முப்பெருக்கலின் முதல் வெக்டராக எடுத்துக்கொண்டு \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) \)-ன் விரிவாக்கம் காண்போம். எனவே
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) =\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } \right) \vec { a } -\left( \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { a}\right)\vec { c } =\left( \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \right) \vec { a } \)

நமது குறியிடல் முறைப்படி a_n=2 மற்றும் a₀=3 ஆகும். பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் (p,q)=1 எனும்படி ஒரு மூலம் \(\frac{p}{q}\) எனில், p மூன்றால் வகுபட வேண்டும் மற்றும் q இரண்டால் வகுபட வேண்டும். தெளிவாக p-ன் சாத்தியக்கூறுகளாக 1,−1,3,−3 மற்றும் q-ன் சாத்தியக்கூறுகளாக 1,-1,2,-2 இருக்கும். இதன் மூலம் \(\\ \pm \frac { 1 }{ 1 } ,\pm \frac { 1 }{ 2 } ,\pm \frac { 3 }{ 2 } ,\pm \frac { 3 }{ 1 } \) எனும் பின்னங்களை உருவாக்கலாம். இந்த எட்டு சாத்தியக்கூறுகளில், சோதித்தறிதல் முறைப்படி \(\frac{-3}{2}\) என்பதுதான் ஒரே விகித மூலமாகின்றது. மற்ற மூலங்களைக் காண 2x³ +3x² +2x+3=0 என்ற சமன்பாட்டை 2x+3 ஆல் வகுக x²+1 என்ற ஈவும் மீதி பூச்சியமும் கிடைக்கின்றது. x²+1=0- ஐ தீர்க்க i மற்றும் -i மூலங்கள் கிடைக்கின்றது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -\(\frac{3}{2}\), i, -i ஆகும்.

17x²+43x-73=0 எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள், α மற்றும் β என்பதால், α+β=-\(\frac { 43 }{ 17 } \) மற்றும் αβ=-\(\frac { 73 }{ 17 } \) ஆகும்.
தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α+2 மற்றும் β+2 ஆகும். எனவே
மூலங்களின் கூடுதல் =α+β+4=\(\frac { -43 }{ 17 } +4=\frac { 25 }{ 17 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் =αβ+2(α+β)+4=\(\frac { -73 }{ 17 } +2\left( \frac { -43 }{ 17 } \right) +4=\frac { -91 }{ 17 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }-\frac { 25 }{ 17 } x-\frac { 91 }{ 17 } \)=0 ஆகும். இச்சமன்பாட்டை 17-ஆல் பெருக்க,  α+2 மற்றும் β+2 ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட 17x² - 25x - 91 = 0 எனும் இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது

(i) |z - 2 - i| = 3
⇒ |z - 2 - i| = 3
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(ii) |2z + 2 - 4i| = 2
2|z + 1 - 2i| = 2
⇒ |z -(- 1 - 2i)| = 1
இது |z -z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
(iii) ⇒ 3|z - 2 + 4i| = 8
⇒ |z - (2 + 4i)| = \(\frac 83\)
இது |z - z₀| = r என்ற வடிவம். உள்ளது ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 - 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac 83\) ஆகும்.

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }= A \times A =\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\left[ \begin{matrix} 25-3 & 15-6 \\ -5+2 & -3+4 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
-3A = \(-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -15 & -9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] \)
-7I₂ = \(-7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }\)
\(=\begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\left[ \begin{matrix} 22-15-7 & 9-9+0 \\ -3+3+0 & 1+6-7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] ={ O }_{ 2 }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }=0\)
பின்புறமாக A^-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A².A^-1-3AA^-1-7I₂A^-1=0.A^-1
⇒ A(AA^-1)-3(AA^-1)-7(A^-1) = 0
[∵I₂A^-1 = A^-1 மற்றும் |(0)A^-1 = 0]
⇒ AI-3I-7A^-1 = 0 [ ∵ AA^-1 = I]
⇒ AI-3I = 7A-1
⇒A^-1 = \(\frac{1}{7}[A-3I]\) [∵ AI = A]
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } =\left[ \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right] \)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 5-3 & 3-0 \\ -1-0 & -2-3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \) என்க.
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \) = 2(7) + (-12) + 3(-1) = -1 ≠ 0 
எனவே , A⁻¹ காண இயலும்.
adj A = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} -5 & 1 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} -5 & 3 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 & -1 \\ 9 & 15 & -1 \\ -10 & -17 & 1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -17 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே,  A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ (-1) } \left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -7 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

\( \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}=\frac{\pi}{2}\\   \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2} \ldots . . .(1) \\   \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} \text { and } \cos \theta=\frac{3}{5}\\    \theta=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{4}  \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\frac{5}{4} \\  \Rightarrow \sin \theta=\frac{4}{5} and\ \cos \theta=\frac{3}{5}\\ (1) \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{x}{5}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\frac{\pi}{2}\)
(2) மெய் இருக்க வேண்டுமெனில்,
\(\frac{x}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow x=3\)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)