p(x) = x⁹ − 5x⁸ −14x⁷ = 0 என்க.
p(x) க்கு ஒரே குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x) =(-x)⁹-5(-x)⁸-14(-x)⁷ =0
⇒ p(-x)= -x⁹-5x⁸+14x⁷ =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
∴ p(-x) -க்கு அதிகபட்சம் ஒரு மிகை மற்றும் ஒரு குறை மூலம் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட p(x) எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு தெளிவாகவே 2 முறை குறிமாற்றங்கள் இருப்பதால் p(x) -மிகையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டிற்கு மேலிராது. மேலும் p(-x) = 9x⁹ + 2x⁵ − x⁴ − 7x² + 2-ல்  p(-x) -க்கு ஒரே ஒரு முறை குறிமாற்றம் இருப்பதால் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்றுக்கு மேற்பட்டு இல்லை. தெளிவாகவே 0 ஒரு மூலம் இல்லை. எனவே மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் 3 ஆகும். எனவே குறைந்தபட்சம் ஆறு மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு.

\({ 8x }^{ \frac { 3 }{ 2n } }-8x^{ \frac { -3 }{ 2x } }\)=63 ⇒ \(\left[ \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2n } } \right) ^{ 3 }-\left( { x }^{ \frac { -1 }{ 2n } } \right) ^{ 3 } \right] \)=63
பிரதியிடு \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=y
⇒ \(\left( { y }^{ 3 }-\frac { 1 }{ { y }^{ 3 } } \right) \)=63
⇒ \({ y }^{ 3 }-\frac { 1 }{ { y }^{ 3 } } =\frac { 63 }{ 8 } \Rightarrow \frac { { y }^{ 6 }-1 }{ { y }^{ 3 } } =\frac { 63 }{ 8 } \)
⇒ 8y⁶-8 = 63y³
⇒ 8y⁶-63y³-8 = 0
⇒ 8t²-63y-8=0 [இங்கு t=y³]
⇒ (8t-1)(t-8)=0
t =\(\frac{1}{8}\),8
நிலை (i) t =8 எனில், ⇒ y³=8 ⇒ y³=2³
⇒ y=2
நிலை (ii) t =8 எனில், y³=\(\frac { 1 }{ 8 } \Rightarrow y=\frac { 1 }{ 2 } \)
y=2 எனில், \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=2
⇒ x=(2)²ⁿ ⇒ x=(2²)ⁿ
⇒ x=4ⁿ
y=\(\frac{1}{2}\) எனில், \(x^{ \frac { 1 }{ 2n } }\)=\(\frac{1}{2}\) ⇒ x=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2n }\)
⇒ x=\(\left( \frac { 1 }{ 2^{ 2 } } \right) ^{ n }=\frac { 1 }{ 4^{ n } } \)
எனவே மூலங்கள் 4ⁿ.

x³+px²+qx+r=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α, β, மற்றும் γ என்பதால்
Σ₁ α+β+γ=-p மற்றும் Σ₃ αβγ =-r
எனவே,
\(\Sigma \frac { 1 }{ \beta \gamma } =\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } +\frac { 1 }{ \alpha \beta } =\frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { -p }{ -r } =\frac { p }{ r } \).

p(x) = x⁷-6x⁶+7x⁵+5x²+2x+2  என்க 
இது ஒரே ஒரு குறி மாற்றத்தை கொண்டுள்ளது 
இங்கு 
p(-x) = (-x)⁷-6(-x)⁶+7(-x)⁵+5(-x)²+2(-x)+2
= -x⁷-6x⁶-7x⁵+5x²-2x+2
இது இரண்டு குறி மாற்றங்களை கொண்டுள்ளது. எனவே p(x) ஒரு மூலம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இரண்டு குறை மூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

இருப்படிச் சமன்பாடு 3x²+2(a²+1)x+(a²-3a+2)க்கு 
இரண்டு மூலங்கள் வெவ்வேறான குறிகளை கொண்டிருக்க வேண்டுமெனில் மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் எதிர்மறை மதிப்புடையது.
⇒ 4(a²+12)-12(a²-3a+2) ≥ 0 மற்றும் \(\frac { { a }^{ 2 }-3a+2 }{ 3 } <0\)
இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மையெனில் 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }-3a+2<0\)
\(\Rightarrow (a-1)(a-2)<0\)

மூலங்களின் பெருக்கற் பலன் 
= sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{-b}{a}\)
மூலங்களின் கூடுதல் = sin ∝ + cos ∝ = \(\frac{c}{a}\)
இங்கு 1 = cos² ∝ + sin² ∝
= (sin ∝+cos ∝)² - 2sin ∝ cos ∝
\(1=\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { 2c }{ a } \Rightarrow 1=\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \quad { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-2ac\Rightarrow { a }^{ 2 }+2ac={ b }^{ 2 }\)
இருபுறமும் C² ஐ கூட்ட, a²+2ac+c² = b²+c²
⇒ (a+c)² = b² + c²

x³ – x² (α + β + γ) + x (αβ + βγ + γα) – αβγ = 0
\( x^{3}-x^{2}\left(2+\frac{1}{2}+1\right)+x\left(1+\frac{1}{2}+2\right)-(2)\left(\frac{1}{2}\right)(1)=0\)
\(x^{3}-x^{2}\left(\frac{4+1+2}{2}\right)+x\left(\frac{2+1+4}{2}\right)-1=0 \)
\(x^{3}-x^{2}\left(\frac{7}{2}\right)+x\left(\frac{7}{2}\right)-1=0\)
2x³ – 7x² + 7x – 2 = 0

அந்த எண் x என்க. \(\sqrt [ 3 ]{ x } \)+x = 6
⇒ \(\sqrt [ 3 ]{ x } \) = 6 - x
இருபுறமும் 3 ஆம் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது
\(\left( { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } } \right) ^{ 3 }\)= (6-x)³
x = 6³-3(6²)x+3(6)(x²)-x³
[∵ (a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³]
⇒ x = 216-108x+18x²-x³
⇒ x³+108x-18x-216+x = 0
⇒ x³+18x²+109x-216 = 0 என்பது தேவையான கணிதவியல் கணக்கு.

\(2+i\sqrt { 3 } \) பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2-i \(\sqrt { 3 } \) யும் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு மூலமாகும்.
\(\sqrt { 3 } \) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =2+i\(\sqrt { 3 } \)+2-i\(\sqrt { 3 } \)=4
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =(2+i\(\sqrt { 3 } \))(2-i\(\sqrt { 3 } \))
=2²+(\(\sqrt { 3 } \))²
[∵ (a+ib)(a-ib)=a²+b²
=4+3=7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்)+மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(4)+7=0
⇒ x²-4x+7=0

மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில், Δ = b² - 4ac =(-2p)²- 4(p² - q² + 2qr - r²) என இருக்க வேண்டும்.
ஆனால் இதனைச் சுருக்கினால் 4(q² - 2qr + r²) அல்லது 4(q - r)² எனும் முழு வர்க்க எண்ணாகும். எனவே, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்.

2-\(\sqrt { 3 } \) என்பது ஒரு மூலம் என்பதாலும் மற்றும் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருப்பதாலும் 2+\(\sqrt { 3 } \) என்பதும் ஒரு மூலமாகும்.
x²−(மூலங்களின் கூடுதல்) x + மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை = 0 என்பது நமக்குத் தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடாகும். எனவே
x²-4x+1=0
என்பது நமக்குத் தேவையானப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 2-\(\sqrt { 3 } \)i என்பதால், 2+\(\sqrt { 3 } \) i என்பதும் ஒரு மூலமாகும். எனவே, மூலங்களின் கூடுதல் 4 மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை 7 ஆகும். ஆகையால் x²-4x+7=0 என்பது ஒரு மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவைப்படும் தலைஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

p(x) = x⁹ − 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² +1 = 0 என்க
குறிகள் +,-,+,+,+
p(x)- ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x)=(-x)⁹-5(-x)⁵+4(-x)⁴+2(-x)²+1 =0
p(-x)=x⁹+5x⁵+4x⁴+2x²+1 =0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
 p(x) -ன் படி 9, ஆதலால் p(x) க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.