கொடுக்கப்பட்ட\(\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right]\)தரம் என்பது 2
⇒ மூன்றாம் வரிசை அணியின் தரம் பூச்சியம் 
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix}+0=0\)
\(\Rightarrow \lambda ({ \lambda }^{ 2 }-0)+1(0-1)=0\)
\(\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }-1=0\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }=1\Rightarrow \lambda =1\)
\(\therefore \lambda =1\)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 10 \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=2 [2 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
மட்டும் ρ([A|B]=2 [3 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
∴ ρ(A)≠ρ([A|B]
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது 

சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட் அணியை ஏறுபடி வடிவில் உருமாற்ற கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2 }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=1, ρ[A|B]=1
∴ ρ(A)=ρ[A|B]=1< மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக தீர்வுகள் இருக்கும்.
∴ y=t, என பிரதியிட, இங்கு t ∈ R 
ஏறுபடி வடிவத்தை சமன்பாடுகளாக எழுத கிடைப்பது 
2x-3y=7
∴ 2x-3t=7
⇒ 2x=7+3t
⇒ x=\(\frac{1}{2}(7+3t)\)
∴ தீர்வு கணம்{\(\frac{1}{2}(7+3t)\),t} இங்கு t ∈ R

\(|A|=\left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 5 & -6 \end{matrix} \right] =12+15=27\)
\(\\ \therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & 3 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ ({ A }^{ -1 }) }^{ T }=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \)
\(|{ A }^{ T }|=\left| \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right| =12+15=27\)
\(\therefore { ({ A }^{ T }) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |{ A }^{ T }| } adj\quad ({ A }^{ T })=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து, (A^-1)^T=(A^T)^-1

A=\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 & \begin{matrix} 0 & 3 \end{matrix} \\ -2 & 3 & \begin{matrix} -1 & 5 \end{matrix} \\ 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க
\(A\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \\ -2 & 3 & \begin{matrix} -1 & 5 \end{matrix} \\ 4 & 4 & \begin{matrix} 0 & 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 4R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \\ 0 & 11 & \begin{matrix} 15 & 19 \end{matrix} \\ 0 & -12 & \begin{matrix} -32 & -25 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
A ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் 3 அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=3.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} h+2 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க Aன் தரம் 3விட குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில் ஒவ்வொரு 3 வரிசையுடைய சிற்றிணிக்கோவையும் பூச்சியமாக இருத்தல் வேண்டும்.
\(\therefore \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & h-2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} h-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| +0+0=0\)
⇒ 3(h-2)=0
⇒ h-2=0⇒h=2

\(AB=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+3 & 10+4 \\ 20+9 & 25+12 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(|AB|=\begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=407-406=1\neq 0\)
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj(AB)\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \begin{bmatrix} 11 & 14 \\ 29 & 37 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{bmatrix}..(1)\)
\(|A|=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}=6-5=1\)
\(|B|=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=16-15=1\)
\({ B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 12+25 & -4-10 \\ -9-20 & 3+8 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 37 & -14 \\ -29 & 11 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (AB)^-1 =B^-1A^-1

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & a \\ 2 & a \end{matrix} \right| =3a-2a=a\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 4 & a \\ 2 & a \end{matrix} \right| =4a-2a=2a\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| =6-8=-2\\ \)

∴ தீர்வு கணம் \(\left\{ 2,\frac { -2 }{ a } \right\} \)

\(x\Delta =\left| \begin{matrix} t & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -t & 1 & 2 \end{matrix} \right| =t\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -t & 2 \end{matrix} \right| -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -t & 1 \end{matrix} \right| \)
=t(4-1)-3(2+t)-1(1+2t)
=3t-6-3t-1-2t=-7-2t
தொகுப்பானது ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்க இயலாது எனில் 
Δ=0⇒-7-2t=0 ⇒-2t=7 ⇒t=\(\frac{-7}{2}\)
∴ t=\(\frac{-7}{2}\)

\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| =12-3=9\neq 0\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 10 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| =60-12=48\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 10 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| =8-10=-2\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 48 }{ 9 } =\frac { 16 }{ 3 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ 9 } \)
∴தீர்வு கணம் \(\left\{ \frac { 16 }{ 3 } ,\frac { -2 }{ 9 } \right\} \)