\(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\)
\( =\int_0^1 x\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^3 d x \)
\( =3\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{3}{4}(1-0)=\frac{3}{4} \)
\( \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x \)
\( =\int_0^1 x^2\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^4 d x \)
\(=3\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{3}{5} \)
\( \mathrm{~V}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2\)
\( =\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16} \)
\(=\frac{48-45}{80}=\frac{3}{80} \)
\( V(\mathrm{aX}+\mathrm{b})=\mathrm{a}^2 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \) என்பது தெரியும்
\(\mathrm{V}(3 \mathrm{X}-2)=9 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \)
\(=9\left(\frac{3}{80}\right)=\frac{27}{80} \)

சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் சராசரி : \(E\left( { X } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1 × 0.15) + (2 × 0.10) + (3 × 0.10) + (4 × 0.01) + (5 × 0.08) + (6 × 0.01) + (7 × 0.05) + (8 × 0.02) + (9 × 0.28) + (10 × 0.20)
E(X)=6.18
\(E\left( { X^{ 2 } } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ ^{ 2 }P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1² × 0.15) + (2² × 0.10) + (3² × 0.10) + (4² × 0.01) + (5² × 0.08) + (6² × 0.01) + (7² × 0.05) + (8² × 0.02) + (9² × 0.28) + (10² × 0.20)
E(X²)= 50.38
சமவாய்ப்பு மாறியின் மாறுபாட்டளவு : V(X)= E(X²)−[E(X)]²
= 50.38 – (6.18)²
= 12.19
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தனித்த பரவலின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டு அளவை முறையே 6.18 மற்றும் 12.19 ஆகும்.

நிரூபிக்க: \(\int_{-\infty}^\infty f(x) d x=1\)
அதாவது \(\int_{-3}^3 f(x) d x=1\)
\(\text { LHS }=  \int_{-3}^3 f(x) d x \)
\(= \int_{-3}^{-1} \frac{1}{16}(3+x)^2 d x+\int_{-1}^1 \frac{1}{16}\left(6-2 x^2\right) d x +\int_1^3 \frac{1}{16}(3-x)^2 d x \)
\(=  \frac{1}{16}\left[\frac{(3+x)^3}{3}\right]_{-3}^{-1}+\frac{1}{16}\left[6 x-\frac{2 x^3}{3}\right]_{-1}^1+ \frac{1}{16}\left[\frac{(3-x)^3}{-3}\right]_{3}^{1} \)
\(=  \frac{1}{48}\left[2^3-0\right]+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}-\left(-6+\frac{2}{3}\right)\right] - \frac{1}{48}\left[0 -2^3\right] \)
\(=  \frac{8}{48}+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}+6-\frac{2}{3}\right]+\frac{8}{48}\)
\( =\frac{16}{48}+\frac{1}{16}\left[12-\frac{4}{3}\right] \)
\( =\frac{1}{3}+\frac{1}{16}\left[\frac{32}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1=\text { RHS } \) எனவே நிறுவப்பட்டது 

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

(a) \(\sum p_i =1 \)
\(2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(9 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{9}\)
(b) \(P(X>2) =P(X=3)+P(X=5) =3 k+4 k=7 k=\frac{7}{9}\)

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

நீலபந்து பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு : \(P=\frac { 1 }{ 4 } =0.25\)
மொத்த சோதனைகள் ; N =30
சோதனைகளின் மதிப்பு = சோதனைகளின் எண்ணிக்கை X நிகழ்தகவு
= N x p 
= 30 x 0.25 = 7.50
எனவே, நீலப்பந்தைப் பெறுவதற்கான எதிர்பார்க்கத்தக்க மதிப்பு தோராயமாக 8 ஆகும்.

பரவல் சார்பின் பண்புகள் :
(i) \(0 \leq F(x) \leq 1,-\infty<x<\infty\)
(ii) \(F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=0 \) மற்றும் \(F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=1 \)
(iii) \(F(\cdot)\) என்பது ஓரியல்புத் தன்மைக் கொண்ட குறையாச் சார்பு.
அதாவது a<b-க்கு \(F(a) \leq F(b)\)
(iv) \(F(\cdot)\) என்பது வலப்புறத்திலிருந்து தொடர்ச்சியானது, அதாவது \(\lim _{h \rightarrow 0} F(x+h)=F(x)\).
(v) \(F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \geq 0\)
(vi) \(F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \Rightarrow d F(x)=f(x) d x\)d F(x) என்பது X -இன் நிகழ்தகவு வகையீடு என அறியப்படுகிறது.
(vii) \(P(a \leq x \leq b)=\int_a^b f(x) d x=\int_{-\infty}^b f(x) d x-\int_{-\infty}^a f(x) d x \)
\(=  P(X \leq b)-P(X \leq a) \)
= F(b)-F(a)

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு பரவல் p(x) இன் மதிப்புகளிலிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\mathrm{F}(3) =P(X \leq 3)=\mathrm{p}(3)=0.3 \)
\(\mathrm{F}(5) =P(X \leq 5)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5) \)
\( =0.3+0.2=0.5 \)
\(\mathrm{F}(8) =P(X \leq 8)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5)+\mathrm{p}(8)\)
\(=\mathrm{F}(5)+\mathrm{p}(8)=0.5+0.3=0.8 =0.8+0.2=1 \)
\(\mathrm{F}(10) =\mathrm{P}(X \leq 10)=\mathrm{F}(8)+\mathrm{p}(10) \)
\(\mathrm{F}_x(x) =\left\{\begin{aligned} 0, & x<3 \\ 0.3, & 3 \leq x<5 \\ 0.5, & 5 \leq x<8 \\ 0.8, & 8 \leq x<10 \\ 1, & x \geq 10 \end{aligned}\right. \)

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

இவ்வாறாக,

ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f (x) எனில், அதன் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\)
தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f_x(x) எனில்,
\(\operatorname{Var}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty}[x-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 \mathrm{f}_{\mathrm{X}}(x) \mathrm{d} x\)

ஒரு சமவாய்ப்பு நிகழ்வின்‌ சராசரி மதிப்பானது அதன்‌ கணக்கியல்‌ எதிர்பார்த்தல்‌ அல்லது  எதிர்பார்க்கும்‌ மதிப்பாக குறிப்பிடப்படுகிறது. 
E (X) என்பது சமவாய்ப்பு மாறி பெறும்‌ மதிப்புகளின்‌ சராசரி ஆகும்‌, ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறி மதிப்பும்‌, அம்மதிப்பின்‌ நிகழ்தகவு மூலம்‌ நிறையிடப்படுகிறது. சாத்தியமான நிகழ்தகவு மதிப்புகள்‌ அதிக நிறையைப்‌ பெறும்‌.

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x=\int_0^1 2 x^2 d x \)
\( =2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}(1-0)=\frac{2}{3} \)

(i) தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியின் பண்புகள்:
1. X ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை x எடுக்கக்கூடிய நிகழ்தகவு \(\mathrm{p}(x)\) (i.e ,) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{p}(x)\)
2. \(\mathrm{p}(x)\) அனைத்து உண்மையான x க்கும் எதிர்மறையானது அல்ல.
3. X இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்பிற்கும் மேலாக \(\mathrm{p}(x)\) இன் தொகை ஒன்று (அதாவது) \(\sum p_i=1\),
4. \(a_1, a_2, \ldots a_m, a, b_1, b_2, \ldots b_n, b\) ஆகியவை ஏறுவரிசையில் தனித்துவமான சம வாய்ப்பு மாறி X - இன் பக்கங்களாக இருந்தால்
\(P(X \geq a)= 1-P(X
\(P(X \leq a)= 1-P(X>a) \)
\(P(a \leq X \leq b)= P(X=a)+P\left(X=b_1\right)+  P\left(X=b_2\right)+\ldots+ \)
\( P\left(X=b_n\right)+P(X=b)\)
(ii) தொடர்ச்சியான சம வாய்ப்பு மாறியின்‌ பண்புகள்‌ :
1. X ஆனது a மற்றும்‌ b ஆகிய 2 புள்ளிகளுக்கு. இடையில்‌ இருக்கும்‌ நிகழ்தகவு \(P(a \leq x \leq b)=\int_a^b f(x) d x\)
2. X அதன்‌ மதிப்புகளை இயற்கை எண்களின்‌ தொகுப்பான N உடன்‌ 1 - 1 திருத்தங்களுடன்‌ வைக்க முடியாவிட்டால்‌ தொடர்ச்சியாக இருக்கும்‌ என்று கூறப்படுகிறது.  
3. இது அனைத்து உண்மையான X க்கும்‌. எதிர்மறையானது.  
4, நிகழ்தகவு செயல்பாட்டின்‌ ஒருங்கிணைப்பு 1 \(\text { (i.e .,) } \int_{-\infty}^{\infty} f(x)^{\prime} d x=1 \text {. }\)

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது S என்ற கூறுவெளியின்‌ மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்‌ மதிப்பீட்டுச்‌ “சார்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்‌ இது (-∞, ∞) இல்‌ மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌ அல்லது இது ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையின்‌ சாத்தியமுள்ள மதிப்புகளின்‌ எண்‌ வெளிப்பாடுகள்‌ எனவும்‌ கூறலாம்‌.

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\mathrm{p}(1)+\mathrm{p}(2)+\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(4) =1 \)
\(\mathrm{k}+2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(10 \mathrm{k} =1 \)
\(\mathrm{k}=\frac{1}{10} =0.1 \) எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(E(X)=\sum x_i p_i=10\left(\frac{1}{10}\right)=1\)

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 =E(X-\bar{X})^2 \)
\( =E\left(X^2-2 X \bar{X}+(\bar{X})^2\right) \)
\( =\sum x^2 p_t-2 \bar{x} \sum x_i p_i+(\bar{x})^2 \sum p_i \)
\( =E\left(X^2\right)-2 \bar{x}(\bar{x})+(\bar{x})^2\)
\( =E\left(X^2\right)-2(\bar{x})^2+(\bar{x})^2 \)
\(=E\left(X^2\right)-(\bar{x})^2=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(X)]^2\)
\(=\mathrm{V}(\mathrm{X}) \)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7

\(E(X) =\sum x_i p_i \)
\(\therefore(21)(0.29)(0.5) =3.045 \)
(19)(0.4)(0.5)  =3.8
(22)(0.35)(0.5)  =3.85