இங்கு a_n=1, a₀=1
\(\frac{p}{q}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் இங்கு (p,q) =1, a₀=1 -ன் காரணி p மற்றும் a_n =1 -ன் காரணி q .
1 க்கு காரணி இல்லை ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இல்லை.

மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, -α மற்றும் β என்க.
α - α + β =\(\frac { -b }{ a } =\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ β = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
αβ\(\gamma \)=\(\frac { -d }{ a } \)
⇒ \(\alpha (-\alpha )\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { -9 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \) ⇒ α²=9 ⇒ α=±3
⇒ α=3
∴ மூலங்கள் 3, -3 மற்றும் \(\frac { 1 }{ 2 } \).

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x⁴-8x³+6x²-3=0
இங்கு a=2, b=-8, c=6, d=0, e=-3
α,β,\(\gamma \) மற்றும் δ என்பது சமன்பாடு (1)-ன் மூலங்கள் என்க.
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
Σ₁=\(\alpha +\beta +\gamma +\delta =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-8) }{ 2 } \)=4
Σ₂=\(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 2 } \)=3
Σ₃=\(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =\frac { -d }{ a } =\frac { 0 }{ a } \)
Σ₄=αβ\(\gamma \)δ  =\(\frac { e }{ a } =\frac { -3 }{ 2 } \)
இப்பொழுது (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+cd)
⇒ α²+β²+\(\gamma \)²+δ² =(α+β+\(\gamma \)+δ)²-2(αβ+α\(\gamma \)+αδ+β\(\gamma \)+βδ+\(\gamma \)δ)
α²+β²+\(\gamma \)²+δ²=4²-2(3)=16-6=10

x³+px²+qx+r=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α, β, மற்றும் γ என்பதால்
Σ₁ α+β+γ=-p மற்றும் Σ₃ αβγ =-r
எனவே,
\(\Sigma \frac { 1 }{ \beta \gamma } =\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } +\frac { 1 }{ \alpha \beta } =\frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { -p }{ -r } =\frac { p }{ r } \).

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β என்பதால் α+β=\(\frac { 7 }{ 2 } \) மற்றும் αβ=\(\frac { 13 }{ 2 } \) ஆகும்.
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டை பெற,
மூலங்களின் கூடுதல் =α²+β² =(α+β)² -2αβ=\(\frac { -3 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல்=α²β² =(αβ)²=\(\frac { 169 }{ 4 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 169 }{ 4 } \)=0 எனக் கிடைக்கிறது.
4x²+3x+169=0
இதுவே α² மற்றும் β² ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடாகும்.

இருப்படிச் சமன்பாடு 3x²+2(a²+1)x+(a²-3a+2)க்கு 
இரண்டு மூலங்கள் வெவ்வேறான குறிகளை கொண்டிருக்க வேண்டுமெனில் மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் எதிர்மறை மதிப்புடையது.
⇒ 4(a²+12)-12(a²-3a+2) ≥ 0 மற்றும் \(\frac { { a }^{ 2 }-3a+2 }{ 3 } <0\)
இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மையெனில் 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }-3a+2<0\)
\(\Rightarrow (a-1)(a-2)<0\)

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில், Δ = b² - 4ac =(-2p)²- 4(p² - q² + 2qr - r²) என இருக்க வேண்டும்.
ஆனால் இதனைச் சுருக்கினால் 4(q² - 2qr + r²) அல்லது 4(q - r)² எனும் முழு வர்க்க எண்ணாகும். எனவே, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்.

2-\(\sqrt { 3 } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதாலும் மற்றும் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருப்பதாலும் 2+\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் ஒரு மூலமாகும்.
x²−(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை = 0 என்பது நமக்குத் தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடாகும். எனவே
x²-4x+1=0
என்பது நமக்குத் தேவையானப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

பண்புகாட்டி Δ=(4p)²-4(4)(p+2)=16(p²-p-2)=16(p+1)(p-2) ஆகும்.
எனவே,
−1< p < 2 எனில், Δ< 0
p = −1 அல்லது p = 2 எனில், Δ = 0
−∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், Δ > 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,
−1< p < 2 எனில், கலப்பெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
p = -1 அல்லது p = 2 எனில், சமமான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
− ∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(6\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -5\left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) -38\)              ......(1)
பிரதியிடு \({ x }+\frac { 1 }{ x } =y\Rightarrow \left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }\)=y²
⇒ \({ x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } +2={ y }^{ 2 }\Rightarrow { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } \)=y2-2
∴ (1)லிருந்து,
6(y²-2)-5y-38 =0
⇒ 6y²-12-5y-38 =0
⇒ 6y²-5y-50 =0
⇒ (3y-10)(2y+5)=0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)
நிலை (i)
y=\(\frac { +10 }{ 3 } \) எனில்,
\({ x }+\frac { 1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²-10x+3 =0
\((x-3)(x-\frac { 1 }{ 3 } )=0\Rightarrow x=3,\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii)
y=-\(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
⇒ \(x+\frac { 1 }{ x } =-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { -5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2+5x=0 ⇒ 2x²+5x+2=0
⇒ (x+2)(2x+1) =0 ⇒ x=-2, \(\frac { -1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் \(3,\frac { 1 }{ 3 } ,-2,\frac { -1 }{ 2 } \).

இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும்.
எனவே பின்வருமாறு எழுதலாம்.
6\(\left( x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \right) -35\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) +62=0\)
பிரதியிடு \(x+\frac { 1 }{ x } \)=y
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)+2=y²
⇒ \(x^{ 2 }+\frac { 1 }{ x } \)=y²-2
∴ (1) ஆனது,
⇒ 6(y²-2)-35y+62 = 0
⇒ 6y²-12-35y+62 = 0
⇒ 6y² - 35y + 50 = 0
⇒ (3y-10)(2y- 5) = 0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 2 } \)
நிலை (i) y =\(\frac { 10 }{ 3 } \) எனில், \(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²+3=10x
⇒ 3x²-10x+3=0
⇒ (x-3)(3x-1)=0
⇒ x=3, \(\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii) y= \(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
\(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2=5x
⇒ 2x²-5x+2=0
⇒ (x-2)(2x-1)=0
⇒ x=2, \(\frac { 1 }{ 2 }\).
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1 }{ 2 } ,3,\frac { 1 }{ 3 } \).

உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைபடுத்த
(2x −1)(x + 3)(x − 2)(2x + 3) + 20 = 0
⇒ (4x²+6x-2x-3)(x²-2x+3x-6)+20=0
⇒ (4x²+4x-3)(x²+x-6)+20=0
பிரதியிட x²+x=y
⇒(4y-3)(y-6)=0
⇒ 4y²-24y-3y+18+20=0
⇒ 4y²-27y+38=0
⇒ (y-2)(4y-19)=0
⇒ y=2, \(\frac{19}{4}\)
நிலை (i) y=2 எனில்,
x²+x=2
⇒ x²+x-2 =0
⇒ (x+2)(x-1)=0
⇒ x=-2,1

நிலை (ii) y=\(\frac{19}{4}\) எனில, x²+x=\(\frac{19}{4}\)
⇒ 4x²+4x=19
⇒ 4x²+4x-19=0
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 16-4(4)(-19) } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 16+304 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm \sqrt { 320 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4\pm 8\sqrt { 5 } }{ 8 } \)
⇒ x=\(\frac { -4(-1\pm 2\sqrt { 5 } ) }{ 8 } \)
⇒ x=-1±\(2\sqrt { 5 } \)
எனவே மூலங்கள் -2,1,\(\frac { -1\pm 2\sqrt { 5 } }{ 2 } \)

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

கொடுக்கப்பட்ட \((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )\) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } \) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =\(\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } =2\sqrt { 5 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
=\((\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } )(\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } )\)
=\((\sqrt { 5 } )^{ 2 }-(\sqrt { 3 } )^{ 2 }\)=5-3=2
∴ ஒரு காரணி x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x²-2x\(\sqrt { 5 } \)+2
மற்றொரு காரணியும்  x²+2x\(\sqrt { 5 } \)+2 ஆகும்.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² - 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2)(x² + 2x \(\sqrt { 5 } \) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 - 2\(\sqrt { 5 } \)x) (x² + 2 + 2\(\sqrt { 5 } \)x) = 0
⇒ (x² + 2)²-(2\(\sqrt { 5 } \)x)² = 0
[∵ (a + b)(a - b)=a² - b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 - 20x² = 0
⇒ x⁴ - 16x² + 4 = 0

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)