நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
\(\therefore { a }^{ 2 }=25\) 
b² = 9
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 96 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
குவியங்கள் \(\left( ae,0 \right) =\left( 5\times \cfrac { 4 }{ 5 } ,0 \right) =(4,0)\) 
அதிபரவளையம்,நீள்வட்டமும் ஒரே குவியங்களை கொண்டுள்ளதால், அதிபரவளையத்தின் குவியங்கள் \(\left( \pm 4,0 \right) \) 
அரைக்குறுக்கச்சின் நீளம் A என்க 
\(\therefore Ae=4\Rightarrow 2A=\cfrac { 4 }{ e } =\cfrac { 4 }{ 2 } =2\) \(\left[ \therefore e=2 \right] \) 
அரை துணையச்சின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { A }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 12 } }{ { B }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { (y-{ 2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { (x+1)^{ 2 } }{ 16 } =1\)
துணையச்சு y-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\therefore\) a² = 25, b² = 16
\(\Rightarrow\) c² = a² + b² = 25 + 16 = 41
\(\Rightarrow\) \(c=\sqrt { 41 } \)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 16 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 41 }{ 25 } } =\cfrac { \sqrt { 41 } }{ 5 } \)
(a) மையம் \((-1,2)\Rightarrow h=-1,k=2\)
(b) குவியங்கள் (h, k+c), (h, k-c)
\(\Rightarrow \left( -1,2+\sqrt { 41 } \right) ,\left( -1,2-\sqrt { 41 } \right) \)
(c) முனைகள் (h, k+a), (h, k-a)
\(\Rightarrow \left( -1,2+5 \right) ,\left( -1,2-5 \right) \)
= (1, 7), (-1, -3)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள் 
\(-2=\pm \cfrac { 5 }{ \frac { \sqrt { 41 } }{ 5 } } \)
\(\Rightarrow y-2=\pm \frac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \)

\(\Rightarrow y=2+\cfrac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \) மற்றும் \(y=2-\cfrac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \)

கொடுக்கப்பட்ட தகவலை கொண்டு பரவளையம் கீழ் நோக்கி திறப்புடையது என எடுத்துக் கொள்ளலாம் 

\(\therefore\) அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay ..(1)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay
P(3, -2.5) என்பது பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( 3^2 =-4(a)(-2.5) \\ 9 =10 a \Rightarrow a=\frac{9}{10} \\ \therefore x^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right) y\)
மேலும் Q(x₁, -7.5) என்பதும் பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( x_1^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right)(-7.5)\)
\(x_1^2=4 \times \frac{9}{10} \times 7.5 =27 \Rightarrow x_1=3 \sqrt{3} \) மீ
நீரானது \(3 \sqrt{3} \) மீட்டருக்கு அப்பால் தரையில் விழும். 

துணைக்கோள் ஏற்பியின் குறுக்கு வெட்டு பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு y² = 4ax 
முனையிலிருந்து குவியம் 1.2 மீ தூரத்தில் உள்ளதால் OA = 1.2மீ மற்றும் BC = 2.5 மீ ஏற்பியின் அகலம் 5மீ 
படத்திலிருந்து, a = 1.2 மீ 
\(\therefore\) y₂ = 4(1.2)x
(a) \(\Rightarrow\) y₂ = 4.8x
(b) (x₁, 2.5) (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
(2.5)² = 4.8(x₁)
\({ x }_{ 1 }=\cfrac { 2.5\times 2.5 }{ 4.8 } \) 
x₁ = 1.3மீ
\(\therefore \) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் 1.3மீ ஆகும்.

நீள்வட்ட வடிவக் கூரையின் அரை நெட்டச்சு 17மீ, அதன் உயரம் அரை குற்றச்சு 8மீ. இதனால்
c² = a² -b² = 17²-8²
c =\(\sqrt { 289-64 } =\sqrt { 225 } =15\)
நீள்வட்டக் கூரையின் குவியங்கள் நெட்டச்சின் மீது மையத்திலிருந்து 15மீ தூரத்தில் இருக்கும்.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y² = 16x
\(\therefore 4a=16\Rightarrow a=4\) 
y = mx + c
எனது பரவளையத்தின் தொடுகோடு என்க.
2x + 2y + 3 = 0, தொடுகோட்டுக்கு செங்குத்து
ஆதலால் 

\(\therefore m=\cfrac { -1 }{ \frac { -2 }{ 2 } } =\cfrac { -1 }{ -1 } =1\)

y = mx + c பரவளையத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c=\cfrac { a }{ m } \)
\(\therefore c=\cfrac { 4 }{ 1 } =4\)
(1) லிருந்து  \(y=1(x)+4\Rightarrow x-y+4=0\)
தேவையான தொடுகோடு,

(i) குவியங்கள் \(\left( \pm 3,0 \right) ,e=\cfrac { 1 }{ 2 } \)
ஆதலால் \(\left( \pm ae,0 \right) \) குவியங்கள்
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a.\cfrac { 1 }{ 2 } =3\Rightarrow a=6\)
மையம்(0, 0) மற்றும் b² = a²(1-e²)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=36\left( 1-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=36\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=27\)
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } +\cfrac { y^{ 2 } }{ 27 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 27 } =1\)
(ii) குவியங்கள் மற்றும்\(\left( 0,\pm 4 \right) \)
நெட்டச்சின் முனைப்புள்ளிகள் \(\left( 0,\pm 5 \right) \)
குவியங்கள் \(\left( 0,\pm be \right) \Rightarrow be=4\)
நெட்டச்சின் முனை புள்ளிகள் \((0,\pm 5)\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore 5(e)=4\)
\(\Rightarrow e=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
மேலும் a² = b²(1-e²)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=25\left( 1-\cfrac { 16 }{ 25 } \right) =25\left( \cfrac { 25-16 }{ 25 } \right) \)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=9\)
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
(iii)  நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு = 8, \(e=\cfrac { 3 }{ 5 } \) மற்றும் நெட்டச்சு x -அச்சு 
கொடுக்கப்பட்ட  \(\cfrac { 2b^{ 2 } }{ a } -8,e=\cfrac { 3 }{ 5 } \)
b² = 4a
b² = a²(1-e²)
 \(4a={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 25 } \right) \)
\(4=a\left( \cfrac { 25-9 }{ 25 } \right) \)
100 = a(16)
\(a=\cfrac { 100 }{ 16 } =\cfrac { 25 }{ 4 } \Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 625 }{ 16 } \)
\({ b }^{ 2 }=4\times \cfrac { 25 }{ 4 } =25\)
நெட்டச்சு x-அச்சு ஆதலால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { \left( x-0 \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { \left( y-0 \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { 625 }{ 16 } } +\cfrac { { (y-0) }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 625 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
(iv) செவ்வகத்தின் நீளம் = 4, குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்  நெட்டச்சு y-அச்சு 
கொடுக்கப்பட்ட மற்றும் குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் 
=\(2ae=4\sqrt { 2 } \)
\(\Rightarrow ae=2\sqrt { 2 } \)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }{ e }^{ 2 }=8\)
\(\cfrac { 2{ b }^{ 2 } }{ a } =4\Rightarrow { b }^{ 2 }=2a\)
என அறிவோம் 
\(\Rightarrow \) b² = a²- a²e²
\(\Rightarrow \) 2a = a²- 8
[(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
\(\Rightarrow\) a²-2a-8 = 0
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது 
(a-4) (a+2) = 0
\(\Rightarrow\) a = 4 அல்லது -2
a = 4 
[\(\therefore\)  a = -2 சாத்தியமில்லை]
\(\Rightarrow\) ae = 16
\(\therefore\) (2) லிருந்து b² = 2(4) = 8
ஆகையால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 8 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 16 } =1\) [\(\because\) நெட்டச்சு y-அச்சு]

அரைவட்ட வளைவு வழிகளின் மையப்புள்ளிகள் O₁ மற்றும் O₂ என்க.
முதல் வளைவு வழியின் மையம் O₁(12, 0) மற்றும் r =10. இதிலிருந்து அந்த அரைவட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
(x −12)² + ( y − 0)² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 24x + 44 = 0 , y > 0 .
இரண்டாம் வளைவு வழியின் மையம் O₂ (34, 0) மற்றும் ஆரம் r = 10. முதல் வளைவு போல இரண்டாம் வளைவு வழியின் சமன்பாடு 
(x − 34)² + y² = 10²
\(\Rightarrow \) x² + y² − 68x +1056 = 0, y > 0 .

கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க
கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீளம் 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \) (நெட்டச்சின் நீளம்)
\(\Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 2a \right) \Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \Rightarrow { 2b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { 2b }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 

வட்டமானது இரு அச்சுகளையும் தொட்டு செல்வதால் அதனுடைய சமன்பாடு 
இது(-4, 2) வழிச் செல்கிறது
(x - a)² + (y - a)² = a²
இது (-4, 2) வழிச் செல்கிறது 
\(\therefore \) (-4 - a)² + (-2 - a)² = a²

\(\Rightarrow \) a² + 12a + 20 = 0
\(\Rightarrow \) (a + 10) (a + 2) = 0
a = -10 அல்லது -2 

நிலை (i) 
a = -10
(x + 10)² + (y + 10)² = 10²

x² + y² + 20x + 20y + 100 = 0
நிலை (ii)
(x + 2)² + (y + 2)² = 22

x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
ஆகையால் வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் 
x² + 4² + x + 4x + 4y + 4 = 0 அல்லது x² + y² + 20x + 20y + 100 = 0

கொடுக்கப்பட்ட r = 5செ மீ

வட்டம் அச்சை தொட்டுச் செல்வதால் அதனுடைய மையம் \((0,\pm 5)\)
வட்டத்தின் சமன்பாடு (x - h)²+(y - k)² = r²
\(\Rightarrow \left( x-0 \right) ^{ 2 }+\left( y\pm 5 \right) ^{ 2 }={ 5 }^{ 2 }\)

\(\Rightarrow\)  x² + y² + 10y = 0

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

c²=a²+b²

கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
3x² - 6y² = -18; (-18)ல் \(\div \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 6 } =1\) 
குறுக்கச்சு y-அச்சு 
இங்கு a² = 3, b² = 6
குறுக்கச்சின் நீளம் \(2a=2\sqrt { 3 } \) 
துணையச்சின் நீளம் \(2b=2\sqrt { 6 } \) 
\(e=\sqrt { 1+\frac { { b }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\frac { 6 }{ 3 } } =\sqrt { 1+2 } =\sqrt { 3 } \)