கொடுக்கப்பட்ட கோடு x + y + 1 = 0
\(\therefore\) y = -x - 1
m = -1, c = -1
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) 
a² = 16, b² = 15
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) (-1)² = 16(-1)² - 15
1 = 16 - 15
1 = 1
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. x + y + 1 = 0 அதிபரவளையம் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 15 } =1\) ஐ தொட்டு செல்கிறது.
தொடுபுள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { -b }^{ 2 } }{ c } \right) \) 
= \(\left( \cfrac { -16(-1) }{ -1 } ,\cfrac { -15 }{ -1 } \right) =\left( -16,-15 \right) \)
எனவே தொடுபுள்ளி என்பது (-16, 15)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு y = x + c
m = 1, c = c
அதிபரவளையம் சமன்பாடு 9x²-16y² = 144
\(\div 144\) கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
a² =16, b² = 9
y = mx + c அதிபரவளையம் c² = a²m² - b² க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை 
\(\therefore\) c² = 16(1)2 - 9 = 16 - 9 = 7
\(\therefore c=\pm \sqrt { 7 } \) 

கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
3x² - 6y² = -18; (-18)ல் \(\div \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 6 } =1\) 
குறுக்கச்சு y-அச்சு 
இங்கு a² = 3, b² = 6
குறுக்கச்சின் நீளம் \(2a=2\sqrt { 3 } \) 
துணையச்சின் நீளம் \(2b=2\sqrt { 6 } \) 
\(e=\sqrt { 1+\frac { { b }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\frac { 6 }{ 3 } } =\sqrt { 1+2 } =\sqrt { 3 } \)

கொடுக்கப்பட்ட 2b = 5 மற்றும் 2ae = 13
\({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( { e }^{ 2 }-1 \right) \Rightarrow b=a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } \) 
\(2b=5\Rightarrow 2a\sqrt { { e }^{ 2 }-1 } =5\)
\(\Rightarrow\) 4a²(a²-1)25
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
\(\Rightarrow\) 4a²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) (2ae)²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 13²-4a² = 25
\(\Rightarrow\) 169 - 25 = 4a²
\(\Rightarrow\) a² = 36
\(\Rightarrow\) a = 6
\(\therefore 2b=5\Rightarrow b=\cfrac { 5 }{ 2 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 25 }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 25 }{ 4 } } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } -\cfrac { 4y^{ 2 } }{ 25 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(e=\cfrac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(\cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =5\) 
\(\Rightarrow { 2b }^{ 2 }=5a\) 
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-{ e }^{ 2 })\) 
= \({ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 4 }{ 9 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 5 }{ 9 } \right) \) 
\(\therefore { 2b }^{ 2 }=\cfrac { { 10a }^{ 2 } }{ 9 } \) 
(1) மற்றும் (2)லிருந்து 
\(\cfrac { { 10a }^{ 2 } }{ 9 } =5a\Rightarrow { 10a }^{ 2 }=45a\) 
\({ 10a }^{ 2 }-45a=0\Rightarrow 5a(2-9a)=0\) 
\(\Rightarrow a=0\) (அல்லது) \(a=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 
[ \(\therefore\) a=0 சாத்தியமில்லை ]
\(\therefore { a }^{ 2 }=\cfrac { 81 }{ 4 } \) 
\(\therefore { 2b }^{ 2 }=\cfrac { 5\times 9 }{ 2 } =\cfrac { 45 }{ 2 } \Rightarrow { b }^{ 2 }=\cfrac { 45 }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { 81 }{ 4 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \frac { 45 }{ 4 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 4x^{ 2 } }{ 81 } +\cfrac { { 4y }^{ 2 } }{ 45 } =1\)

குவியங்கள் y -அச்சில் அமைவதால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(^{ }\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\left( a<b \right) \)
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 16 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 7 }{ 16 } \right) \) 
\(\Rightarrow b=\cfrac { a\sqrt { 7 } }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { { 7a }^{ 2 } }{ 16 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
(6,4)வழிச் செல்கிறது 
\(\cfrac { 16(36) }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } \left( \cfrac { 36 }{ 7 } +1 \right) =1\Rightarrow \cfrac { 36+7 }{ 7 } =\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 43 }{ 7 } \times 16={ a }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) 
\({ a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7\left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 688 } +\cfrac { { 7y }^{ 2 } }{ 688 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

கொடுக்கப்பட்ட x²+ y² = 9² என்ற வட்டத்திற்கு 1x + my+ n = 0
என்ற கோடு (x₁, y₁)lல் தொடுகோடு என்பது 
xx₁ + yy₁ = a₂
(1) மற்றும் (2)ல் தொடுகோடு என்பது
கிடைப்பது \(\cfrac { { x }_{ 1 } }{ l } =\cfrac { { y }_{ 1 } }{ m } =\cfrac { { -a }^{ 2 } }{ n } \) 
\({ x }_{ 1 }=-\cfrac { -{ a }^{ 2 }\quad l }{ n } \) ,மற்றும் \({ y }_{ 1 }=\cfrac { -{ a }^{ 2 }m }{ n } \) 
(x₁,y₁) வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி ஆதலால் \({ x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\left( \cfrac { -{ a }^{ 2 }l }{ n } \right) +\left( \cfrac { -a^{ 2 }m }{ n } \right) ={ a }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\cfrac { { a }^{ 4 }{ m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ m }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\({ a }^{ 2 }\left( { l }^{ 2 }+{ m }^{ 2 } \right) =1\)

வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 64
\(\therefore { a }^{ 2 }=64\Rightarrow a=8\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு 3x + 4y = p
\(4y=-3x+p\Rightarrow y=\cfrac { -3 }{ 4 } x+\cfrac { p }{ 4 } \) 
\(m=\cfrac { -3 }{ 4 } \) மற்றும் \(c=\cfrac { p }{ 4 } \)
y = mx + c வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c² = a²(1 + m²)
\(\therefore \left( \cfrac { p }{ 4 } \right) ^{ 2 }=64\left( 1+\cfrac { 9 }{ 16 } \right) \) 

\(p=\pm \sqrt { 64(25) } =\pm 8(5)\) 
\(\therefore p=\pm 40\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு c²+y²-2x+5y+7 = 0
இங்கு \(2g=-2\Rightarrow g=-1\Rightarrow 2f5\Rightarrow 5\Rightarrow f=\cfrac { 5 }{ 2 } \) 
c = 7
மையம் \(\left( -g,-f \right) =\left( 1,\cfrac { -5 }{ 2 } \right) \) 
\(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \cfrac { -5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-7 } \) 
= \(\sqrt { 1+\cfrac { 25 }{ 4 } -7 } =\sqrt { \cfrac { 25 }{ 4 } -6 } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சுற்றளவு = \(2\pi r=2\pi \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\pi \)  அலகுகள்
வட்டத்தின் பரப்பு = \({ \pi r }^{ 2 }=\pi \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { \pi }{ 4 } \) சதுர அலகுகள்