பிரதியிடு 5+2√6=y; இனி 5-2√6=\(\frac{1}{y}\)
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது 
\({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }+{ \left( \frac { 1 }{ y } \right) }^{ { x }^{ 2 }-3 }=10\)
பிரதியிடு \({ y }^{ { x }^{ 2 }-3 }=z\quad \quad \quad \quad \quad ...(1)\)
\(\Rightarrow z+\frac { 1 }{ z } =10\Rightarrow { z }^{ 2 }-10z+1=0\)
\(\Rightarrow z=\frac { 10\pm \sqrt { 100-4 } }{ 2 } =5\pm 2\sqrt { 6 } \)
\(\\ \therefore (5+2\sqrt { 6 } )^{ { x }^{ 2 }-3 }=5\pm 2\sqrt { 6 } =(5\pm 2\sqrt { 6 } )\pm 1\)
⇒ x²-3=1 (அ) x²-3=-1
⇒  x²=4 (அ) x²=2
⇒ x=土2 (அ) x=土√2
∴  மூலங்கள் 2,-2, √2,-√2

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\({ 2 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =3log7-log4-log57\)
\(\Rightarrow \quad x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)

x²-y² இரட்டை ஆதலால், x மற்றும் y இரண்டுமே இரட்டை அல்லது x மற்றும் y இரண்டுமே ஒற்றை.
எந்த நிலையிலும் (x+y) மற்றும் (x-y) இரண்டுமே இரட்டை முழுக்கள் 
∴ x²-y² = (x+y) (x+y) 4 ஆல் வகுபடும் ஆனால் 353702 4ஆல் வகுபடாது.
∴ x² - y² = 353702 க்கு மிகை முழுக்கள் தீர்வு இல்லை.

கொடுக்கப்பட்ட sin(ex) = 5^x + 5^-x 
நம்மிடம் \({ 5 }^{ x }+5={ 5 }^{ -x }={ \left( { 5 }^{ \frac { x }{ 2 } }-{ 5 }^{ \frac { -x }{ 2 } } \right) }^{ 2 }+2\ge 2\)
sin(ex) = 5^x+5^-x க்கு தீர்வு இருக்குமெனில் நாம் பெறுவது sin (e^x) ≥ 2 இது எந்த மெய் மதிப்புடைய x க்கும் சாத்தியமில்லை, sin 0 ≤ 1 எல்லா θ ∈ R க்கும் 
∴ sin (e^x) = 5^x + 5^-x க்கு தீர்வு இல்லை.

மூலங்கள் இசைத் தொடர்முறையில் உள்ளன என்க. எனவே அவற்றின் பெருக்கல் தலைகீழிகள் கூட்டுத் தொடர் முறையில் இருக்கும். மேலும்
\(\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }+p\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }+q\left( \frac { 1 }{ x } \right) \)+r=0 ⇔ rx³+qx²+px+1=0            .....(1)
(1) –ன் மூலங்கள் கூட்டுத்தொடர் முறையில் இருப்பதால் அவற்றினை a-d, a,a+d என்க.வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த
Σ₁=(α-d)+α+(α+d) =\(-\frac { q }{ r } \Rightarrow 3\alpha =-\frac { q }{ r } \Rightarrow \alpha =-\frac { q }{ 3r } \)
ஆனால் (1)-ன் மூலம் α என்பதால்,
\(r\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 3 }+q\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 2 }+p\left( -\frac { q }{ 3r } \right) \)+1=0 ⇒ -q³+3q³-9pqr+27r²=0 ⇒ 9pqr =2q³+27r².

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+kx+k=0
இங்கு a=2, b=k, c=k
பண்புகாட்டி

Δ=b²-4ac=k²-4(2)(k)
=k²-8k=k(k-8)
k மெய் ஆகையால் k-க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k<0, k=0 அல்லது 8, 08 நிலை (i) k<0 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்.
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k=0 அல்லது 8 எனில், Δ=0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிலை (iii) 0 நிலை (iv) k>8 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

மூலங்கள் பெருக்குத் தொடர்முறையில் உள்ளன என்க. எனவே, அவற்றை \(\frac { \alpha }{ \lambda } \),α,αλ எனக் கருதுக.
வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது
∑₁ =\(\alpha \left( \frac { 1 }{ \lambda } +1+\lambda \right) =-\frac { b }{ a } \)     ....(1)
∑₂ =\(\alpha ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ \lambda } +1+\lambda \right) =\frac { c }{ a } \)      ....(2)
∑₃ =\({ \alpha }^{ 3 }=-\frac { d }{ a } \)      ..........(3)
சமன்பாடு (2)-ஐ சமன்பாடு (1)-ஆல் வகுக்க
α=-\(\frac { c }{ b } \)     .........(4)
(4)-ஐ (3)-இல் பிரதியிட \(\left( -\frac { c }{ b } \right) ^{ 3 }=-\frac { d }{ a } \)  ⇒ ac³=db³.

ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை
y = mx + c  ........(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4 ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம்.  .....(2)
(1) ஐ (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4 ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m² x² + x(2mc - 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.