A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

சமன்பாடு 
2x + 3y = 7,
3x + 5y = 9
இங்கு \(\triangle =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| =1\)\(\neq 0\)
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\({ \triangle }_{ x }=\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| =8\)  \({ \triangle }_{ y }=\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| =-3\)
\(x=\frac { { \triangle }_{ X } }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } =8\)   \(y=\frac { { \triangle }_{ y } }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } =-3\)
\(\therefore \) தீர்வு  x = 8, y = −3

சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு,
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
   A          X     = B 

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 10 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2-2R1
ρ(A)=1	ρ([A,B])=1

 ஏறுபடிவ அணியிலுள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்.
இங்கு,  ρ(A)= ρ([A,B])=1 < மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை பெற்றிருக்கும்.
தொகுப்பிற்கான சமான அணி வடிவம்,
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) \) ஆகும்.
⇒ 2x+y=5       .......(1)
k \(\in \) R, y = k எனக் கொண்டால்,
x  = \(\frac{1}{2}\)(5-k) (1) லிருந்து
x =\(\frac{1}{2}\)(5-k), y = k; k \(\in \)R
k -யின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

C₁ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை x என்க.
C₂ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை y என்க.
C₃ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
∴ 3x+2y+4z=28
x+y+2z=13
2x+2y+z=14
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-3≠0
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 & 4 \\ 13 & 1 & 2 \\ 14 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-6
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 28 & 4 \\ 1 & 13 & 2 \\ 2 & 14 & 1 \end{matrix} \right| \)=-9
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 28 \\ 1 & 1 & 13 \\ 2 & 2 & 14 \end{matrix} \right| \)=-12
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -6 }{ -3 } \)=2
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -9 }{ -3 } \)=3
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -12 }{ -3 } \)=4
∴ உற்பத்தி செய்யப்படும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்.

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)

AB = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1-2-5 & -2+4-1 & 3-6+1 \\ 2+6+20 & -4-12+4 & 6+18-4 \\ 3+4+15 &-6-8+3 &9+12-3\end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} -6 & 1 & -2 \\ 28 & -12& 20 \\ 22 & -11 & 18 \end{matrix} \right) \)
AB -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
AB ∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\-3& 7& 5 \\ -11 & 22 & 18 \end{matrix} \right) \)C₁ ↔️ C₂
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & -44 & -4 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 12R₁
                                             R₃ ⟶ R₃ +11 R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(AB)=2
BA  = \(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)
     =\(\left( \begin{matrix} 1-4+9 & 1+6-6 &-1-8+9 \\ -2+8-18 & -2-12+12 & 2+16-18 \\ 5+2-3 &-5-3+2 &-5+4-3\end{matrix} \right) \)
BA  = \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ -12 & -2 & 0\\ 4 & 4 & -1 \end{matrix} \right) \)_{\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ -2 } \)}
BA  = -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
      ∼\(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &0& 0\\ 0 & 5 & -6 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                                              R₃ ⟶ 6R₃ - R₁
         ∼ \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &5&-6\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ <--> R₃

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
அணியின் தரம் ρ(BA )=2

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) (1\ \ 2 \ \ 3)\)
\(=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 /2\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 /3\)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
ρ(A)= 1

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1