A = \(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \) R₂ → R₂ -3R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A) = 2

\(A=\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 9 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right) \)
\(\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 0 & 28 & -34 & -63 \end{matrix} \right) { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-9{ R }_{ 1 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=2

\(A=\left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \) என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \)   R₂ ⟶ 5R₂ -7R₁ 
அணியின் தரம் ρ(A)=2

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \) 
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

A-என்ற நிறுவனத்திலிருந்து வாங்கப்பட்ட ஒரு பங்கின் விலை x என்க.
B-என்ற நிறுவனத்திலிருந்து வாங்கப்பட்ட ஒரு பங்கின் விலை y என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரத்தின்படி
10x+5y=125
9x+12y=150
Δ=\(\left| \begin{matrix} 10 & 5 \\ 9 & 12 \end{matrix} \right| \)=75≠0, Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 125 & 5 \\ 150 & 12 \end{matrix} \right| \)=750, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 10 & 125 \\ 9 & 150 \end{matrix} \right| \)=375
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 750 }{ 75 } \)=10, y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 375 }{ 75 } \)=375
A என்ற நிறுவனத்திலிருந்து வாங்கப்பட்ட ஒரு பங்கின் விலை ரூ.10 மற்றும் B என்ற நிறுவனத்திலிருந்து வாங்கப்பட்ட ஒரு பங்கின் விலை ரூ.5 ஆகும்.

சமன்பாடு 
2x + 3y = 7,
3x + 5y = 9
இங்கு \(\triangle =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| =1\)\(\neq 0\)
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\({ \triangle }_{ x }=\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| =8\)  \({ \triangle }_{ y }=\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| =-3\)
\(x=\frac { { \triangle }_{ X } }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } =8\)   \(y=\frac { { \triangle }_{ y } }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } =-3\)
\(\therefore \) தீர்வு  x = 8, y = −3

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 8 \end{matrix} \right) \)
A X =B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1
ρ(A)=2	ρ([A,B])=2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.
ρ(A)=ρ([A,B])=2=மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பினை \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ -2 \end{matrix} \right) \)என எழுதலாம்.
⇒ x + y = 5 .........(1)
y = 2
∴ (1) ⇒ x + 2 = 5
x = 3
தீர்வு: x = 3, x = 2

x ,y ,z என்பன முறையே ஒரு கிலோ கோதுமை,  ஒரு கிலோ சர்க்கரை மற்றும் ஒரு கிலோ அரிசிக்கான விலையை குறிக்கட்டும்.
சமன்பாடுகள் 
2x + y = 100
x + z = 80
3 x + 2y + z = 220
\(\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}\)
=2(0-2)-1(1-3)
=- 4 + 2 = -2 \(\neq \)0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 100 & 1 & 0 \\ 80 & 0 & 1 \\ 220 & 2 & 1 \end{vmatrix}\)
=100(0 - 2) - 1(80 - 220)
= - 200 + 140 = - 60
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 2 & 100 & 0 \\ 1 & 80 & 1 \\ 3 & 220 & 1 \end{vmatrix}\)
= 2 (80 - 220) - 100(1 - 3)
= 2(- 140)-100(- 2) = - 280 + 200 = - 80
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 100 \\ 1 & 0 & 80 \\ 3 & 2 & 220 \end{vmatrix}\)
= 2(0 -160) - 1(220 - 240) + 100(2 - 0)
= - 320 + 20 + 200 = - 100
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { -60 }{ -2 } =30\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { -80 }{ -2 } =40\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { 100 }{ -2 } =50\)
ஃ  ஒரு கிலோ கோதுமை விலை Rs. 30,
ஒரு கிலோ  சர்க்கரை விலை Rs. 40,
ஒரு  கிலோ அரிசிக்கான விலை Rs. 50.

C₁ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை x என்க.
C₂ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை y என்க.
C₃ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
∴ 3x+2y+4z=28
x+y+2z=13
2x+2y+z=14
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-3≠0
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 & 4 \\ 13 & 1 & 2 \\ 14 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-6
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 28 & 4 \\ 1 & 13 & 2 \\ 2 & 14 & 1 \end{matrix} \right| \)=-9
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 28 \\ 1 & 1 & 13 \\ 2 & 2 & 14 \end{matrix} \right| \)=-12
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -6 }{ -3 } \)=2
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -9 }{ -3 } \)=3
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -12 }{ -3 } \)=4
∴ உற்பத்தி செய்யப்படும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்.

இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=13≠0
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
Δ_x =\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=-13, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \)=39, Δ_z =\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=26
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -13 }{ 13 } \)=-1, y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 39 }{ 13 } \)=3, z =\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { 26 }{ 13 }\)=2
∴ தீர்வு {x,y,z} = {-1,3,2}

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 1& -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 52\\ 0\end{matrix} \right) \)
       AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 52 \\0 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -3\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-18\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - 2R₁
                R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-20\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ 3R₃ - R2
இதுவே ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
ρ(A,B ) = ρ(A)=3= (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 34\\ -20\end{matrix} \right) \)
x +y +z = 9
3y +5z = 34
-4z = -20
z =5
3y =34-25=9
y =3
x +3+5 = 9
 x =9 - 8 =1
\(\therefore \)  தீர்வு x =1,y =3, z =5.

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
A  X  = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} - \\ -2 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 4+k \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 3R1 R3 ⟶ R3 - 2R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 7 \\ 21+7k \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ 7R3 - 2R2
ρ(A)=2, ρ([A,B])=2 (அல்லது) 3

 சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையவை எனில் ρ(A)=2, ρ([A,B])=2
∴ 21+7k =0
7k =-21
k =-3

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
A X = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \)	R1 ↔️ R2
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ - \\ -3 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - 2R2
ρ(A)=3, ρ([A,B])=3

கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் மூன்று பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
ρ(A)=3, ρ([A,B])=3 மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
தீர்வு காண தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்.
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 4    ......(1)
y+z=3         .......(2)
3z=3         ...........(3)
(3) ⇒ z=1
(2) ⇒ y=3-z=2
(1) ⇒ x=4-y-z
x=1
∴ x=1, y=2, z=1

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) (1\ \ 2 \ \ 3)\)
\(=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 /2\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 /3\)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
ρ(A)= 1

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1