முனைகள் \(\left( 0,\pm 7 \right) \), ஆதலால் அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
a = 7 மற்றும் \(e=\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) =49\left( \cfrac { 16 }{ 9 } -1 \right) =49\left( \cfrac { 16-9 }{ 9 } \right) \) 
= \(49\left( \cfrac { 7 }{ 9 } \right) =\cfrac { 343 }{ 9 } \) 
\(\therefore\)  அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 49 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { 343 }{ 9 } } =1\Rightarrow \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 49 } -\cfrac { { 9x }^{ 2 } }{ 343 } =1\)

குவியங்கள் x-அச்சின் மீதுள்ளதால் அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
கொடுக்கப்பட்ட குறுக்கச்சு = \(\cfrac { 3 }{ 4 } \) ( துணையச்சு)
\(\Rightarrow 2b=\cfrac { 3 }{ 4 } \left( 2a \right) \Rightarrow b=\cfrac { 3a }{ 4 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { { 9a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\therefore e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { { 9a }^{ 2 } }{ { 16a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 16 } } =\sqrt { \cfrac { 25 }{ 16 } } =\cfrac { 5 }{ 4 } \) 
\(\therefore e=\cfrac { 5 }{ 4 } \) 

கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க
கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீளம் 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \) (நெட்டச்சின் நீளம்)
\(\Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 2a \right) \Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \Rightarrow { 2b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { 2b }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 3y² = a²
\(\div { a }^{ 2 }\) கிடைப்பது, \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } } =1\) 
இங்கு a² = a² மற்றும் \({ b }^{ 2 }=\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 3 } \Rightarrow b=\cfrac { a }{ \sqrt { 3 } } \) 
நெட்டச்சின் நீளம் 2a மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் \(2b=\cfrac { 2a }{ \sqrt { 3 } } \times \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 2a\sqrt { 3 } }{ 3 } \)

P(x, y) என்பது நகரும் புள்ளி என்க.
நீள்வட்டத்தின் குவி பண்பின்படி, PA + PB = 2a 
\(\therefore 2a=10\Rightarrow a=5\) 
குவியம் (4, 0), ae = 4
\(\Rightarrow 5e=4\Rightarrow e=\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
மேலும், \({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) =25\left( 1-\cfrac { 16 }{ 25 } \right) =25\left( \cfrac { 9 }{ 25 } \right) =9\) 
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு x + y + 1 = 0
\(\therefore\) y = -x - 1
m = -1, c = -1
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) 
a² = 16, b² = 15
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) (-1)² = 16(-1)² - 15
1 = 16 - 15
1 = 1
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. x + y + 1 = 0 அதிபரவளையம் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) ஐ தொட்டு செல்கிறது.
தொடுபுள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { -b }^{ 2 } }{ c } \right) \) 
= \(\left( \cfrac { -16(-1) }{ -1 } ,\cfrac { -15 }{ -1 } \right) =\left( -16,-15 \right) \)
எனவே தொடுபுள்ளி என்பது (-16, 15)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = x + c
m = 1, c = c
அதிபரவளையம் சமன்பாடு 9x²-16y² = 144
\(\div 144\) கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
a² =16, b² = 9
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) c² = 16(1)2 - 9 = 16 - 9 = 7
\(\therefore c=\pm \sqrt { 7 } \) 

கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
3x² - 6y² = -18; (-18)ல் \(\div \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 6 } =1\) 
குறுக்கச்சு y-அச்சு 
இங்கு a² = 3, b² = 6
குறுக்கச்சின் நீளம் \(2a=2\sqrt { 3 } \) 
துணையச்சின் நீளம் \(2b=2\sqrt { 6 } \) 
\(e=\sqrt { 1+\frac { { b }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\frac { 6 }{ 3 } } =\sqrt { 1+2 } =\sqrt { 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட 2b = 5 மற்றும் 2ae = 13
\({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \Rightarrow b=a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } \) 
\(2b=5\Rightarrow 2a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } =5\)
\(\Rightarrow\) 4a²(a²-1)25
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
\(\Rightarrow\) 4a²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) (2ae)²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 13²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 169 - 25 = 4a²
\(\Rightarrow\) a² = 36
\(\Rightarrow\) a = 6
\(\therefore 2b=5\Rightarrow b=\cfrac { 5 }{ 2 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 25 }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 25 }{ 4 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { 4y^{ 2 } }{ 25 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட x²+ y² = 9² என்ற வட்டத்திற்கு 1x + my+ n = 0
என்ற கோடு (x₁, y₁)lல் தொடுகோடு என்பது 
xx₁ + yy₁ = a₂
(1) மற்றும் (2)ல் தொடுகோடு என்பது
கிடைப்பது \(\cfrac { { x }_{ 1 } }{ l } =\cfrac { { y }_{ 1 } }{ m } =\cfrac { { -a }^{ 2 } }{ n } \) 
\({ x }_{ 1 }=-\cfrac { -{ a }^{ 2 }\quad l }{ n } \) ,மற்றும் \({ y }_{ 1 }=\cfrac { -{ a }^{ 2 }m }{ n } \) 
(x₁,y₁) வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி ஆதலால் \({ x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\left( \cfrac { -{ a }^{ 2 }l }{ n } \right) +\left( \cfrac { -a^{ 2 }m }{ n } \right) ={ a }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\cfrac { { a }^{ 4 }{ m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ m }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\({ a }^{ 2 }\left( { l }^{ 2 }+{ m }^{ 2 } \right) =1\)

கொடுக்கப்பட்ட F₁P + F₂P = 8
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
F₁P + F₂P = 2a
\(\therefore 2a=8\) 
\(\Rightarrow a=4\) 
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
= F₁F₂ = 6
2ae = 6
\(\Rightarrow\) ae = 3
\(\therefore\) 4(e) = 3
\(\Rightarrow e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 

\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-e^{ 2 })\) 
= \(16\left( 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } \right) =16\left( 1-\cfrac { 7 }{ 16 } \right) =7\) 
\(\therefore\) அவர் ஓடுகின்ற பாதை ஒரு நீள் வட்டம் மற்றும் அதனுடைய சமன்பாடு
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 7 } =1\)

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
\(\therefore { a }^{ 2 }=25\) 
b² = 9
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 96 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
குவியங்கள் \(\left( ae,0 \right) =\left( 5\times \cfrac { 4 }{ 5 } ,0 \right) =(4,0)\) 
அதிபரவளையம்,நீள்வட்டமும் ஒரே குவியங்களை கொண்டுள்ளதால், அதிபரவளையத்தின் குவியங்கள் \(\left( \pm 4,0 \right) \) 
அரைக்குறுக்கச்சின் நீளம் A என்க 
\(\therefore Ae=4\Rightarrow 2A=\cfrac { 4 }{ e } =\cfrac { 4 }{ 2 } =2\) \(\left[ \therefore e=2 \right] \) 
அரை துணையச்சின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { A }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 12 } }{ { B }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y²= 4ax  ...(1) என்க
AB = l என்க

ABC ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆதலால் 
\(\angle BAM=\angle MAC={ 30 }^{ 0 }\) 
\(\Delta ABM\quad { cos30 }^{ 0 }=\cfrac { AM }{ l } \) 
\(\Rightarrow AM=l\quad { cos30 }^{ 0 }=l\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) 
\({ sin30 }^{ 0 }=\cfrac { NM }{ AB } \) 
\(\Rightarrow { sin30 }^{ 0 }=\cfrac { BM }{ l } \) 
\(\Rightarrow BM=lsin{ 30 }^{ 0 }=l\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\therefore\) B-ன் ஆயத்தொலைவுகள் (AM, BM)
\(\Rightarrow \left( \frac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } ,\cfrac { l }{ 2 } \right) \) 
மேலும் B(1) ன் மீது அமைந்துள்ளது.
\(\left( \cfrac { l }{ 2 } \right) ^{ 2 }=4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow \cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =2\sqrt { 3 } al\) 
\(\cfrac { 1 }{ 4 } =2\sqrt { 3 } a\Rightarrow 1=8a\sqrt { 3 } \)
சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் \(8a\sqrt { 3 } \) அலகுகள்

பரவளையம் குத்தச்சை உடையதால் மேல் நோக்கி திறப்புடையது 

அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay
பரவளையத்தின் அடிபகுதி 5 மீ அகலமுடையது 
VA = 2.5மீ மற்றும் வளைவின் உயரம் 10மீ 
A(2, 5, 10) ஆனது பரவளையத்தின் மீதுள்ளது 
(2.5)² = 4a(10)
\(\Rightarrow 6.25=40a\Rightarrow a=\cfrac { 625 }{ 4000 } =\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
\(a=\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=4\left( \cfrac { 5 }{ 32 } \right) y={ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } y\) 
உயரம் 2மீ எனில் வளைவின் அகலம் x என்க 
\(\therefore\) (x, 2) பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி 
\({ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } \left( 2 \right) =\cfrac { 5 }{ 4 } \) 
\(\therefore x=\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \) 
மற்றும் \(2x=\cfrac { 2\left( \sqrt { 5 } \right) }{ 2 } =\sqrt { 5 } \)