மாறிகளை பிரிக்க, நாம் பெறுவது
\(\frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } dx+\frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } dy\)
தொகையிட நாம் பெறுவது
\(\\ \int { \frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } } +\int { \frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } } dy\)
log tanx+log tany=log c
log(tanx tany)=log c
tanx tany=c

y=e^x(acosx+bsinx)    ......(1)
(1) -ஐ x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த, பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } \)=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)
=y+e^x(-asinx+bcosx)  ((1) -லிருந்து )
⇒ \(\frac { dy }{ dx } \)-y=e^x(-asinx+bcosx)    ....(2)
மீண்டும் வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)+e^x(-acosx-bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)-e^x(acosx+bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=\(\left( \frac { dy }{ dx } -y \right) \) 
((1) மற்றும் (2) லிருந்து)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2\frac { dy }{ dx } \)+2y=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

y=ae^4x+be^-x      .....(1)
\(\frac { dy }{ dx } \)=4ae^4x-be^-x      ....(2)
மற்றும் \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=16ae^4x+be^-x         ....(3)
(1)+(2) ⇒ y+\(\frac { dy }{ dx } \)=5ae^4x
(2)+(3) ⇒ \(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=20ae^4x
=4(5ae^4x)
=\(4\left( y+\frac { dy }{ dx } \right) \)
\(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =4y+4\frac { dy }{ dx } \)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -3\frac { dy }{ dx } -4y\)=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

\((1-x) \mathrm{dy}-(1+\mathrm{y}) \mathrm{d} x =0 \)
\((1-x) \mathrm{dy} =(1+\mathrm{y}) \mathrm{d} x \)
\(\int \frac{d y}{1+y} =\int \frac{d x}{1-x}=-\int \frac{d x}{x-1} \)
\(\log (1+\mathrm{y}) =-\log (x-1)+\log c \)
\(\log (1+\mathrm{y})+\log (x-1) =\log c \)
\(\log (1+\mathrm{y})(x-1) =\log c \)
\((1+\mathrm{y})(x-1) =\mathrm{c} \)

\(\cos x(1+\cos y) d x-\sin y(1+\sin x) d y=0 \)
\(\cos x(1+\cos y) d x=\sin y(1+\sin x) d y \)
\(\int \frac{\cos x}{1+\sin x} d x=\int \frac{\sin y}{1+\cos y} d y \)
\(\log (1+\sin x)=-\log (1+\cos y)+\log c \)
\(\log (1+\sin x)+\log (1+\cos y)=\log c \)
\(\log (1+\sin x)(1+\cos y)=\log c \)
\((1+\sin x)(1+\cos y)=c \)

பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\((\mathrm{y}-\mathrm{k})^2  =4 \mathrm{a}(x-h)\)
\(2(\mathrm{y}-\mathrm{k}) \frac{d y}{d x} =4 \mathrm{a} \)
\((\mathrm{y}-\mathrm{k}) \frac{d y}{d x}=2 \mathrm{a} \)
\(\mathrm{y}-\mathrm{k}  =\frac{2 a}{\frac{d y}{d x}}\)
சமன்பாடு (1) -ல், x -ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த
\((y-k) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 =0 \)
\(\left(\frac{2 a}{d y}\right)\left(\frac{d^2 y}{d x}\right)+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2  =0 \)
\(2 a \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3  =0\)
2a\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }\)=0

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்கோட்டுத் தொகுப்பைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
y = mx ⇒ \(\frac { dy }{ dx } = m \)
y=x\(\frac { dy }{ dx } \)

(x - α)² + (y - β)² = r² ...(1)
'x' - ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
2 (x - α)² + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = r²
⇒ (x - α) + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = 0....(2)
'x' - ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த,
1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } .\frac { dy }{ dx } \) = 0
⇒ 1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\)= 0
⇒ y-β = \(\frac { -1\left( 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right) }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \) 
(2) ல் பிரதியிட
(x-α) = \(\frac { dy }{ dx } \left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right)= 0 \)  
(x-α) = \(\left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\frac { dy }{ dx } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right) \)
(1) ல் பிரதியிட 
\(\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } +\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} ^{ 2 } }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } = r ^ 2\)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \left[ \left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+1 \right] ={ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) \)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ 3 }\)
= \({ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 }\)

(i) y=mx+c        .....(1)
m மட்டுமே மாறத்தக்க மாறிலி என்பதால், ஒருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m        .....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து m-ஐ நீக்குவதால் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
y =x\(\frac { dy }{ dx } \)+c
x\(\frac { dy }{ dx } \)-y+c=0 இதுவே தேவையான முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

(ii) c மாறத்தக்க மாறிலி
சமன்பாடு (1) -ஐ வகைப்படுத்த கிடைப்பது \(\frac { dy }{ dx } \)=m
இந்த சமன்பாட்டில் c நீக்கப்பட்டிருப்பதால், தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } \)=m ஆகும்.

(iii) இங்கு m,c ஆகிய இரண்டுமே மாறத்தக்க மாறிலிகள் என்பதால், சமன்பாடு (1) -ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0
இந்த சமன்பாட்டில் m, c இரண்டுமே நீக்கப்பட்டிருப்பதால் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0 ஆகும்.

\(\frac { dy }{ dx } \)-(3cotx).y=sin2x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=-3cotx, Q=sin2x
\(\int { P } dx=\int { -3 \cot x } dx=-3\log \sin x=-\log \sin^{ 3 }x=\log\frac { 1 }{ \sin^{ 3 }x } \)
I.F.=\(e^{ log\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } }=\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F) } dx\)+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { sin2x } \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { 2sinxcosx } \times \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
=\(2\int { \frac { 1 }{ sinx } \times \frac { cosx }{ sinx } } dx+c\)
= 2∫cosec x cot x xdx+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+c     .....(1)
x=\(\frac { \pi }{ 2 } \) மற்றும் y=2 எனில்,
(i) ⇒ 2\(\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) \)=-2 x 1 + c ⇒ c=4
∴  (1) ⇒  \(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+4

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை  \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } y=\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \) என்றவாறு மாற்றி அமைக்கலாம்.
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } \), Q=\(\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\int { P } dx=\int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)=log(x²+1)
I.F=\({ e }^{ \int { p } dx }=e^{ log({ x }^{ 2 }+1) }\)=x2+1
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q } (I.F)\)dx+c
y(x²+1)=\(\int { \frac { 4x^{ 2 } }{ x^{ 2 }+1 } } \\ \)(x²+1)dx+c
y(x²+1)=\(\frac { 4x^{ 3 } }{ 3 } \)+c

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)     .......(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y =vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (i) ⇒ v +\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { x-vx }{ x+vx } \) =\(\frac { 1-v }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { 1-v }{ 1+v } -v\)
=\(\frac { 1-2v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=\frac { dx }{ x } \)
இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்க,
\(\frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=-2\frac { dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv } =-2\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(v²+2v-1)=-2log+logc
v²+2v-1=\(\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \)
x²(v²+2v-1)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என்பதால்
x²\(\left[ \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ x } -1 \right] \)=c
∴ y²+2xy-x²=c என்பது தீர்வாகும்.

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

3e^xtan ydx+(1+e^x)sec²ydy=0
3e^xtan ydx=-(1+e^x)sec²y dy
\(\frac { { 3e }^{ x } }{ 1+e^{ x } } dx=\frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } dy\)
தொகையிட நாம் பெறுவது \(3\int { \frac { { e }^{ x } }{ 1+e^{ x } } } dx=-\int { \frac { sec^{ 2 }y }{ \tan y } } dy\)
3log(1+e^x)=-log tan y+logc   \(\left[ \because \int { \frac { f'(x) }{ f(x) } dx } =\log f(x) \right] \)
log(1+e^x)³+log tan y=log c
log[(1+e^x)3tan y]=log c
(1+e^x)³ tan y=c         .....(1)
தரவு: y(0)=\(\frac { \pi }{ 4 } \)  (அதாவது) x=0 எனில் y=\(\frac { \pi }{ 4 } \)
(1) ⇒ (1+e⁰)³ tan\(\frac { \pi }{ 4 } \)=c
2³(1)=c
⇒ c=8
தேவையான தீர்வு (1+e^x)³tan y=8

y = mx + c 
\(\frac{d y}{d x}=\mathrm{m} \)  மற்றும் \(\frac{d^2 y}{d x^2}=0\)

\(\mathrm{m}^2+4 =0 \Rightarrow \mathrm{m}^2=-4 \Rightarrow \mathrm{m} ± 2i \)
\(\alpha  =0, \ \beta=2\)
நிரப்புச் சார்பு : \(\mathrm{A} \cos 2 x+\mathrm{B} \sin 2 x\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
\(\sqrt { \frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } =\sqrt { \frac { dy }{ dx } +5 } \)
வரிசை = 2 படி = 1